线性代数讲义3_向量空间.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2015/10/19,#,线性代数讲义,3,向量空间,张宏浩,1,2015/10/19,n,维向量及其线性运算,n,维向量空间,R,n,R,n,中任一元素称为一个,n,维向量,.,称,a,i,为向量,a,=,(,a,1,a,n,),的,第,i,个坐标,分量,.,以,a,i,(,i,=,1,n,),为第,i,个坐标的向量可写成列形式,坐标全为零的向量称为,零向量,记为,0.,坐标完全一样的两向量,a,b,称为,相等向量,记为,a,=,b,.,2015/10/19,2,向量的加法运算,设向量,a,=,(,a,1,a,n,),b,=,(,b,1,b,n,),定义,称,a,+,b,为,a,与,b,的和,.,向量的数乘运算,规定,称,ka,为数,k,与向量,a,的乘积,.,称,(,-,1),a,为向量,a,的,负向量,记为,-,a,.,设向量,a,=,(,a,1,a,n,),k,为实数,定义,向量的加法与数乘两种运算统称为向量的,线性运算,.,2015/10/19,3,例,设,x,1,x,n,-,r,为方程组,Ax,=,0,的一个,基础解系,向量,组的线性组合,对,Ax,=,0,的任一解向量,x,若干同维向量的集合,称,向量组,.,向量组的一部分称,部分组,.,例,设,称,为,n,维,单位坐标向量组,.,任一向量,可唯一地表示为,则,存在一组数,k,1,k,n,-,r,使,2015/10/19,4,线性组合,给定向量组,a,1,a,m,对任一数组,k,1,k,m,称向量,为向量组,a,1,a,m,的一个线性组合,称,k,1,k,m,为这个,线性组合的,表示,系数,.,并称,b,可由,a,1,a,m,线性表示,.,例,设矩阵,A,=,(,a,1,a,m,),线性方程组,Ax,=,b,有一组,解,x,i,=,k,i,(,i,=,1,m,),也即,线性,方程,组,Ax,=,b,有解的充分必要条件是,:,向量,b,可由矩阵,A,的,列向量组,线性表示,.,约定,:,非特别交待时,向量都采用,列形式,.,2015/10/19,5,练习,1,判断向量,与,是否为,向量组,的线性组合,.,若是,写出表示式,.,解,同时解方程组,和,的解为,因此,无解,因此,b,2,不可由,a,1,a,2,线性表示,.,2015/10/19,6,向量,组的线性相关性,线性,方程,组,Ax,=,b,有解的充分必要条件是,:,向量,b,可由矩阵,A,的,列向量组,线性表示,.,若线性,方程,组,Ax,=,b,有,无穷多,解,则向量,b,可用,矩阵,A,的列向量组,的无穷多个,线性,组合来线性表示,.,设向量,b,有两个线性表示式,和,则有,b,的两个表示式不同,也即存在一组,不全为零,的数,使成立,2015/10/19,7,线性相关性,设有向量组,如果存在一组,不全为零,的数,使,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,基本性质,(1),若向量,b,可由向量组,a,1,a,m,线性表示,当,a,1,a,m,线性相关时,表示式不唯一,;,当,a,1,a,m,线性无关时,表示式唯一,.,(2),若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关,.,(3),若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关,.,则向量组,b,a,1,a,m,线性相关,.,2015/10/19,8,a,1,a,m,线性无关,也即向量方程,只有零解,.,线性相关性,设有向量组,使,定理,1,设矩阵,的充分必要条件是,R,(,A,),=,m,.,提示,:,m,元齐次线性方程组,Ax,=,0,只有零解的充分必,要条件是,R,(,A,),=,m,.,如果存在一组,不全为零,的数,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,则向量组,线性无关,2015/10/19,9,方阵,A,的列向量组线性相关的充要条件为,|,A,|,=,0.,a,1,a,m,线性无关,也即向量方程,只有零解,.,线性相关性,设有向量组,