人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形专题训练题带答案和解析.docx

人教版八年级数学上册13.3.2等边三角形专题训练题带答案和解析

填空题
等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm，则第三边长为 cm．
【答案】9
【解析】
试题分析：题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
当4cm是底时，三边为4，9，9，且能构成三角形，则第三边长为9 cm；
当9cm是底时，三边为9，4，4，（略），此时无法形成三角形.

填空题
在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= ．
【答案】30°．
【解析】
试题分析：首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．
解：∵等腰△ABC中，∠A=120°，
∴∠A为顶角，
∴∠C=（略）（180°﹣∠A）=（略）（180°﹣120°）=30°．
故答案为：30°．

填空题
在△ABC中，AC＝BC，过点A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝_______
【答案】75°或15°
【解析】
分∠ACB为锐角和钝角两种情况，当∠ACB为锐角时，可知△ABC的顶角为30°，当∠ACB为钝角时可知△ABC顶角的邻补角为30°，再结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠B．
当∠ACB这锐角时，如图1，
（略）
由∠ACD=30°可知△ABC的顶角为30°，
∴∠B=（180º-30º）=75°，
当∠ACB为钝角时，如图2，
（略）
由∠ACD=30°可知∠ACB=180°-∠ACD=150°，
∴∠B=（180°-150°）÷2=15°，
故答案为：75°或15°．

填空题
等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为_________________．
【答案】（略）
【解析】
试题解析：当（略）的角为顶角时,底角（略）
当（略）的角为底角时,只一个底角也为（略）,顶角（略）
所以其他两个内角分别为（略）或（略）
故答案为：（略）或（略）

填空题
如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为__________．
（略）
【答案】10
【解析】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.

填空题
等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分之差为3cm，则腰长为__________．
【答案】8㎝．
【解析】
试题分析：设腰长为2x，一腰的中线为y，则（2x+x）﹣（5+x）=3或（5+x）﹣（2x+x）=3，解得：x=4，x=1，∴2x=8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
（略）
故答案为：8cm．

填空题
等腰三角形一个角为70°，则它的底角的度数是_____．
【答案】35°．
【解析】
试题解析：∵等腰三角形的一个外角为70°，
∴与它相邻的三角形的内角为110°；
①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和=220°＞180°，不合题意，舍去；
②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角=（180°-110°）÷2=35°．
因此等腰三角形的底角为35°．

填空题
如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=80°，AB= AD=DC,则∠C=__________
（略）
【答案】25°
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
∵∠BAD=80°，AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB=50°．
又∵AD=DC，∴∠C=∠DAC．
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∴∠C=25°．
故答案为：25°．

填空题
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝__________.
（略）
【答案】5
【解析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出DC=（略）BD，代入求出即可．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°-30°-90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=（略）∠ABC=30°，
∵∠C=90°，
∴CD=（略）BD=（略）×10=5，
故答案为：5．

填空题
在等边△ABC中，AD⊥BC，AB="5cm" ，则DC的长为
【答案】2.5cm
【解析】根据等边三角形的性质就可以求出AB=AC=BC=5cm，再根据三线合一定理就可以求出D是BC的中点，从而可以求出结论．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵AB=5cm，
∴BC=5cm．
∵AD⊥BC，
∴DC=（略）BC，
∴DC=2.5cm．
故答案为：2.5cm．

填空题
如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长
是__________________
（略）
【答案】60
【解析】解：如图，设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是2，所以其它等边三角形的边长分别x+2，x+4，x+6，由图形得，x+6=2x，解得x=6，所以这个六边形的周长=2x+2（x+2）+2（x+4）+x+6=7x+18=7×6+18=60．故答案为：60．
（略）

填空题
如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：_______．
（略）
【答案】①③或②③
【解析】
已知①③条件，先证明△BEO≌△CDO再证明∠ABC＝∠ACB最后得到△ABC是等腰三角形；已知②③条件可证明△BEO≌△CDO，再证明△ABC是等腰三角形.
①③或②③.
由①③证明△ABC是等腰三角形.
在△BEO和△CDO中，
∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD.
∴△BEO≌△CDO，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
因此△ABC是等腰三角形.
由②③证明△ABC是等腰三角形.
在△BEO和△CDO中，
∵∠BEO＝∠CDO，BE＝CD，∠EOB＝∠DOC，
∴△BEO≌△CDO，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB，AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
故答案为：①③或②③.

选择题
已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 50° B. 80° C. 50°或80° D. 40°或65°
【答案】C
【解析】试题分析：如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
（略）

选择题
一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
【答案】C
【解析】
试题等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
（1）当4是腰时，4＋4＝8，不能构成三角形；
（2）当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8＋8＋4＝20．
故选C．

选择题
等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55°
【答案】D
【解析】若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；
若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，
综上，此等腰三角形的底角为70°或55°，
故选D.

