Ch3 量子力学导论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,原子物理,第三章 量子力学导论,2,历史,关键人物,19,世纪末,20,世纪初：,电磁理论、,量子理论、,相对论,人物：,维恩（,1893,）、瑞利,-,金斯、,普朗克（,1900,）,、赫兹、,爱因斯坦、德布罗意、康普顿,(1923,）、玻尔（,1913,）、海森堡、薛定谔、狄拉克、费曼、施温格、朝永振一郎,N.,玻尔、,M.,玻恩、,W.L.,布拉格、,L.V.,德布罗意、,A.H.,康普顿、,M.,居里、,P.A.M,狄喇克、,A.,爱因斯坦、,W.K.,海森堡、,郞之万、,W.,泡利、普朗克、薛定谔 等,第五次索尔维会议与会者合影,(,1927,年,),4,事件：,里程碑,黑体辐射（,维恩、,普朗克，,1911,，,1918,）,光电效应（,赫兹、爱因斯坦,1905,，,1921,）,玻尔,氢原子理论（,1913,，,1922,）,康普顿,效应（,1923,，,1927,）,德布罗意,-,波粒二象性（,1924,，,1929,）,不确定关系（,海森堡,1927,，,1932,）,波函数,薛定谔,方程（,1926,，,1933,）,不相容原理（,泡利,1925,，,1945,）,密度矩阵和量子统计等（,朗道,1962,）,电子自旋、传播子（,狄拉克,1933,、,费曼,1965,等）,3.1,物质的波粒二象性,一、光的波粒二象性,1672,年，牛顿，光的微粒说,1678,年，惠更斯，光的波动说,19,世纪末，光是一种电磁波,20,世纪初，光量子,-,光的波粒二象性,德布罗意,(Louis Victor due de Broglie,1892-1960),德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。,1923,年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。,1924,年，在博士论文,关于量子理论的研究,中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。,爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，,1929,年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,德布罗意波 实物粒子的二象性,二、德布罗意假设,一个质量为,m,的实物粒子以速率,v,运动时，即具有以能量,E,和动量,P,所描述的粒子性，也具有以频率,n,和波长,l,所描述的波动性,。,这种波称为德布罗意波，也叫物质波。,德布罗意,公式,如速度,v,=5.0,10,2,m/s,飞行的子弹，质量为,m,=10,-2,Kg,，,对应的德布罗意波长为：,如电子,m,=9.1,10,-31,Kg,，速度,v,=5.0,10,7,m/s,对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,X,射线,波段,德布罗意物质波思想起源,1.X,射线的研究,:,布拉格认为,X,射线是粒子,劳厄提出,X,射线是波长极短的电磁波,X,射线时而像波,时而像粒子的奇特性质引起了许多人的关注,德布罗意认为,:,波和粒子必定总是结合在一起,.,2.,接受相对论和光量子学说,特别是,1923,年,4,月,compton,效应发现以后,使他对光子概念的认识更加深入、清晰。,1923,年,9,月,24,日，第二篇论文,光量子、衍射和干涉,1923,年,10,月,8,日第三篇论文,量子、气体运动理论及费马原理,1924,年完成了博士论文,量子理论的研究,，,11,月,25,日通过答辩，,1925,年发表在物理杂志上，该论文对他一年来的工作提出了系统的有逻辑性的报告，完整地阐述了他的物质波理论及应用,1923,年,9,月,10,日，发表第一篇关于物质波的论文,辐射,波和量子,提出了实物粒子也具有波粒二象性,物质波概念的提出,物质波思想的影响：,1,、具有独创性和非凡的技巧；,2,、提出用晶体对电子的衍射来验；,3,、得到了爱因斯坦的高度评价；,4,、量子力学是物质波思想的直接影响下的一个丰硕成果,.,电子驻波,例题,1,：从德布,罗意波导出氢原子波尔理论中的角动量量子化条件。,德布,罗意把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整数倍。,再根据德布,罗意关系,得出角动量量子化条件,三、德布罗意假设的实验验证,1927,年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。,1,实验装置,2,实验结果,(1),当,U,不变时，,I,与,的关系如图,不同的,，,I,不同；在有的,上将出现极值。,(2),当,不变时，,I,与,U,的关系如图,当,U,改变时，,I,亦变；而且随了,U,周期性的变化,3,实验解释,晶体结构：,当 时加强,-,布拉格公式。,波程差：,实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意,公式的正确性。