第六章-自旋与全同粒子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六（,七,）章 自旋与全同粒子,第1,节,电子自旋,已经知道，微观粒子都具有自旋，前面介绍的薛定谔方程没有包括这种纯量子效应。同时，单个粒子的薛定谔方程容易推广到多粒子情况。但是，在考虑全同粒子的多粒子系统时，我们还需要额外的假设才能符合实际情况。,1925年，,Uhlenbeck,和,Goudsmit,为了解释实验结果，提出了电子自旋的假设：,1）电子具有自旋角动量 ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值,电子自旋最初是作为假设。但是，,相对论性量子力学中电子自旋不是假设！,1928年,Dirac,根据相对论的一般要求得到,Dirac,方程电子相对论性量子动力学方程,电子自旋自然出现。,2）电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的关系是,历史上，电子自旋是为解释碱金属原子光谱的,双线结构,（例如钠黄线在高分辨率光谱仪下发现是由,D1,线589.6,nm,和,D2,线589.0,nm,组成）和,复杂塞曼效应,（弱磁场中光谱线分裂成偶数条谱线的现象钠,D1=2,条,D2=6,条）提出来的。,说明电子自旋的典型实验是,Stern,Gerlach,实验：银原子束通过非均匀磁场分裂成两束,注意 自旋回磁比,轨道回磁比,第,2节,电子的自旋算符和自旋函数,电子自旋是纯量子特性，不能用经典力学解释。它与电子的坐标和动量无关，是电子内部自由度的表征。电子自旋也由算符表示。由于它是角动量，因此,电子自旋算符,满足,或,写成分量形式,由于电子自旋在空间任意方向上都只能取两个数值 ，因此,为方便起见，通常引入无量纲算符,Pauli,算符 来描述电子自旋角动量,Pauli,算符 满足的对易关系,Pauli,算符 满足的反对易关系,证明,例题,(,p240 7.1,题）证明,第,2节,电子的自旋算符和自旋函数,电子自旋与电子的坐标和动量无关。我们可以考虑自旋空间。取 表象,Pauli,矩阵,矩阵的本征矢,完整描述电子状态需包括电子自旋量子数。因此,电子的波函数,的一般形式为,表示电子自旋向上（下）并出现在位型空间,dV,体积中的概率,考虑了电子自旋的归一化条件变成,算符的一般形式变成矩阵形式的算符,平均值的一般形式变成,第,2节,电子的自旋算符和自旋函数,例题,(,p241 7.5,题）氢原子处于状态,求 的平均值,波函数已归一化了,方法1：状态函数已按这些算符的本征态展开,方法2：,第,3节,简单（正常）塞曼效应,考虑氢原子或类氢原子处于外磁场（不失一般，假设磁场沿,z,方向）,电子磁矩在外磁场中的能量,如果磁场足够强（），外磁场引起谱线分裂现象就称为,简单（正常）塞曼效应,否则就称为,复杂（反常）塞曼效应,电子轨道-自旋相互作用能量,氢原子或类氢原子处于,z,方向强外磁场（忽略轨道-自旋相互作用）时的哈密顿量为,能级分裂,由,有多少不同值决定,即,nl,固定（,l=1),的一个能级变成5个子能级,光谱线分裂总是1-3,原子,（,偶极）,选择定则,第,4节,两个角动量的耦合,电子既有轨道角动量又有自旋角动量，需要考虑角动量相加（耦合）。下面考虑两个角动量相加的问题。这两个角动量可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也可以是两个粒子的轨道（或自旋）角动量，等等。,两个独立角动量之和,也是角动量，即满足,还可证明,彼此对易=这四个算符有构成完全集的共同本征矢集,已知,彼此对易=它们有构成完全集的共同本征矢集,展开式,Clebsch,-Gordon,系数,的个数,第,4节,两个角动量的耦合,两个独立角动量之和,也是角动量,是,耦合表象,的基矢,两者联系,Clebsch,-Gordon,系数,是,无耦合表象,的基矢,例题1：电子的轨道角动量和自旋角动量的耦合,例题2：两个电子的自旋角动量之和,容易推广到多个独立角动量之和的情况,例题3：两个电子的轨道角动量之和,L-S,耦合,J-J,耦合,第,5节,光谱的精细结构,由相对论效应产生的电子轨道-自旋相互作用,氢原子或类氢原子,利用微扰理论考虑它对能级的修正导致能级和光谱的精细结构,零级结果,无耦合表象,由于,用,耦合表象,可避免简并微扰理论中的矩阵对角化过程,用,耦合表象,表示零级结果,简并微扰一级能量修正,一级能量修正,显式结果,第,6节,全同粒子的特性,前面主要讨论的是单个粒子情况，也涉及到了多粒子系统，例如氢原子或类氢原子。