二阶线性微分方程理论及解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,34-,*,*,二阶线性微分方程的理论及解法,一、二阶,齐次,线性微分方程解的结构,二、二阶,非齐次,线性微分方程解的结构,三、二阶,常系数,齐次,线性微分方程的解法,四、二阶,常系数,非齐次,线性微分方程,的解法,第三节,1/29/2026,1,二阶线性微分方程：,时,称为二阶,非齐次,线性微分方程,;,时,称为二阶,齐次,线性微分方程,.,复习,:,一阶线性微分方程：,通解,:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,1/29/2026,2,证毕,.,一、二阶,齐次,线性微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解,.,证,:,代入方程左边,得,（解的叠加原理）,定理,1.,1/29/2026,3,注：,未必,是已知方程的通解,.,例如,是,某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解！,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的,线性,相关性,的概念,.,1/29/2026,4,定义,:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在,(,),上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为,0,可见,在任何区间,I,上都,线性无关,.,若存在,不全为,0,的常数,1/29/2026,5,两个函数线性相关性的,充要条件：,线性相关,线性无关,常数,注：,0,与任意函数,必线性,相关,仅相差常数倍！,1/29/2026,6,定理,2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,为该方程的通解,.,例如,方程,有特解,且,故方程的通解为,推论,*,.,是,n,阶线性齐次方程,的,n,个线性无关解,则,方程的通解为,1/29/2026,7,二、二阶,非齐次,线性微分方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个,特解,Y,(,x,),是相应齐次方程的,通解,定理,3.,则,是非齐次方程的,通解,.,证,:,将,代入方程左端,得,证毕！,又,Y,中含有两个独立任意常数，,即,y,是的解,.,1/29/2026,8,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,1/29/2026,9,推广,*,.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,1/29/2026,10,定理,4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解,.,（非齐次方程之解的叠加原理）,1/29/2026,11,定理,5.,均是方程,的特解,.,是方程,的特解，则,1/29/2026,12,常数,则该方程的通解是,().,设两个不同的函数,都是,一阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例,1.,1/29/2026,13,是任意,常数,则该方程,设,是二阶非齐次线,性微分方程,的三个不同特解,且,备用,1.,的通解是,().,1/29/2026,14,常数,则该方程的通解是,().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,备用,2,提示,:,线性无关,.,（反证法可证）,不一定线性无关,1/29/2026,15,例,2.,已知微分方程,个解,求此,方程满足初始条件,的,特解,.,解,:,是,对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原,方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有,三,1/29/2026,16,三、二阶,常系数齐次,线性微分方程的解法,和,它的导数只差常数倍,代入得,称为微分方程的,特征方程,1.,当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解,:,因此方程的通解为,(,r,为待定常数,),所以令的解为,则,微分,其根,称为,特征根,.,1/29/2026,17,2.,当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,，,u,(,x,),待定,.,代入方程得,:,是特征方程的二重根,取,u=x,则得,因此原方程的通解为,1/29/2026,18,3.,当,时,特征方程有一对共轭复根,此时微分方程有两个复数解,:,利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解,:,因此原方程的通解为,1/29/2026,19,总结,:,特征方程,:,实根,特 征 根,通 解,1/29/2026,20,若含,k,重复根,若含,k,重实根,r,则其通解中必含,则其通解中必含,特征方程,:,推广,*,：,n,阶常系数齐次线性微分方程,1/29/2026,21,例,3.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程的通解为,例,4.,求解初值问题,解,:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,1/29/2026,22,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,5,1/29/2026,23,特征根,通解,解,特征方程,例,6,9/10,1/29/2026,24,例,7,在下列微分方程中，以,为通解的是,(D )(2008,考研,),1/29/2026,25,1,、,四、二阶,常系数非齐次,线性微分方程的解法,2,、,根据解的结构定理，其通解为,非齐次方程,特解,齐次方程通解,1/29/2026,26,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,1/29/2026,27,1,、,设特解为,其中 为待定多项式,（其中 为实数，,为,m,次多项式）,则,代入,得,化简得,1/29/2026,28,(1),若,非,特征方程的根，,故特解形式为,则,Q,(,x,),为,m,次多项式，,(2),若,是特征方程的,单根,，,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,为,m,次多项式,故特解形式为,即,即,1/29/2026,29,结论,对方程,*,注：,此结论可推广到高阶情形！,(,k,是重根次数,),当 是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,1/29/2026,30,例,7.,的一个特解,.,解：,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,故设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,1/29/2026,31,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例,8,1/29/2026,32,备用,.,的通解,.,解：,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,1/29/2026,33,例,9,*,.,求解,解：,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,对应齐次方程通解为,故原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,1/29/2026,34,2,、,第二步,求出如下两个方程的特解,分析思路,*,:,第一步,将,f,(,x,),转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程的特解,第四步,分析原方程特解的特点,（欧拉公式）,1/29/2026,35,结论,:,对非齐次线性方程,可设特解,:,其中,*,注：,此结论可推广到高阶情形！,1/29/2026,36,例,10.,的一个特解,.,解：,特征方程为,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数，得,故特解,因为,1/29/2026,37,例,11.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数，得,因此特解为,代入得,通解为,为特征方程的单根,故设非齐次方程特解,1/29/2026,38,例,12,*,.,解,:,(1),特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2),特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,构造下列微分方程的特解形式：,1/29/2026,39,内容小结,为特征方程的,k,(,0,1,2),重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,0,1),重根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程的情形,*,.,1/29/2026,40,思考题,.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解,.,解,:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解,:,原方程通解为,1/29/2026,41,