并,进一步证明：一切实物粒子,(,电子、,中子、质子等都具有波动性。,可见，当,、,满足此式时，测得电流的极大值。,对于通过电压,U,加速的,电子,：,当,U,不变时，改变,，可使某一,满足上式，出现极大值,当,不变时，改变,U,，可使某一,U,满足上式，出现极大,值。,观测到的量子围栏（,quantum corral,）,M.F.Crommie-1993,汤姆逊实验,1927,年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属箔后射到照相底线上，结果发现，与,X,射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993,年，,Crommie,等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（,111,）表面上的铁原子排列成半径为,7.13nm,的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波,(“,量子围栏”,),，直观地证实了电子的波动性。,电子通过狭缝的衍射实验：,1961,年，约恩孙,(Jonsson),制成长为,50,u,m,，宽为,0.3,u,m,，缝间距为,1.0,u,m,的多缝。用,50V,的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,中子衍射,射线衍射,X,X,射线经晶体的衍射图,电子射线经晶体的衍射图,由于电子波长比可见光波长小,10,-3,10,-5,数量级，,从而可大大提高电子显微镜的分辨率。,1932,年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。,我国已制成,80,万倍的电子显微镜，分辨率为,14.4nm.n,，,能分辨大个分子有着广泛的应用前景。,四、应用举例,1,、电子显微镜,2,、扫描隧道显微镜,1981,年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，他们两人因此与鲁斯卡共获,1986,年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率可得,0.1nm,，纵向分辨率可得,0.001nm,，它在纳米材料、生命科学和微电子学中起着不可估量的作用。,例,1.,计算下列运动物质的德布罗意波长,(1),质量,100g,v,=10ms,1,运动的小球。,(2),以,2.0,10,3,ms,1,速度运动的质子。,(3),动能为,1.6,10,7,J,的电子,练习题,:1.,在,B=1.2510,-2,T,的匀强磁场中沿半径为,R=1.66cm,的圆轨道运动的,粒子的德布罗意波长,=,.,2.,运动速率等于,300K,时方均根速率的德布罗意波长是,.,氢原子质量,m=1.6710,-27,kg,玻尔兹曼常数,k=1.3810,-23,JK,-1,3.,已知第一玻尔轨道的半径为,a,当氢原子中电子沿第,n,玻尔轨道运动时,其相应的德布罗意波长是,.,4.,能量为,15ev,的光子,被处于基态的氢原子吸收,使氢原子电离发射一个光电子,此光电子的德布罗意波长为,.,海森伯（,W.K.Heisenberg,，,1901-1976,）,德国理论物理学家。他于,1925,年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于,25,岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于,1932,年获得诺贝尔物理学奖金。,不确定关系,3.2,测不准原理,薛定谔设想对一个放射性原子核及一只猫在一个密封的盒中,再放一个侦察器,只要这个侦察器一探察到原子核衰变就立即放出毒气,把猫杀死,.,根据哥本哈根阐释,你不打开盒子,原子核的衰变处于半衰变半不衰变的状态,而导致毒气在放于不放之间,猫的性命也处于死与不死之间,直至有人打开盒子,猫才会从重叠状态中变成生猫或者死猫,.,薛定谔猫,另一个实验和盒中猫差不多,不过这次我们用两只猫,这两只猫各自被放上两支火箭,火箭上什么所需都有,也有一样的残忍装置,而这两支火箭被一条管连住,管里面有一个放射性原子,在某一刻,管被切断,放射性原子被随机分到一支火箭上,除非有人打开火箭,否则放射性原子同时处于两支火箭,所以两只猫都是处于半生半死的状态,火箭背向飞行,一架去到大麦哲伦云,一架去到仙女座大星系,假设大麦哲伦外星人打开火箭，见到是一只死猫,在同一时刻,仙女座大星系的猫就立即从重叠状态复苏,它是一只生猫,.,薛定谔强调不能接受盒內的是一只又是生又是死的猫,.,薛定谔猫,（,uncertainty,relation,）,经典粒子运动轨道的概念在多大程度上适用于微观世界？,海森伯,（,Heisenberg,）,于,1927,年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出,“不确定关系”：,粒子,在同一方向,的坐标和动量不能同时确定,:,：动量不确定范围,x,p,：坐标不确定范围,x,测不准关系,粗略的表示：,海森堡严格推出,：,一、测不准关系的表述和含义,二、测不准关系的简单导出,1,、单峰衍射,海森堡严格推出,：,能量和时间也是一对共轭物理量,有,:,简略推导如下,:,不确定关系,是微观粒子,固有属性,波粒二象性决定的，与仪器精度和测量方法的缺陷无关。