常微分方程数值解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 常微分方程数值解法,1,、引言,微分方程的数值解：设方程问题的解,y(x),的存在区间是,a,b,，,令,a=x,0,x,1,x,n,=b,其中,h,k,=,x,k,+1,-,x,k,如是等距节点,h=(b-a)/n,h,称为步长。,y(x),的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得,y(x),在每个节点,x,k,上,y(,x,k,),的近似值，用,y,k,表示，即,y,k,y(,x,k,),，,这样,y,0,y,1,.,y,n,称为微分方程的数值解。,微分方程离散化常用方法,2 尤拉（,Eular,),方法,用分段的折线逼近函数,此为“折线法”而非“切线法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。,2、,Euler,方法的误差估计,3、总体方法误差(1),总体方法误差(2),4、微分方程数值解的稳定性,Euler,法的绝对稳定区域,二、向后（后退的）,Euler,方法,向后,Euler,方法收敛条件与截断误差,向后,Euler,法的稳定性,三、梯形公式,梯形公式的收敛性,梯形公式的稳定性,四、改进的尤拉公式,梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的尤拉公式。,尤拉两步公式,3.龙格库塔方法,一、,Runge,-,Kutta,法,的基本思想（1）,Runge,-,Kutta,法的基本思想（2）,Runge,-,Kutta,法的基本思想（3）,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,五、变步长的龙格库塔方法,R-K,方法的绝对稳定区域,4.线性多步法,线性多步公式的导出,二、常用的线性多步公式,利用数值积分方法求线性多步公式,5.预测校正系统,用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值,y,n,+1,这样一组计算公式称为预测校正系统。,一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测校正系统有两种：,用局部截断误差进一步修正预测校正公式,5.常微分方程组与高阶方程的数值解,2)方程组的,R-k,法,二、化高阶方程为一阶方程组,