射影变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 射影变换,本章,地位,平面射影几何的核心内容之一,本章,内容,在,一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究,.,2.1,交比,一、点列中四点的交比,1,、定义,交比,最根本的射影不变量,定义,2.1,.,设,P,1,P,2,P,3,P,4,为点列,l,(,P,),中四点,且,P,1,P,2,，,其齐次坐标依次为,a,b,a,+,1,b,a,+,2,b,.,则记,(,P,1,P,2,P,3,P,4,),表示这四点构成的一个,交比,.,定义为,(2.1),称,P,1,P,2,为,基点对,，,P,3,P,4,为,分点对,.,定理,2.1,.,设点列,l,(,P,),中四点,P,i,的齐次坐标为,a,+,i,b,(,i,=1,2,3,4).,则,(2.2),证明定理,2.1,.,以,P,1,P,2,为,基点，参数表示,P,3,P,4,.,设,a,+,1,b=a,a,+,2,b=b,.,从中解出,a,b,得,于是，,P,1,P,2,P,3,P,4,的坐标可表示为,即,由,交比的定义，有,注,：定理,2.1,可以作为交比的一般定义,.,(2.2),2.1,交比,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,(1).,交比的初等几何意义,如果限于欧氏平面，则,(2.2),式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即,(2.3),2.1,交比,例,1,.,设,1,2,3,4,5,6,是,6,个不同的有穷远共线点,.,证明,(1)(12,34)(12,45)(12,53)=1;,(2)(12,34)(12,56)=(12,36)(12,54).,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,(1).,交比的初等几何意义,(2).,交比的组合性质,定理,2.2,设,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,r,.,当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：,推论,由定理,2.2,，相异的共线四点构成的,24,个交比只有,6,个不同的值：,此即,P.45,式,(2.4).,不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！,2.1,交比,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,定理,2.3,共线四点的交比值出现,0,1,三者之一,这四点中有某二点相同,.,证明,可根据定理,2.1,，令,P,1,=,P,2,或,P,2,=,P,3,或,P,3,=,P,4,或,P,4,=,P,1,进行验证即可,.,此时,上述,6,个不同的交比值又只有,3,组：,0,1,.,4,、调和比,定义,若,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,1,则称,推论,1,若,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,1,则此,四点互异,.,推论,2,相异四点,P,1,P,2,P,3,P,4,可按某次序构成调和比,这四点,的,6,个,交比值只有,3,个：,2.1,交比,点组,P,1,P,2,P,3,P,4,为,调和点组,(,列,),点偶,P,1,P,2,与,P,3,P,4,(,相互,),调和分离,点偶,P,1,P,2,与,P,3,P,4,(,相互,),调和共轭,点,P,4,为,P,1,P,2,P,3,的,第四调和点,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,调和比是最重要的交比！,对于,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,1,利用初等几何意义，我们有,此时,若,则可,合理地认为,于是,这,表示,P,3,为,P,1,P,2,的中点，从而有,推论,3,设,P,1,P,2,P,为共线的通常点,.,P,为此直线上的无穷远点,.,则,P,为,P,1,P,2,的中点,注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系,2.1,交比,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,2.1,交比,例,2,.,设,1,2,3,4,5,6,是,6,个不同的共线点,.,证明：若,(12,34)=(14,32),则,(13,24)=-1.,由,题设,已知四点相异,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,5,、交比的计算,(1).,由坐标求交比,例,3,已知,P,1,(3,1,1),P,2,(7,5,1),Q,1,(6,4,1),Q,2,(9,7,1).,求,(,P,1,P,2,Q,1,Q,2,).,解,第一步,.,验证四点共线,.,第二步,.,以,P,1,P,2,为基点,参数表示,Q,1,Q,2,.,令,i,=1,2.,对于,i,=1,利用,P.17,例,1.3,有,同理,对于,i,=2,可,求得,于是，,2.1,交比,此步,不可省！若不共线则交比无定义！,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,5,、交比的计算,(1).,由坐标求交比,(2).,由交比求坐标,定理,2.4,设,并,已知,和,其中三点的坐标,.,则第四点的坐标可唯一确定,.,例,4,已知,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=2,P,1,P,2,P,4,的坐标依次为,(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1).,求,P,3,的坐标,.,解,：设,则,显然,由,可得,从而,P,3,的坐标为,(3,1,3).,2.1,交比,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,5,、交比的计算,(1).,由坐标求交比,(2).,由交比求坐标,例,4,已知,P,1,P,2,分别是,x,轴、,y,轴上的无穷远点,P,3,是斜率为,1,的方向上的无穷远点,且,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,r,.,求,P,4,的坐标,.,解,：由题设知,P,1,P,2,P,3,的坐标分别为,(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).,设,则,显然,由,可得,从而,P,4,的坐标为,(,r,1,0).,2.1,交比,注：若要求,P,1,或,P,2,的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第,1,2,位置为已知点,再计算,.,一、点列中四点的交比,1,、定义,2,、性质,3,、特殊情况,4,、调和比,5,、交比的计算,(1).,由坐标求交比,(2).,由交比求坐标,推论,4,设,为,点列,l,(,P,),中取定的相异三点,.,则,为,点列,l,(,P,),与,之间的一个双射,.,其中,从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标,.,2.1,交比,一、点列中四点的交比,例,5,(P.47,例,2.3),一直线依次交三点形,P,1,P,2,P,3,的三边,P,2,P,3,P,3,P,1,P,1,P,2,于,Q,1,Q,2,Q,3,.,在此三边上另取点,Q,1,Q,2,Q,3,使,求证：,2.1,交比,任务：,请自学，并认真研究、体会,.,注,3,：,由,本,例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理：,Menelaus,定理、,Ceva,定理,.,本例：,1.2,齐次坐标的,5,对结论、对偶原则、交比的性质与计算综合性演习,.,注,1,：,注,2,：,一、点列中四点的交比,二、线束中四直线的交比,1,、线束的参数表示,设,a,b,为线束,S,(,p,),中取定的相异二直线,.,则对于任意的,p,S,(,p,),其坐标可表示为,称,a,b,为,基线,为,参数,.,注1,这里,a,b,p,均表示直线的齐次坐标,.,参数,的几何意义？不易说清楚！容易看出,=0,a,;,=1,a,+,b,;,=,b,注2,线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比,.,课件作者：南京师大数科院周兴和,2.1,交比,二、线束中四直线的交比,1,、线束的参数表示,定义,2.3,设,p,1,p,2,p,3,p,4,为线束,S,(,p,),中四直线，且,p,1,p,2,，,其齐次坐标依次为,a,b,a,+,1,b,a,+,2,b,.,则记,(,p,1,p,2,p,3,p,4,),表示这四直线构成的一个,交比,.,定义为,(2.5),称,p,1,p,2,为,基线偶,，,p,3,p,4,为,分线偶,.,定理,2.5,设,线束,S,(,p,),中四直线,p,i,的齐次坐标为,a,+,i,b,(,i,=1,2,3,4).,则,(2.6),2,、定义,注,上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构,.,2.1,交比,今日作业,P.53:,1;4,再见！,课件作者：南师大数科院周兴和,2.1,交比,