,不确定关系,是海森伯,(,heisenberg)1926,年提出的。他根据一些假想实验的分析，首先得出关系式 。后来玻恩按照波函数的统计解释给出严格证明，使其表述更为确切，从而和,状态叠加原理,一起，成为量子力学的两个基本原理。,科学史上的,“,宿命论,”,科学理论，特别是牛顿引力论的成功，使得法国科学家,拉普拉斯侯爵,在,19,世纪初论断，宇宙是完全被决定的。他认为存在一组科学定律，只要我们完全知道宇宙在某一时刻的状态，我们便能依此预言宇宙中将会发生的任一事件。例如，假定我们知道某一个时刻的太阳和行星的位置和速度，则可用牛顿定律计算出在任何其他时刻的太阳系的状态。这种情形下的宿命论是显而易见的，但拉普拉斯进一步假定存在着某些定律，它们类似地制约其他每一件东西，包括人类的行为。,测不准原理,表明：同时严格,确定两个共轭变量（例如，,位置和速度）的数值是不可,能的，它们的数值的准确度,有个下限。这是一条自然定律。它说明，在原子层次上，同时得到一个粒子的位置和速度的严格准确的测量在原则上是不可能的。,不要试图,更好,的从逻辑上去理解,量子力学,.,因为其本身就是不可以用逻辑解释的,例题,1,：一颗质量为,10g,的子弹，具有,200m/s,的速度，动量的不确定量为,0.01%,，问在确定该子弹的位置时，有多大的不确定范围？,解：子弹的动量为,子弹的动量的不确定量为,由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为,这个不确定范围是微不足道的，可见不确定关系对宏观物体来说，实际上是不起作用的。,例题,2,：一电子具有具有,200m/s,的速率，动量的不确定量为,0.01%,，问在确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？,解：电子的动量为,子弹的动量的不确定量为,由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为,我们知道原子大小的数量级为,10,-10,m,，电子则更小。在这种情况下，,电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大几亿倍以上。,例,3.,电子显像管中电子加速电压,10kv,枪口直径,0.01cm,电子射出后横向速度不确定量,?,原子线度,10,-10,m,原子中电子速度不确定量,?,解,:,显像管中的电子经,10kv,电压加速,原子中的电子,玻尔理论电子轨道运动速度,v,10,6,m/s,原子中谈电子的运动速度,、,位置已无意义,也无确定的轨道,波动性显著的电子只能以各处出现的几率来描述其所处的状态,.,电子横向速度的不确定量可忽略,例,4.,光子波长,300nm,若测长精度,/,=10,-6,求光子位置的不确定量,?,解,:,三、不确定关系的应用：举例,1,、,估算氢原子可能具有的最低能量,电子束缚在半径为,r,的球内，所以,按不确定关系,当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：,代入上式得：,基态能应满足：,由此得出基态氢原子半径：,基态氢原子的能量：,与波尔理论结果一致。,本例还说明：,量子体系有所谓的零点能。,2,、,解释谱线的自然宽度,原子中某激发态的平均寿命为,普朗克,能量子假说,不确定关系,谱线的,自然宽度,它能,解释谱线的自然宽度。,3.3,波函数及其物理意义,如何理解物质粒子的,波动性？,开始有二种典型理解：,一个实物粒子看成一个,波包,。,问题,：波包会扩散；电子衍射，电子不可分。,实物粒子看成,疏密波,。,波包说,夸大了波动性,一面。,问题：,电子衍射表明，单个粒子也有波动性。,疏密波说,夸大了粒子性,一面。,(2)入射弱电子流，长时间积累形成干涉条纹。,(1)入射强电子流，一次性形成干涉条纹；,1,2,一、波函数 概率密度,1,、平面简谐波的波函数,一个频率为,n,，波长为,l,、沿,x,方向传播的单色平面波的波函数为,复数形式,2,、自由粒子的波函数,一个自由粒子有动能,E,和动量,p,。对应的德布罗意波具有频率和波长：,波函数可以写成,3,、波函数的统计解释,某一时刻出现在某点附近体积元,dV,中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。,概率密度,波函数,(,x,y,z,t,),的统计解释,(,哥本哈根解释,),：,波函数模的平方代表某时刻,t,在空间某点,(,x,y,z,),附近单位体积内发现粒子的概率，即,|,2,代表概率密度。,波函数的统计意义是波恩于,1926,年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了,1954,年的诺贝尔物理学奖。