使,定理,1,设矩阵,的充分必要条件是,R,(,A,),=,m,.,齐次线性方程组的基础解系线性无关,.,如果存在一组,不全为零,的数,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,则向量组,线性无关,2015/10/19,10,解,1,练习,2,讨论向量组,的线性相关性,.,设方阵,化,A,为行阶梯形,:,当,a,-,1,4,时,R,(,A,),=,3,线性无关,;,当,a,=-,1,或,a,=,4,时,R,(,A,),=,2,线性相关,.,2015/10/19,11,解,2,设方阵,当,a,-,1,4,时,|A,|,0,线性无关,;,当,a,=-,1,或,a,=,4,时,|A,|,=,0,线性相关,.,则,练习,2,讨论,向量组,的线性相关性,.,2015/10/19,12,证,1,将,b,1,b,2,b,3,的表示式代入,并整理得,因,a,1,a,2,a,3,线性无关,故有,由于系数行列式,因此,(2)(,从而,(1),),只有零解,线性无关,.,所以,(2),(1),设存在一组数,x,1,x,2,x,3,使,练习,3,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,试证向量组,b,1,b,2,b,3,也线性无关,.,2015/10/19,13,证,2,线性无关,.,即,把已知条件合写成,记作,B,=,AK,因,|,K,|,=-,1,知,K,可逆,于是,R,(,B,),=,R,(,A,).,因,A,的列向量组线性无关,知,R,(,A,),=,3.,所以,R,(,B,),=,3.,于是,B,的,3,个列向量线性无关,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,练习,3,试证向量组,b,1,b,2,b,3,也线性无关,.,2015/10/19,14,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,定理,2,证明,故存在一组不全为,0,的数,使,假设,k,=,0,则,k,1,k,r,不全为,0,且有,这与,a,1,a,r,线性无关矛盾,.,因此,k,0,于是,若,a,1,a,r,b,线性相关,因,a,1,a,r,b,线性相关,2015/10/19,15,练习,4,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性相关,向量组,a,2,a,3,a,4,线性无关,证明,(1),a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,;,(2),a,4,不能由,a,1,a,2,a,3,线性表示,.,证明,(1),因,a,2,a,3,a,4,线性无关,于是,a,2,a,3,线性无关,而,a,1,a,2,a,3,线性相关,因此,a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,.,(2),用反证法,.,假设,a,4,能由,a,1,a,2,a,3,线性表示,a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,从而,a,4,能由,a,2,a,3,线性表示,所以,a,2,a,3,a,4,线性相关,这与,a,2,a,3,a,4,线性无关矛盾,.,由,(1),知,定理,2,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若,a,1,a,r,b,线性相关,定理,2,定理,2*,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若向量,b,不可由向量,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若,a,1,a,r,b,线性相关,组,a,1,a,r,线性表示,则,a,1,a,r,b,线性无关,.,2015/10/19,17,向量,组的秩和最大无关组,设,A,为一,n,维向量组,(,A,0),A,中任一线性无关向量组所含向量个数不多于,n,个,.,提示,:,这是因为,当,s,n,时,n,维向量组,