第四章.体的表面交线.ppt

第四章 体 的 表 面 交 线,第二节 平面与回转体相交,第三节 两立体体表面相交,第一节 平面立体被截切,第四章 体的表面交线,截平面,概念：,截切,用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。,截断面,截交线,截平面,用以截切物体的平面。,截交线,截平面与物体表面的交线。,截断面,因截平面的截切，在物上形成 的平面。,相贯线,两回转体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线,截交线的,性质,：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。,实质：,求两平面的交线。,求截交线的方法：,空间分析：,截平面与体的相对位置，确定截交线的形状；截 平面与投影面的相对位置，确定截交线 的投影特性。,作图方法：,1,）交点法：,求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点 位所求。,2,）表面取点法：,利用立体表面在投影面上的投影右积聚性的特点求之。,3,）辅助线法：,在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。,4,）辅助平面法,：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。,4-1,平面立体被截切,例,1,：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。,1,1,1,2,2,2,(4),4,3,3,3,作出各对应点的投影，,依次连接各点。,补全棱锥体的外形投影。,4,1,、单一平面与平面立体截交,被截切后的投影图：,例,2,、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。,分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截线都积聚在六边形上。,1,1,2,（,3,）,2,3,4,（,5,）,4,5,1,2,3,4,5,6,（,7,）,6,7,6,7,完成后,的,投影图,例,3,、如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。,a,(b),b,a,a,b,分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线,AB,的投影。,B,A,2,、多个平面与平面立体截交,完成后的投影图,a,(b),b,a,a,b,截交线的性质：,截交线,是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。,截交线,是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。,截交线,的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。,求截交线的方法和步骤,：,分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。,求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。,补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。,4-2,平面与回转体相交,一、平面与圆柱体相交,截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。,P,截平面与圆柱轴线,平行截交线为矩形,P,H,P,P,v,截平面与圆柱轴线,倾斜截交线为椭圆,P,P,v,截平面与圆柱轴线,垂直截交线为圆,例,1,、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面,的投影，完成侧面投影。,1,2,1,2,1,2,3(4),4,3,4,3,a,a(b),b,a,b,c(d),c,d,c,d,作图过程：,求特殊点 即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。,求一般点 从正面投影上选取,A,、,B,、,C,、,D,四点分别求出水平面和侧面投影。,光滑地连接各点。,例,2,、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。,分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。,侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。,正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。,水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。,1,1,2,2,(3),2,3,3,4,(5),4,4,5,5,6(7),7,6,6,7,8,(9),8,9,8,9,a,(b,),a,b,a,b,1,c,d,c,d,c,(d),(),(),完成后的投影图,例,3,、求如图所示的开槽圆柱的左视图。,分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。,1,（,2,）,1,2,1,2,3,（,4,）,3,4,3,4,5,（,6,）,5,6,5,6,完成后的投影图,二、平面与圆锥体相交,截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的,形状不同。,截平面垂直于圆锥轴,线，倾角为,=90,，,截交线为圆形。,P,v,截平面与圆锥轴线,倾斜，倾角,截交线为椭圆。,P,v,Pv,Pv,Pv,截平面与圆锥轴线,倾斜面，倾角,=,截交线为抛物线。,截平面与圆锥轴线,平行或倾角,，,截交线为双曲线。,截平面过锥顶截,交线为三角形。,例,1,、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。,圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线。,a,a,b,b,a,b,c(d,),c,c,d,k,l,k,kl,d,l,作图：,1,、求特殊点 最高点,B,最低点,A,；,圆锥体的前后,素线与截交线的正面投影,的交点,cd,重影为一点，其,余两面投影根据投影关系,求出；截交线的最前点,K,和最后点,L,，,正面投影重影,于,ab,的中点。,2,、求一般点。,3,、光滑连接各点的同面投,影。,完成后的三视图,例,2,、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。,分析：顶尖头是由相连的圆锥,体和圆柱体被两个平面截切,而成，轴线为侧垂线，截平面,分别为侧平面和水平面。,侧平面与圆柱轴线垂直，,与圆柱的截交线为圆弧，正面,投影为直线，侧面投影为圆弧,的实形。,水平面与圆柱的截交线为,开口矩形，与圆角度的截交线,为双曲线，其正面和侧面投影,均为直线。,a,b(c),a,a,b,c,b,C,de,d,e,e,d,f,f,f,gh,g,h,g,h,三、平面与球体相交,球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。,P,h,1,、截平面为平行面,截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。,Pv,Pv,截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形,。,截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。,3,、截平面为垂直面,2,、截平面为水平面,例,1,：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影,。