,k,加速电场,单缝,10,5,个,2,10,4,个,10,个,E,t,时刻，,xx+dx,、,yy+dy,、,zz+dz,、的体元,内发现粒子的几率：,表示,t,时刻、（,x,、,y,、,z,）处发现粒子,的几率密度。,1.,波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一,2.,经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率,3.,单缝、双缝干涉实验在,1961,年前是假想实验,注：,2,归一化条件,由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的,总几率应当为,1,：,4,、波函数的标准条件及归一化,1,波函数必须单值、有限、连续。,单值：在任何一点，几率只能有一个值。,有限：几率不能无限大。,连续：几率在某处不发生突变。,3.4,薛定谔波动方程,参考阅读：,哈密顿原理，拉格朗日方程,一、薛定谔波动方程的建立,经典力学（质点）量子力学,(,微观粒子,),特点 粒子性 波粒二象性,运动情况 沿轨道运动 无轨道,状态描述 坐标,(r),和动量,(p),波函数,由初态求末态,牛顿方程,薛定谔方程 运动方程,？,对,x,、,y,、,z,分别求二次偏导：,一、薛定谔方程的建立,1,自由粒子的薛定谔方程,对,t,求一次偏导：,自由粒子的薛定谔方程。,三者相加：,拉普拉斯算符：,自由粒子,:,则有：,处在以势能表征的力,场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程,2,一般粒子的薛定谔方程,二、定态薛定谔方程,能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的,力场不随时间改变，即势能 中不显含时间,t,，将其代,入方程：,E,为一常数,波函数分离变量：,解出：,定态波函数,1,定态中,E,不随时间变化，粒子有确定的能量,2,定态中粒子的几率密度不随时间变化,3,定态薛定谔方程,如果 是方程的解，那么它们的的线性组,合 也是方程的解，为任,意常数。,即如果 是体系可能的状态，那么它,们的的线性组合 也是体系一个可能的状态,4,态迭加原理,3,具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给,出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒,三、薛定谔方程的讨论,1,薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势,场 中随时间变化 的规律。,2,薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基,本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果,相一致来得到证明。,子初始时刻的状态 。,原则上说，只要通过薛,定谔方程，就可以求出任意时刻的状态,。,4,薛定谔方程中有虚数单位,i,，,所以,一般是复数,形式。表示概率波，是表示粒子在时刻,t,、,在空间某处出现的概率。,因而薛定谔方程所描述的状态,随时间变化的规律，是一种统计规律。,5,在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所,以是非相对论的结果；同时方程不适合一切,的粒子，这是方程的局限性。,例,1,：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为,这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？,解：,由于粒子做一维运动，所以有,由于势能,中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。,方程的解为定态解,因此一维定态薛定谔方程为,1,方程的通解,(1),所以波函数为零，即,粒子不可能跑到阱外去，,(2),时，,，方程为,令,二阶齐次微分方程，它的通解为,式中,A,、,B,为两常数。,2,常数的确定及能量量子化,根据波函数的标准条件，波函数应连续，,，,(,？,),当,时，,表明几率处处恒为,0,，即不存在粒子，这是不可能的。,波函数的归一化：,能量是量子化的,3,讨论,(1),能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。,(2),波函数的物理意义,处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。,(3),实际意义,：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。,例,2,势垒贯穿,粒子受到的势能为：,计算粒子在三个区出现的几率。