第七章 主应力.ppt

,NORTHEASTERN UNIVERSITY,弹性力学简明教程,第七章空间问题的基本理论,第七章 空间问题的基本理论,概述,7-1,平衡微分方程,7-2,物体内一点的应力状态,7-3,主应力 最大与最小主应力,7-4,几何方程与物理方程,7-5,轴对称问题的基本方程,概述,弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。,弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为,平面问题，轴对称问题、球对称问题。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为,空间球对称问题,和,空间轴对称问题,。,一、球对称问题,，,，,，,，,，,，,当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。,球对称问题,概述,在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。,概述,如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标,、,Z,的函数，与,无关,。,轴对称问题,二、轴对称问题,，,，,，,，,，,，,7,1,平衡微分方程,7,1,平衡微分方程,图,7,1,由受力平衡,平衡微分方程,7,1,平衡微分方程,由力矩平衡,切应力互等,二维,三维,7-2,物体内一点的应力状态,7,2,物体内一点的应力状态,方向余弦：,（,7-2,）,受力平衡，得到全应力分量,斜面上的正应力和切应力,（,7-3,）,（,7-4,）,方向余弦：,7,2,物体内一点的应力状态,如果,ABC,是边界面，成为面力分量,空间问题的应力边界条件,（,7-5,）,（在 上）,7-3,主应力，最大与最小应力,设主应力与全应力分量的关系,：,7,3,主应力最大与最小应力,a,b,c,代入（,7-2,）式：,整理,由于,所以，不全为零,7,3,主应力最大与最小应力,（,7-6,）,（,7,6,）即为求主应力公式,设,是方程（,7-6,）的三个根，则：,与（,7-6,）式比较，则：,上式为,应力状态的三个不变量,（,7,7,）,当求得主应力以后，利用下式求主方向,为了求,相应的方向余弦，,利用上式的任意二式,将,二式除以,（,c,）,7,3,主应力最大与最小应力,可以求得,的比值，再利用,求出：,同样也可以求出其他主应力的方向余弦。,7,3,主应力最大与最小应力,7-4,几何方程及物理方程,（,7,8,）,7,4,几何方程,及物理方程,空间问题的几何方程,或写称这种形式,空间问题的位移边界条件,（,7,9,）,7,4,几何方程及,物理方程,物理方程,（,7,12,）,其中：,7,4,几何方程及物理方程,体积应变,：单位体积的体积改变,对于一个平行六面体微元,略去高阶小量,体积应变,用位移表示的体积应变,7,4,几何方程及物理方程,体积应力,把物理方程（,7,12,）的前三项相加,令,体积应力,（,7,13,）,其中 称为体积模量,7,4,几何方程及物理方程,物理方程的另外一种表达形式,其中：,（,7,14,）,7,4,几何方程及物理方程,小结：,对于空间问题，们有,15,个未知函数：,6,个应力分量，,6,个应变分量,3,个位移分量。,15,个未知函数在弹性体区域内应该满足,15,个独立的基本方程：,3,个平衡微分方程，,6,个几何方程，,6,个物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件,。,7,5,轴对称问题的基本方程,7,5,轴对称问题的基本方程,轴对称问题：,在空间问题中，如果弹性体的,几何形状,、,约束情况,，以及所受的,外力,作用，都是,对称于某一轴,（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的,应力,、,变形,和,位移,也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形状一般为是,圆柱,或,半空间,。,在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数，与 无关,。,位移分量：,应力分量：,应变分量：,7,5,轴对称问题的基本方程,问题描述：,图,7,4,1,如图,7,4,1,，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元,PABC,建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）,7,5,轴对称问题的基本方程,分析 面上的应力情况，如图,7,4,2,和,7,4,3,所示,由 得,图,7,4,2,图,7,4,3,7,5,轴对称问题的基本方程,化简，并略去微量：,将六面体的受力投影到,z,轴上得到另外一个平衡方程,化简，并略去微量：,7,5,轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的平衡微分方程,（,7,15,）,7,5,轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的,几何方程,通过,2,4,和,4,2,中同样的分析，,由径向位移 引起的变形,由轴向位移 引起的变形,将两组应变叠加，得到空间轴对称问题的,几何方程,（,7,16,）,7,5,轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的,物理方程,（胡克定律）,（,7,17,）,7,5,轴对称问题的基本方程,将前,3,式相加,其中：体积应变,体积应力,物理方程的另外一种表示形式,（,7,20,）,（,7,19,）,（,7,18,）,没有作业,