a,1,a,s,线性相关,.,A,中线性无关向量组所含向量个数存在最大值,:,存在正整数,r,使得,A,中有,r,个向量线性无关,而,A,中任意多于,r,个向量,(,若存在的话,),线性相关,.,向量组的秩,设,A,为一向量组,A,中线性无关向量组所含向量个数的最大值,r,称为向量组,A,的秩,记为,R,(,A,),.,规定,0,的秩为,0.,向量组的最大无关组,设向量组,A,的秩为,r,如果,a,1,a,r,为,A,中一个线,性无关向量组,那么称,a,1,a,r,为,A,的一个最大无关组,.,最大无关组的性质,设,A,为一向量组,则部分组,a,1,a,r,为,A,的一个最,大无关组的充分必要条件是,(2),A,中任一向量可由,a,1,a,r,线性表示,.,(1),a,1,a,r,线性无关,;,必要性,:,提示,:,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若,a,1,a,r,b,线性相关,从略,.,向量组的最大无关组,设向量组,A,的秩为,r,如果,a,1,a,r,为,A,中一个线,性无关向量组,那么称,a,1,a,r,为,A,的一个最大无关组,.,最大无关组的性质,设,A,为一向量组,则部分组,a,1,a,r,为,A,的一个最,大无关组的充分必要条件是,(2),A,中任一向量可由,a,1,a,r,线性表示,.,(1),a,1,a,r,线性无关,;,于是,设,b,1,b,s,为,A,中向量,s,r.,充分性,:,存在数,k,ij,使得,故,b,1,b,s,线性相关,.,因此,r,为秩,a,1,a,r,为最大无关组,.,例,设,x,1,x,n,-,r,(,r,=,R,(,A,),),为,n,元齐次线性方程组,Ax,=,0,的一个,基础解系,S,为方程组,Ax,=,0,的,解集,则有,因基础解系线性无关,且,S,中的任一向量可由基础,解系线性表示,故基础解系是,S,的一个最大无关组,.,n,元方程组,Ax,=,0,的解集,S,的秩等于,n,-,R,(,A,).,Ax,=,0,的解集,S,的一个最大无关组也即基础解系,.,证明,若,x,满足,Ax,=,0,则有,A,T,(,Ax,),=,0,即,(,A,T,A,),x,=,0,;,若,x,满足,(,A,T,A,),x,=,0,则有,x,T,(,A,T,A,),x,=,0,(,Ax,),T,(,Ax,),=,0,设,a,T,=(,a,1,a,n,),则,提示,:,综上可知,Ax,=,0,与,(,A,T,A,),x,=,0,同解,从而,Ax,=,0,.,练习,5,证明,设其解集为,S,x,为,n,元未知量,则有,初等行变换保持矩阵的列向量组的,线性关系,.,证明,设矩阵,A,经初等行变换化为矩阵,B.,设矩阵,A,的列向量组有一,线性关系,因为矩阵,A,与,B,行等价,所以,Ax,=,0,与,Bx,=,0,同解,由此可知也有,定理,1,记,定理,1,初等行变换保持矩阵的列向量组的,线性关系,.,例,3,设,的秩为,3,一个最大无关组为,易知,且有,的秩为,3,一个最大无关组为,因此,且有,行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩,.,矩阵的秩等于它的,(,行,),列向量组的秩,.,注,:,R,(,a,1,a,m,),既表示向量组的秩,也表示矩阵的秩,.,秩与最大无关组的一个算法,例,3,设,的秩为,3,一个最大无关组为,易知,且有,的秩为,3,一个最大无关组为,因此,且有,化矩阵,A,为行最简形,A,0,通过观察,A,0,便知,A,的列向量组的秩和一个,特定的,最大无关组,以及,A,的其余列,向量在该最大无关组下的线性表示,.,解,一个最大无关组为,且有,练习,6,设,(1),求,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,的秩和一个最大无关组,;,(2),求其余向量在此最大无关组下的线性表示,.,矩阵,(,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,),的行最简形为,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,的秩为,3,若向量组,B,中的任一向