,粒子具有的能量为,E,，,解：,设粒子在,I,、,II,、,III,区的波函数分别为,，它们满足的薛定谔方程为：,令,方程的解为：,根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图：,可见，虽然，粒子仍可以穿过,II,区进入,III,区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从,I,区到,III,区的几率为,扫描隧道显微镜,(Scanning Tunneling MicroscopySTM),STM,原理,.0.1nm,0.01nm,1986,年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。,3.6,氢原子的量子力学处理,一、氢原子的薛定谔方程,电子在原子核的库仑场中运动：,定态,薛定谔方程：,氢原子问题是球对称问题，通常采用,球坐标系,：,氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：,二、分离变量,1,代入方程，并用 乘以两边：,是一个与,无关的常数。,径向方程：,角方程,：,2,代入方程，并用 乘以两边：,是一个与 无关的常数,。,三、三方程的解,1,方程的解,方程的解为：,波函数单值：,波函数归一化：,2,方程的解,关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数,标准条件,的解，必须对 和 加以限制：,方程的解为,关联勒让德多项式,：,3,方程的解,关联拉盖尔方程,，方程的解为,关联拉盖尔多项式,玻尔半径,只要给出了、的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。,四、,H,原子的波函数,对应一组量子数 ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此 确定了原子的状态。,当 时，取任何值都能使,R,满足标准条件的,解。所以正值的能量是,连续的,，相当于自由电子,与,H,+,离子结合为原子时释放的能量。,3.6.2,量子力学对氢原子运动状态的描绘,一、量子数 的物理意义,1,主量子数 与能量量子化,当 时，,能量是量子化的，自然得出。,2,角量子数 和角动量角子化,角动量是量子化的，自然得出。,旧量子论：,当角动量很大时，,二者一致，,所以玻尔理论给出了近似的结果。,3,磁量子数,m,和空间量子化,角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取,向量子化。,由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数,和自旋磁量子数 。,因此，在 附近、内找到电子的几率为：,在球坐标中 ，,二、电子的几率分布,：代表几率随角度的分布；,：代表几率随角度的分布；,：代表几率随矢径的分布；,归一化：,，之间的圆锥体的立体角,由 的值决定，对给定的 ，它有确定的值。,对不同的 、，不同。,1,几率随,角的分布,-,几率密度的分布绕,Z,轴旋转对称,2,角向分布几率,对于不同的 ，不同，如图所示。,3,电子的径向分布概率,-,在离核 处的,球形壳层内,发现电子的几率,在 附近 内找到电子的几率为：,在 处有极大值。,在 处有极大值。,用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度 的相,对大小，概率大的地方黑点浓密，,概率,小的地方黑点稀,疏，称它们为“电子云”,电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动规律,跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我们不,能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运动的,速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常用一,三、电子云,种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现机会,的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里，某个,点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密度大,的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会多,；密度小的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现,的机会少。由于这个模型很像在原子核外有一层疏密不,等的“云”，所以，人们形象地把它叫做“电子云”。,在通常状况下氢原子电子云示意图,小 结,1.,量子力学的两个重要概念：量子化概念及波粒两,象性概念,2.,量子力学的一个重要关系式：不确定关系,3.,量子力学的一个基本原理：态叠加原理,4.,量子力学的两个基本假设：波函数的统计解释及,薛,定谔方程,5.,量子力学的关键常量：普朗克常量,6.,本章介绍的三个重要实验：,电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉,The end,