,a,b,b,a,e(f),e,f,c(d),c,d,g(h),g,h,分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。,作图：,1,、求特殊点 截交线的最低点,A,和最高点,B,是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影,a,、,b,在其正面投影轮廓线的水平投影上,。,a b,的中点,c d,是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影,cd,投影在辅助纬圆上。,e f,是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影,ef,在球的水平投影轮廓线上。,2,、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与,ab,的交点,g,、,h,为截交线上两个点的正面投影，其水平投影,g,、,h,投影在辅助纬圆上。,例,2,、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。,分析：半球的通槽由三个平面构成，,一个水平面和两个侧平面截切圆球,它们与球面的截交线都是分别平行于,投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧,的半径；可根据截平面位置确定。,1,、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。,2,、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。,4-3,两立体表面相交,概 念,两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。,相贯线性质：,表面性,相贯线位于两立体的表面上。,封闭性,相贯线一般是封闭的空间曲线。,共有性,相贯线是两立体表面的共有线。,作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。,作图方法：,交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。,辅助平面法,：根据三面共点原理，利用辅助 平面求出两回转体表面上的共有点。,作图步骤,：,分析两立体表面性质，即两立体的相对位置和相交情况。,求相贯线上的特殊点。,求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交线的交点是相贯线上的点。,选择辅助平面的原则：,使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。,一、平面立体与平面立体相交,两平面立体的相贯线在一般情况下是一条封闭的折线,由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。,A,C,D,B,a,(e,),b,(f,),d,(g,),c,a(c,),b,f,e,g,d,a,e,c,f,(g,),b,(d,),二、平面立体与曲面立体相交,平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。,A,C,D,E,a,(b,),e,(f,),c,(d,),c,(e,),a,d,(f,),b,a,c,e,b,d,f,相贯线投影,三、曲面立体与曲面立体相交,两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。,1,、两圆柱相交,相交两回转体的相互位置不同可分为,正交,、偏交、斜交,。,相贯线投影,相贯线投影,分析：两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积矛在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。,作图：求特殊点：,a,、,b,就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影,c,、,d,，,由从属关系求出其余两面投影。,求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影,1,、,2,和水平面投影,1,、,2,分别在圆周与平面投影的交点上。,a,b,a b,a,b,c,d,c(d),c,d,1,2,1(2),1,2,例,1,、如图示，求两圆柱正交的相贯线。,完成后的投影图,例,2,、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。,a,b,a,b,a(b),c,d,c(d),c,d,1,2,1(2),1,2,完成后的相贯线投影图,2,、,圆柱与圆锥相交,例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。,分析：圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。用辅助平面法作图。,作图：求特殊点,A,、,B,是最高点和最低点；过圆柱的最前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相贯线最前、最后点的投影。,a,b,a,a,b,b,d,c,cd,c,d,求一般点 作辅助水平面。,1,2,1,2,12,3,4,3,4,34,连相贯线，判别可见性。,完成后的相贯线三视图,3,4,3,、,圆柱与球相交,例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。,分析：圆柱轴线不能过球心，,因此圆柱与球是偏交。圆柱的,轴线是铅垂线，则相贯线的水,平投影必积聚在圆柱水平投影,的圆周上。,求特殊点 由于圆柱和球下面,投影的转向轮廓线在同一平面,上，交点,ab,是最高和最低点的,正面投影。作辅助侧平面求出,最前、最后点的投影。,a,b,a,b,a,b,d,c,d,cd,求一般点 作辅助水平面，与圆柱交线的水平投影都积聚在圆柱水平投影的圆周上，与球交线的水平投影为不同直径的圆，两个圆的交点为相贯线上的一般点。,1,2,12,1,2,3,4,34,连相贯线判别可见性。,c,完成后的相贯线投影图,4,、,相贯线的特殊情况,1,）、两回转体共轴线相交,两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是平面曲线,圆。,圆柱与圆锥共轴,圆锥与圆球共轴,圆柱与球共轴,2,）、两圆柱体直径相等且轴线相交,相贯线为两个相同,的椭圆，椭圆平面,垂直于两轴线所决,定的平面。,例：如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线。,小 结,一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是,截平面与棱面的交线,。,求截交线的方法：,棱线法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的,共有线,。,三、解题方法与步骤,1,、空间及投影分析,2,）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置以,确定截交线的投影特性,。,1,）分析截平面与被截立体的相对位置，以,确定截交线的形状,。,当截交线的投影为非圆曲线时，,要,先,找特殊点,再补充中间,点,，最后光滑连接各点。,2,、求截交线,3,、当单体被多个截平面截切时，要,逐个,截平面,进行截交线,的分析与作图,。当只有,局部被截切,时，先,按整体被截切求出截交线,，然后,再取局部,。,4,、求,复合回转体,的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后,分别求出,这些,基本回转体的截交线,，并依,次将其连接,。,四、两回转体相交，相贯线具有,共有性、表面性和封闭性,，求相贯线的方法用,辅助平面法,。,