量都可由向量组,A,中的向,量线性表示,就称向量组,B,可由向量组,A,线性表示,.,等价向量组,可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组,.,向量组的等价具有,反身性、对称性和传递性,.,向量组的线性表示具有,传递性,:,线性表示,若向量组,C,可由向量组,B,线性表示,向量组,B,可,由向量组,A,线性表示,则向量组,C,可由向量组,A,线性,表示,.,等价,向量组,证明,设,a,1,a,r,为向量组,A,的一个最大无关组,.,向量组,B,也可由,a,1,a,r,线性表示,.,因此,a,1,a,r,为,(,A,B,),的一个最大无关组,因向量组,A,可由,a,1,a,r,线性表示,线性表示的传递性,向量组,B,可由向量组,A,线性表示的充要条件是,定理,3,其中,(,A,B,),表示向量组,A,与,B,的并集构成的向量组,.,必要性,:,由向量组,从而,当然向量组,B,可由,a,1,a,r,线性表示,个最大无关组,若,充分性,:,则,a,1,a,r,为,(,A,B,),的一,从而向量组,B,可由向量组,A,线性表示,.,向量组,B,可由向量组,A,线性表示的充要条件是,定理,3,其中,(,A,B,),表示向量组,A,与,B,的并集构成的向量组,.,定理,4,向量组,A,与向量组,B,等价的充分必要条件是,证明,练习,7,设,证明向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价,.,记,A,=,(,a,1,a,2,),B,=,(,b,1,b,2,b,3,),易知,b,1,b,2,线性无关,于是,可知,因此,从而向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价,.,例,设,P,是立体空间中的一个平面,O,是,P,上一定点,用,V,表示起点在点,O,的,P,上所有向量的集合,.,集合,V,中的向量具有如下性质：,(1),若,a,V,b,V,则,a,+,b,V,;,(2),若,a,V,k,R,则,ka,V,称,V,为一个,平面向量空间,.,设,V,中两向量,a,1,a,2,线性无,关,即,a,1,a,2,不是共线向量,称向量空间,V,为由向量组,a,1,a,2,生成的向量空间,.,向量,空间的概念,则有,例,设,n,元齐次线性方程组,Ax,=,0,的解集为,S,系数,矩阵,A,的秩,R,(,A,),=,r,n,.,性质,1,若,x,S,h,S,则,x,+,h,S,.,性质,2,若,x,S,k,R,则,k,x,S,.,称解集,S,为一个,向量空间,(,解空间,),.,称解空间,S,为由向量组,x,1,x,n,-,r,生成的向量空间,.,设,x,1,x,n,-,r,是方程组,Ax,=,0,的一个基础解系,则有,向量空间,设,R,n,的非空子集,V,满足条件：,(1),若,a,V,b,V,则,a,+,b,V,;,(2),若,a,V,k,R,则,ka,V,那么称,V,为一个向量空间,.,当非空集,V,满足条件,(1),(2),时,称,V,对线性运算封闭,.,向量空间必含零向量,.,0,是一个向量空间,称,零空间,.,R,n,本身是一个向量空间,.,子空间,设有向量空间,V,1,及,V,2,若,V,1,V,2,就称,V,1,是,V,2,的子空间,.,而当,V,1,V,2,时,称,V,1,是,V,2,的,真子空间,.,(II),A,组可由,B,组线性表示的充要条件是,生成空间,设有向量组,A,:,a,1,a,m,则,L,(,A,),是一个向量空间,.,称,L,(,A,),为由向量组,A,生成的,向量空间,简称生成空间,.,称,a,1,a,m,为,生成元,.,记,设有向量组,A,:,a,1,a,s,B,:,b,1,b,t,.,(1),L,(,A,),为,L,(,B,),的子空间的充分必要条件是,A,组可由,B,组线性表示；,(2),L,(,A,),=,L,(,B,),的充分必要条件是,A,组与,B,组等价,.,提示,:,(I),对任意向量空间,V,练习,8,由,a,1,=,(1,1,0,0),T,a,2,=,(1,0,1,1),T,所生成的空间记为,V,1,而由,b,1,=,(2,-,1,3,3),T,b,2,=,(0,1,-,1,-