线性代数第四章矩阵对角问题.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2002/3,天津商学院,*,单击此处编辑母版标题样式,第,4,章 矩阵的对角化问题,向量的内积,方阵的特征值与特征向量,相似矩阵与矩阵对角化,实对称矩阵对角化,求方阵的特征值与特征向量的,Mathematica,实现,2002/3,1,天津商学院,本章要点,施密特,（,Schimidt,）,正交化方法,方阵的特征值与特征向量,矩阵对角化,矩阵对角化的条件,实对称矩阵的对角化,相似矩阵的概念与性质,2002/3,2,天津商学院,第,4.1,节 预备知识,1.,向量的内积、长度、夹角,2.,正交向量组,3.,向量空间的规范正交基,4.,向量组正交规范化,Schimidt,正交化方法,2002/3,3,天津商学院,在空间解析几何中,向量,向量,非零向量,推广,2002/3,4,天津商学院,内积,：,令,称,为向量,用矩阵记号可表示为,内积性质,(),(),(),(),当且仅当,1.,向量的内积、长度、夹角,返回,2002/3,5,天津商学院,1.,向量的内积、长度、夹角,内积,：,令,称,为向量,用矩阵记号可表示为,内积性质,(),(),(),(),当且仅当,2002/3,6,天津商学院,长度,:,称之为向量,的长度,(,范数,).,长度为,1,的向量,称为单位向量,.,长度性质,:,(),(),(),2002/3,7,天津商学院,夹角,:,称之为向量,正交,:,则称,显然,零向量,与任何向量正交,.,返回,2002/3,8,天津商学院,2.,正交向量组,一组两两正交的非零向量,称为,正交向量组,.,正交向量组是线性无关的,.,证明,与,作内积,得,故,线性无关,.,2002/3,9,天津商学院,解,设,根据题意,应满足,由,得,有基础解系,取,即合所求,.,例,4.1.1,已知向量空间,中两个向量,正交,试求一个非零向量,使,两两正交,.,2002/3,10,天津商学院,3.,向量空间的规范正交基,定义,设,是向量空间,V,的一个基,若,(1),两两正交,;,(2),均是单位向量,则称,是向量空间,V,的一个,规范正交基,.,返回,2002/3,11,天津商学院,则,V,中任意向量,若,是向量空间,V,的一个,规范正交基,可由其线性表示为,n,维单位坐标向量组,是,的一个,规范正交基,.,2002/3,12,天津商学院,2002/3,13,天津商学院,4.,向量组正交规范化,Schimidt,正交化方法,结论,:,任意线性无关向量组都可以化为与其等价的标准正交向量组,.,（,Schimidt,）,方法,:,施密特,正交化方法,.,首先正交化,:,返回,2002/3,14,天津商学院,首先正交化,由,所以,为此取,再取,类似地,再取,由,确定出,得,2002/3,15,天津商学院,其次标准化（单位化）,令,于是,就是与线性无关向量组,等价的标准向量组,继续作下去,2002/3,16,天津商学院,例,4.1.,已知,求一组非零向量,使,两两正交,.,解,依题意,应满足方程,即,或,返回,2002/3,17,天津商学院,方程组基础解系为,将其正交化,取,此即所求,.,2002/3,18,天津商学院,1.,将下列向量组正交规范化,:,(1),(2,0),(1,1);,(2),(2,0,0),(0,1,-1),(5,6,0).,课堂练习,2002/3,19,天津商学院,第,4.2,节 方阵的特征值与特征向量,1.,特征值与特征向量,定义,2.,相关概念,3.,两个有用公式,4.,特征值与特征向量,求法,(,特征方程根与系数的关系,),返回,2002/3,20,天津商学院,定义,若存在常数,及非零向量,不同特征向量可属于同一个特征值,.,一个特征向量不能对应于不同特征值,.,不同特征值对应的特征向量是线性无关的,.,1.,特征值与特征向量,定义,2002/3,21,天津商学院,2,、相关概念,称,2002/3,22,天津商学院,可求得非零解,对每个,解方程,此即对应于,的特征向量,.,解特征方程,即可得特征值,4.,求法,3.,两个有用公式,(,特征方程根与系数的关系,),即为,的,迹,.,这里,返回,2002/3,23,天津商学院,例,4.2.1,求矩阵,的特征值与特征向量,.,解,得特征值,当,时,解方程,由,2002/3,24,天津商学院,得基础解系,全部特征向量为,当,时,解方程,由,得基础解系,全部特征向量为,2002/3,25,天津商学院,例,4.2.2,求矩阵,的特征值与特征向量,.,解,得特征值,当,时,解方程,得基础解系,全部特征向量为,返回,2002/3,26,天津商学院,当,时,解方程,得基础解系,全部特征向量为,注意在例,4.2.1,与例,4.2.2,中,特征方程的,重根所对应的线性无关特征向量的个数,.,2002/3,27,天津商学院,例,4.2.3,如果矩阵,则称,是幂等矩阵,.,试证幂等矩阵的特征值只能是,0,或,1.,证明,设,两边左乘矩阵,得,由此可得,因为,所以有,得,由证明过程可得结论,若,是,的特征值,则,是,的特征值,.,进而,是,的特征值,2002/3,28,天津商学院,课堂练习,返回,2002/3,29,天津商学院,2002/3,30,天津商学院,第,4.3,节,相似矩阵和,矩阵对角化,1.,相似矩阵概念,2.,相似矩阵基本性质,3.,方阵的对角化含义,4.,矩阵可对角化的条件,返回,2002/3,31,天津商学院,1.,相似矩阵概念,定义,设,都是,阶方阵,若有可逆矩阵,使,则称,是,的相似矩阵,或说,相似,.,称,为把,变成,的相似变换矩阵,.,这时,也是,的相似矩阵,:,相似,等价,.,2002/3,32,天津商学院,2.,相似矩阵基本性质,基本性质,(1),相似矩阵有相同的行列式,.,(2),相似矩阵有相同的迹,.,(3),相似矩阵有相同的秩,.,