初中数学-八年级数学优质公开课赛教获奖教案第四册一元二次方程实数根错例剖析课.docx

初中数学-八年级数学优质公开课赛教获奖教案第四册一元二次方程实数根错例剖析课
x-1＝0 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围。错解: 由△＝(-2 ) 2-4(1-2k)(-1) ＝-4 k +8 ＞0得k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1 。即 k 的取值范围是 -1≤k＜2错因剖析：漏掉了二次项系数 1-2k≠0 这个前提。事实上，当 1-2k＝0 即 k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。正解： -1≤k＜2 且 k≠ 例4
（2002山东太原中考题） 已知x 1 ，x 2 是关于x的一元二次方程x 2 +(2m+1)x+m 2 +1＝0的两个实数根，当x 1
2 +x 2
2 =15时，求m
的值。 错解：由根与系数的关系得
x 1 +x 2 ＝-（2m+1）, x 1 x 2 ＝m 2 +1,∵ x 1
2+x 2
2 ＝ (x 1+x 2) 2-2 x 1x 2＝ [-（2m+1）] 2-2（m 2+1）＝ 2 m 2+4 m-1又∵ x 1
2+x 2
2 = 15∴ 2 m 2+4 m-1
= 15∴ m 1 ＝ -4 m 2 ＝ 2错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当 m ＝ -4 时，方程为 x 2-7x+17＝0， 此时△ ＝（-7） 2-4×17×1＝
-19＜0， 方程无实数根，不符合题意。正解： m ＝ 2例5 若关于 x 的方程 (m 2-1)x 2-2 (m+2)x+1＝0 有实数根，求 m 的取值范围。错解：△＝ [-2(m+2)] 2-4(m 2-1)
＝ 16 m+20∵△≥0∴ 16 m+20≥0，∴ m
≥ -5/4又∵ m 2 -1≠0，∴ m≠±1∴ m
的取值范围是m≠±1且m
≥ -错因剖析：此题只说 (m 2-1)x 2-2 (m+2)x+1＝0 是关于未知数 x 的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m 2 -1＝0和m 2 -1≠0两种情况。当 m 2-1＝0时， 即 m＝±1 时 ， 方程变为一元一次方程，仍有实数根。正解： m的取值范围是 m ≥-例6 已知二次方程 x 2+3 x+a＝0 有整数根， a 是非负数，求方程的整数根。错解：∵方程有整数根，∴△＝ 9-4a＞0， 则 a＜2.25又∵ a 是非负数，∴ a＝1 或 a＝2令 a＝1， 则 x＝ -3±
， 舍去；令 a＝2， 则 x 1＝ -1、 x 2＝ -2∴方程的整数根是 x 1＝ -1， x 2＝ -2
错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当 a＝0 时，还可以求出方程的另两个整数根，x 3 ＝0， x 4 ＝ -3正解：方程的整数根是 x 1＝ -1， x 2＝ -2 ， x 3 ＝0， x 4 ＝ -3【练习】练习1、（01济南中考题）已知关于 x 的方程 k 2x 2+(2k-1)x+1=0 有两个不相等的实数根 x 1、x 2。 （1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得△＝ (2k-1) 2-4 k 2＞0
解得 k＜ ∴当 k＜ 时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在。如果方程的两实数根 x 1、x 2
互为相反数，则 x 1+ x 2= - =0， 解得k
＝。经检验k
＝是方程-
的解。∴当 k ＝ 时，方程的两实数根 x 1、x 2
互为相反数。读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。
解：上面解法错在如下两个方面：（1）漏掉 k≠0， 正确答案为：当 k＜
时且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根。（2） k ＝。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数 k， 使方程的两实数根互为相反数练习2（02广州市）当 a 取什么值时，关于未知数 x 的方程 ax 2+4x-1 ＝0只有正实数根 ?
解：（1）当 a ＝0时，方程为4 x-1 ＝0，∴ x ＝（2）当 a≠0 时，∵△＝16+4 a≥0∴ a≥ -4∴当 a≥ -4 且 a≠0 时，方程有实数根。又因为方程只有正实数根，设为 x 1，x 2， 则：x 1 +x 2 ＝- ＞0 ；x 1 . x 2 ＝- ＞0
解得 ： a＜0综上所述，当 a ＝0、 a≥ -4、a＜0 时，即当 -4≤a≤0 时 ， 原方程只有正实数根。【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。
1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。2、运用根与系数关系时，△≥ 0 是前提条件。3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。
【布置作业】1、当m为何值时，关于 x 的方程 x 2+2（m-1）x+ m 2-9 ＝0有两个正根？
2、已知，关于 x 的方程 mx 2-2（m+2）x+ m+5 ＝0（ m≠0）没有 实数根。求证：关于 x 的方程（ m-5）x 2-2（m+2）x + m ＝0一定有一个或两个实数根。考题汇编
1、（2000年广东省中考题）设x 1 、 x 2 是方程x 2 -5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x 1 -x 2 ） 2 的值。 2、（2001年广东省中考题）已知关于x
的方程x 2- 2x+m-1＝0
（1）若方程的一个根为1，求 m 的值。（2） m ＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。3、（2002年广东省中考题）已知关于x
的方程x 2 +2（m-2）x+ m 2 ＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。
4、（2003年广东省中考题）已知x 1 、x 2 为方程x 2 +px+q＝0的两个根，且x 1 +x 2 ＝6，x 1
2 +x 2
2 ＝20，求p和q
的值。