,1),T,所生成的空间,记为,V,2,.,试证,V,1,=,V,2,.,解,求得,由此,又可得,因此,a,1,a,2,与,b,1,b,2,等价,从而,V,1,=,V,2,.,称向量空间,V,的任一最大无关组为,V,的一个基,.,向量,空间的基和维数,向量空间的基和维数,称向量空间,V,的秩为,V,的维数,记为,dim,V,.,基的性质,设,V,为一个向量空间,则,V,中向量组,a,1,a,r,为,V,的一个基的充分必要条件是,(2),V,中任一向量可由,a,1,a,r,线性表示,.,(1),a,1,a,r,线性无关,;,设,V,是一个,r,维向量空间,则,V,中任意,r,个线性无关,向量,a,1,a,r,为,V,的一个基,且有,n,元方程组,Ax,=,0,的基础解系为解空间,S,的一个基,dim,S,=,n,-,R,(,A,).,单位坐标向量组为,R,n,的一个基,dim R,n,=,n,.,立体空间中的平面向量空间是,2,维向量空间,的任意两个不共线向量为一个基,.,平面中,向量在基下的坐标,设,a,1,a,r,是向量空间,V,的一个基,则,V,中任一,向量,a,可唯一地表示为,称,(,k,1,k,r,),为,a,在基,a,1,a,r,下的坐标,.,解,练习,9,验证,a,1,=,(1,-,1,0),T,a,2,=,(0,1,3),T,a,3,=,(2,1,8),T,为,R,3,的一个基,并求,b,1,=,(5,0,12),T,b,2,=,(9,-,7,8,),T,b,3,=,(3,1,11),T,在这个基下的坐标,.,a,1,a,2,a,3,线性无关,b,1,b,2,b,3,在基,a,1,a,2,a,3,下的坐标分别为,可知,R,(,a,1,a,2,a,3,),=,3,即有,为,R,3,的一个基,.,基变换,与过渡矩阵,设,a,1,a,r,及,b,1,b,r,是向量空间,V,的两个基,基变换,称此关系式为,基变换公式,.,称矩阵,P,为从基,a,1,a,r,到基,b,1,b,r,的,过渡矩阵,.,证明,由矩阵乘积的秩的性质知,于是,R,(,P,),=,r,因此,P,可逆,.,过渡矩阵是可逆矩阵,.,则,存在,r,阶矩阵,P,使,平面坐标旋转变换公式,如图所示,依次记,i,j,i,j,为,x,轴,y,轴,x,轴,y,轴的,正向单位向量,设点,M,在坐标系,xOy,下的坐标为,(,x,y,),在坐标系,x,Oy,下的坐标为,(,x,y,).,由此得,旋转变换公式,则有,则有,向量,的内积,立体向量,a,与,b,的数量积,(,内积,),定义式,为,其中,j,为向量,a,与,b,的夹角,.,a,=,(,a,1,a,2,a,3,),与,b,=,(,b,1,b,2,b,3,),的内积,坐标计算公式,为,向量的内积,设有,n,维向量,a,=,(,a,1,a,n,),b,=,(,b,1,b,n,),称,a,b,为向量,a,与,b,的内积,.,向量空间带有内积运算,就称为,欧氏空间,.,记,内积的性质,向量的内积,设有,n,维向量,a,=,(,a,1,a,n,),b,=,(,b,1,b,n,),称,a,b,为向量,a,与,b,的内积,.,向量空间带有内积运算,就称为,欧氏空间,.,记,设,a,b,c,为,n,维向量,k,为实数,则有,(1),a,b,=,b,a,;,(4),a,a,0,等号成立的充分必要条件是,a,=,0,.,(2),ka,b,=,k,a,b,;,(3),a,+,b,c,=,a,c,+,b,c,;,提示,:,向量的范数,范数的性质,设,a,b,为,n,维向量,k,为实数,则有,(2),齐次性,|,ka,|,=,|,k,|,|,a,|;,(3),三角不等式,|,a,+,b,|,|,a,|+|,b,|.,(1),非负性,|,a,|,0,等号成立的充分必要条件是,a,=,0,;,即,称,为向量,a,的范数,(,或,长度,),记为,|,a,|,.,对于立体向量,a,b,因此,证明,施瓦茨,(Schwarz),不等式,提示,:,对于立体向量,a,b,因此,当,|,a,|,=,|,b,|,=,1,时,一般地,对于非零向量,a,b,而当,a,或,b,为零向量时,不等式两边都等于,0.,由恒等式,得,两向量的夹角,定义非零向量,a,与,b,的,夹角,为,规定零向量与任一向量成任意角,.,若,a,b,=,0,则称向量,a,