(4),相似矩阵有相同的特征多项式,.,(5),相似矩阵有相同的特征值,.,2002/3,33,天津商学院,证明,(1),设矩阵,A,与,B,相似,即有,P,-1,AP=B,(2),显然,.,(3),(4),由,(3),即得,.,(5),由,(4),及迹的定义即得,.,2002/3,34,天津商学院,例,4.3.1,已知,与,相似,求,x,y,.,解,因为相似矩阵有相同的特征值,故,与,有相同的特征值,2,y,-1.,根据特征方程根与系数的关系,有,而,故,x,=0,y,=1.,2002/3,35,天津商学院,课堂练习,2002/3,36,天津商学院,3.,方阵的对角化,含义,所谓方阵,可以对角化,是指,相似,.,即存在可逆矩阵,使,成立,.,4.,矩阵可对角化的,条件,定理,(,充要条件,),阶方阵,可对角化,有,个线性无关的特征向量,.,2002/3,37,天津商学院,证明,设,得到,即,是,的对应于特征值,的特征向量,.,因,可逆,故,线性无关,.,返回,2002/3,38,天津商学院,设,线性无关,.,记,则,因,线性无关,故,可逆,即,可对角化,.,推论,(,充分条件,),若,A,的,n,个特征值互不相等,则,A,与对角阵相似,(,可对角化,).,逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征,值不一定互不相等,.,2002/3,39,天津商学院,如果,A,有,k,对应的线性无关的特征向量的个数,(,几何重数,),相等,则,A,一定可对角化,.,关的特征向量的个数少于,k,则,A,一定不能对角化,.,如果,A,有一个,k,重特征值,并且所对应的线性无,重特征值,只要重数,(,代数重数,),和所,定理,(,证明略,),2002/3,40,天津商学院,例,4.3.2,有三个不同的特征值,对应的特征向量分别为,已知,求,(1),(2),解,又,所以,返回,2002/3,41,天津商学院,(2),即,记,显然可逆,则有,而,故,2002/3,42,天津商学院,课堂练习,2002/3,43,天津商学院,第,4.4,节 实对称阵的对角化,1.,正交矩阵,2.,实对称矩阵的特征值与特征向量,3.,实对称矩阵的,对角化,返回,2002/3,44,天津商学院,1.,正交阵,正交阵,:,设,为,阶方阵,若满足,则称,为正交阵,.,正交阵,满足,经正交变换线段长度保持不变,.,即若,为正交变换,则有,正交变换,:,线性变换,交变换,.,称为正,2002/3,45,天津商学院,的证明,即有,方阵,为正交阵,的列,(,行,),向量都是单位向量,且两两正交,.,返回,2002/3,46,天津商学院,9.,证明,(1),若,A,为正交矩阵,则,|,det,A,|=1.,课堂练习,2002/3,47,天津商学院,2.,实对称矩阵的特征值与特征向量,(1),实对称矩阵的特征值都是实数,.,(2),实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交,.,(3),实对称矩阵的重特征值的重数,(,代数重数,),与对应的线性无关的特征向量的个数,(,几何重数,),相等,.,结论,返回,2002/3,48,天津商学院,任一实对称矩阵,一定可以对角化,.,与之相似的对,角阵的对角元素就是,的全部特征值,而正交阵,是由其,对应的单位特征向量,所组成的,.,3.,实对称矩阵的,对角化,设,为,阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵,使,其中,是以,的,个特征值为对角元的对角阵,.,主要结论,2002/3,49,天津商学院,例,4.4.1,求一个正交阵,解,(1),求特征值,:,特征值为,2002/3,50,天津商学院,(2),求特征向量,:,对于,解,得线性无关的特征向量为,对于,解,得线性无关的特征向量为,(3),特征向量正交化、单位化：,用施密特正交化方法,2002/3,51,天津商学院,正交化,取,单位化,取,(4),写出所求正交矩阵,:,2002/3,52,天津商学院,令,则,P,是正交阵,.,并且,要特别注意本题的解题方法和步骤,.,在下面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法,.,2002/3,53,天津商学院,课堂练习,2002/3,54,天津商学院,第,4.5,节,求方阵的特征值与特征向量的,Mathematica,实现,.,Eigenvaluesa,用以求矩阵,a,的特征值,;,2,.,Eigenvectorsa,用以求矩阵,a,的特征向量,;,3,.,Eigensystema,用以同时给出矩阵,a,的所有特征值与线性无关的特征向量,.,注,求,n,阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量，如果矩阵线性无关的特征向量的个数小于,n,，,则会增加零向量，使最后结果中在形式上有,n,个向量,.,返回,2002/3,55,天津商学院,例,4.5.1,求矩阵,的特征值与特征向量,.,第,2,步,:,求矩阵,a,的特征值,调用命令,Eigenvalues,;,第,3,步,:,求矩阵,a,的特征向量,调用命令,Eigenvectors,.,计算结果如图,4.5.1.,2002/3,56,天津商学院,图,2.5.1,得特征值,当,时,线性无关特征向,量为,当,时,线性无关特征向量为,2002/3,57,天津商学院,例,4.5.2,求矩阵,的特征值与特征向量,.,第,2,步,:,求矩阵,a,的特征值与特征向量,调用命令,Eigensystem,.,计算结果如图,4.5.2.,2002/3,58,天津商学院,图,2.5.2,得特征值,当,时,线性无关特征向量为,当,时,线性无关特征向量为,返回,2002/3,59,天津商学院,