,经典物理,：全同粒子可以通过它们的不同轨道来区分编号在演化时保持不混淆,现在讨论一种特殊的多粒子系统全同粒子系统,全同粒子,质量、电荷、自旋等内秉（或称固有）性质相同的粒子。,例如，所有的电子，所有的质子，所有的中子，等等,量子物理,：无轨道概念,区分全同粒子有困难编号在演化时可能混淆(玻函数重叠时,),它的推论,再互换一次,全同性原理,(量子力学基本假定),:交换任意两个全同粒子不改变全同粒子系统的状态,全同性原理导致状态必须是,对称,或,反对称,波函数描述,第,6节,全同粒子的特性,全同粒子系统必须是,对称,或,反对称,波函数描述,这种对称性不随时间演化而变化,注意全同粒子系统的哈密顿量在经典和量子物理中都具有下列不变性,显然，某时刻是对称（反对称）的波函数在任何时刻都是对称（反对称）波函数,实验发现（实际上在相对论性量子场论可证明由于因果率要求导致下列结论）,全同,玻色子,(,自旋为整数的粒子,)系统由,对称波函数,描述；它们遵从,玻色爱因斯坦统计,全同,费米子,(,自旋为半整数的粒子,)系统由,反对称波函数,描述；它们遵从,费米狄拉克统计,自旋为整数（半整数）是指自旋量子数,s,的取值,为,整数,（,半整数,）,电子、质子、中子都是自旋1/2的费米子,光子是自旋1的玻色子,第,7节,全同粒子体系的波函数,下面讨论全同粒子体系的波函数怎样用单个粒子的波函数来构成,先考虑无相互作用情况并以两个粒子为例说明,记,归一化对称波函数,归一化反对称波函数,对称波函数,反对称波函数,注意,表明此时不能有合理的反对称函数,=,Pauli,不相容原理,：,不能有两个(或以更多的)费米子处于相同的状态,归一化条件,例如,无相互作用时它们是能量本征态,第,7节,全同粒子体系的波函数,N,个全同粒子的波函数,归一化对称波函数,归一化反对称波函数,注意：1）行列式转置后的值不变 2）行列式交换2列或行反号=上式是反对称函数,显然，当态指标中有两个或两个以上相同时，上述反对称函数变为零。因此仍有,Pauli,不相容原理,：,不能有两个(或以更多的)费米子处于相同的状态,无相互作用时它们是能量本征态,存在相互作用时，它们不是能量本征态，但是可作为对称（反对称）空间的基矢,无自旋-轨道相互作用时，波函数可写成形式,第,8节,两个电子的自旋函数,也适用于质子和中子等其它自旋1/2粒子,单电子自旋函数,归一化对称波函数,归一化反对称波函数,注意,还可证明,两个电子的自旋函数,和,以及上述公式，可证明,例题,：证明,组成正交归一系,正交是显然的，厄米算符属不同本征函数正交,两个自旋1/2粒子交换能的概念,两个,自旋1/2的全同粒子,的自旋函数,1,）粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出,3,个最低能态的波函数,两个质量为,，,自旋,1/2,的全同粒子处于一维无限深势阱,中，忽略自旋相关力。,2,）粒子间有相互作用势能 这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2和第3个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。,一维无限深势阱的定态能量和定态波函数是,1）粒子间无相互作用，两个自旋1/2的全同费米子体系的波函数是,两个,自旋1/2的全同粒子,的位型空间对称和反对称函数是,自旋三重态,自旋单态,3,个最低能态的波函数,基态,-自旋单态,自旋三重态,自旋单态,第一激发态,第2激发态,-自旋单态,相应,能量,两个自旋1/2粒子交换能的概念,两个质量为,，,自旋,1/2,的全同粒子处于一维无限深势阱,中，忽略自旋相关力。,2,）粒子间有相互作用势能 这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2和第3个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。,自旋三重态,自旋单态,第一激发态,第2激发态,-自旋单态,交换能,第2最低的能态在零级近似中是四度简并，用简并微扰理论。由于相互作用能量与自旋无关，微扰矩阵是对角矩阵。因此可直接写出一级能量修正,第3最低的能态在零级近似中是非简并，直接用非简并微扰写出一级能量修正,K,有经典对应,J,无经典对应,氢原子处于状态,例题,1）计算 和 的平均值,2）计算测不准关系,解：1）因为,状态已归一化了，所以,