选择题
如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
（略）
A. AC=CD B. BE=CD C. ∠ADE=∠AED D. ∠BAE=∠CAD
【答案】A
【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，BD=CD，
∴180°-∠ADB=180°-∠AEC，∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，BD+DE=CE+DE，
即∠ADE=∠AED，∠BAE=∠CAD，BE=CD，
故B、C、D选项成立，故不符合题意；
无法证明AC=CD，故A符合题意，
故选A.

选择题
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
（略）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
【答案】A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
∴（略）35°.
故选A.

选择题
等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是
A. 9cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm
【答案】D
【解析】试题分析：题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．
故选D．

选择题
如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（　　）
（略）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】A
【解析】
由等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由角平分线的定义得到∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，根据外角的性质得∠B=∠DMN－∠BDM，∠C=∠ENM－∠CEN，整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，则∠DEN=70°，故∠DEA=40°.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，
∴∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，
∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM，
∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN，
∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN，即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，
∵四边形DMNE内角和为360°，
∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，
∴∠DEN=70°，
则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.
故选A.

选择题
如图，∠MAN=16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（　　）
（略）
A. A5 B. A6 C. A7 D. A8
【答案】B
【解析】
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可分别求角另一等腰三角形中的底角与∠A的关系，最后根据三角形内角和定理进行验证不难求解．
∵AA1=A1A2，
∴∠AA2A1=∠A，
∵∠A2A1A3=2∠A，∠A=16°，
∴∠A2A1A3=32°，
∵A1A2=A2A3，
∴∠A2A3A=∠A2A1A3=2∠A，
∴∠NA2A3=3∠A=48°，
同理：∠A4A3M=4∠A=64°，∠NA4A5=5∠A=80°，∠NA6A5=6∠A=96°，
∵如果存在A7点，则△A5A6A7为等腰三角形且∠NA6A5是△A5A6A7的一个底角，而∠NA6A5＞90°，
∴此假设不成立，即A7点不存在，
∴作出的最后一点为A6，
故选B．

选择题
平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有（　　）
A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 12个
【答案】C
【解析】
使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
∵A(8,0)，
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是h，
则（略）×8×h=16，
解得：h=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：
（略）
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
4+4+1+1=10.
故选C.

选择题
如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）
（略）
A. （略） B. （略） C. （略） D. （略）
【答案】B
【解析】∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，
∴∠A2B2O=（略）α，
同理∠A3B3O= （略），
∠A4B4O=（略）α，
∴∠AnBnO=（略）α，
∴∠A10B10O=（略），
故选：B．

选择题
若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（　　）
A. 22 B. 17 C. 13 D. 17或22
【答案】A
【解析】①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4＜9，
故不能构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是9，9．
4+9＞9，符合条件，成立．
故周长为：4+9+9=22．
故选A．

选择题
如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，则∠C=（ ）
（略）
A. 72 ° B. 60° C. 75° D. 45°
【答案】A
【解析】
设∠A为x°，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和等于180°列方程进行解答.
设∠A＝x°.
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，
x＋2x＋2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠C＝2×36°=72º.
故选A.

解答题
如图，等边△ABC的周长是9，
（1）求作AC的中点D；（保留作图痕迹）
（2）E在BC的延长线上．若DE=DB，求CE的长．
（略）
【答案】作图见解析
【解析】试题分析：（1）作线段AC的垂直平分线，交AC与点D；（2）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质可证得CD=CE（略）AC，即可求解.
试题解析：
（1）
（略）
（2）∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE；
∵等边△ABC的周长为9，
∴AC=3，
∴CD=CE=（略）AC=（略）．

解答题
如图，CN是等边△（略）的外角（略）内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若（略），求（略）的大小（用含（略）的式子表示）；
（3）用等式表示线段（略）， （略）与（略）之间的数量关系，并证明．
（略）
【答案】（1）图形见解析（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE
【解析】试题分析：（1）按题意补全图形即可；
（2）由点A与点D关于CN对称可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等边△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，从而可得；
（3）PB=PC+2PE． 在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，通过推导可证明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的对应边相等即可得.
试题解析：（1）如图所示；
（略）
（2）∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA=CD，
∵（略），
∴∠ACD=2（略），
∵等边△ABC，
∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+（略），
∴∠BDC=∠DBC=（略）（180°（略）∠BCD）=60°（略） （略）；
（3）结论：PB=PC+2PE．
本题证法不唯一，如：
在PB上截取PF使PF=PC，连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=（略）
∴∠CDA=∠CAD=90°（略） （略）．
∵∠BDC=60°（略） （略），
∴∠PDE=∠CDA（略）∠BDC=30°
（略）
∴PD=2PE．
∵∠CPF=∠DPE=90°（略）∠PDE=60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF=∠CFP=60°．
∴∠BFC=∠DPC=120°．
∴在△BFC和△DPC中，
（略），
∴△BFC≌△DPC．
∴BF=PD=2PE．
∴PB= PF+BF=PC+2PE．