与,b,正交,.,提示,:,对于立体向量,a,b,范数为,1,的向量,称,单位向量,.,对于立体向量,a,b,其中,j,为向量,a,与,b,的夹角,非零向量,a,的,单位化,(,或,规范化,),向量,练习,10,求与,a,=,(1,1,1),b,=,(1,-,2,1),同时正交的单位向量,.,解,设非零向量,x,=,(,x,1,x,2,x,3,),与,a,b,同时正交,解得,所求为,则有,表示与,a,同向,(,即夹角为零,),的单位向量,.,定理,1,设,e,1,e,r,为,r,维向量空间,V,中一组两两正交的,单位向量,则,e,1,e,r,为,V,的一个基,且对,V,中任一向,量,a,有表示式,规范正交基,几何背景,设,e,1,e,r,为,r,维向量空间,V,中一组两两正交的,单位向量,则,e,1,e,r,为,V,的一个基,且对,V,中任一向,量,a,有表示式,定理,1,规范正交基,证明,设,则,于是向量,a,可惟一地表示为,因此,e,1,e,r,线性无关,从而,为,V,的一个基,.,由此即得所证,.,设,e,1,e,r,为,r,维向量空间,V,中一组两两正交的,单位向量,则,e,1,e,r,为,V,的一个基,且对,V,中任一向,量,a,有表示式,r,维向量空间,V,中任意一组,两两正交的单位向量,e,1,e,r,称为,V,的一个规范正交基,.,规范正交基,定理,1,规范正交基,V,为平面,POQ,A,A,与,V,正交,.,几何背景,定理,2,设,e,1,e,r,为,R,n,的子空间,V,的一个规范正交基,对,R,n,中任一向量,a,记,则,a,-,a,与,V,正交,即,a,-,a,与,V,中每个向量都正交,.,称,a,为向量,a,在向量空间,V,上的,正交投影向量,.,定理,2,设,e,1,e,r,为,R,n,的子空间,V,的一个规范正交基,对,R,n,中任一向量,a,记,则,a,-,a,与,V,正交,即,a,-,a,与,V,中每个向量都正交,.,证明,因为在基下的坐标是唯一的,所以,由定理,1,知,对,V,中任一向量,即,a,-,a,与,x,正交,.,问题,已知,a,1,a,r,为,V,的一个基,如何求,V,的一个规范,正交基,?,施密特,(Schmidt),正交化过程,记,V,k,=,L,(,a,1,a,k,),设,a,k,为,a,k,在向量空间,V,k,-,1,上的,正交投影向量,取,则,e,1,e,k,为,V,k,的,一个,规范正交基,.,注意,因此,e,1,e,k,为,V,k,的,规范正交基,.,假设,e,1,e,k,-,1,为,V,k,-,1,的,一个,规范正交基,.,提示,:,称,e,1,e,r,为,a,1,a,r,的,规范正交化,.,问题,已知,a,1,a,r,为,V,的一个基,如何求,V,的一个规范,正交基,?,施密特,(Schmidt),正交化过程,记,V,k,=,L,(,a,1,a,k,),设,a,k,为,a,k,在向量空间,V,k,-,1,上的,正交投影向量,取,则,e,1,e,k,为,V,k,的,一个,规范正交基,.,提示,:,解,练习,11,设,a,1,=,(1,2,-,1),a,2,=,(,-,1,3,1),a,3,=,(4,-,1,0),试用,Schmidt,正交化过程把这组向量规范正交化,.,e,1,e,2,e,3,即为所求,.,设,e,1,e,n,为,R,n,的一个规范正交基,正交矩阵,与正交变换,则有,于是,P,T,P,=,E,.,反之,若,P,T,P,=,E,则,P,的列向量组是,R,n,的一个规范正交基,.,正交矩阵,设,P,为方阵,如果,P,T,P,=,E,就称,P,为正交矩阵,.,P,为正交矩阵,也即,P,-1,=,P,T,.,P,为,n,阶正交阵的充分必要条件是,P,的列,(,行,),向量组,为,R,n,的一个规范正交基,.,记矩阵,练习,12,设,A,B,为,n,阶正交阵,证明,AB,也为正交阵,.,证明,由,A,T,A,=,E,B,T,B,=,E,得,因此,AB,为正交阵,.,正交变换,若,P,为正交阵,则称线性变换,y,=,Px,为正交变换,.,正交变换保持向量的内积不变,.,证明,设,y,=,Px,为正交变换,y,1,=,Px,1,y,2,=,Px,2,坐标旋转变换,是正交变换,.,正交变换具有保持几何形状,(,长度和夹角,),不变的优点,.,则有,