从数学视角认识高中数学新课程的变化.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,从数学视角认识高中数学新课程的变化,首都师范大学,王尚志,认识高中数学新课程变化三个基本视角：,数学视角,教育视角,学生视角,从数学视角认识高中数学新课程的变化,一、选择性：大学不同专业的数学课程,二、主要脉络：大学数学课程分类,三、承上启下：高中数学课程的主要脉络,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,五、顺序：教授、学习数学是按唯一顺序展开吗？,六、概念：重要数学概念的认识能一步到位吗？,七、同性同法：什么是同性同法？,八、同一个数学对象有不同处理，如何选择？,九、为什么强调归纳推理？,十、数学（数学应用）人才培养是训练出来的吗？,一、,选择性：大学不同专业的数学课程,选择性：不同专业方向需要不同的数学,1,、文科数学课程,不同的选择：经济，文学，语言学，等,2,、工科数学课程,不同的选择：无线电，建筑，材料，等,3,、理科数学课程,不同的选择：物理，化学，生物，等,4,、数学方向的数学课程,不同的选择：数学专业，应用数学，计算数学，统计概率，等,一、,选择性：大学不同专业的数学课程,选择性是这次高中课程改革的核心,必修课程：所有学生需要学习的课程，部分专门专业的考试课程。,选修一：文科专业学习和考试的课程,选修二：理工科专业学习和考试的课程,选修四：选择性学习和考试的课程,选修三：拓展和兴趣课程,二、主要脉络：大学数学课程分类,分析类数学课程：,研究函数以及与函数有关的问题的课程。,数学分析，,复变函数，,实变函数，,常微分方程，,偏微分方程，,数值计算，,泛函分析，,与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。,二、主要脉络：大学数学课程分类,代数类数学课程：研究运算以及与运算有关的课程。,高等代数（线性代数、多项式理论），,抽象代数，,群伦，,有限群及其应用，,环论，,域论，,与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。,二、主要脉络：大学数学课程分类,几何类数学课程：研究图形以及与图形有关的课程。,解析几何，,射影几何（高等几何），,微分几何，,点集拓扑，,代数拓扑，,微分拓扑，,微分流形，,许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等,二、主要脉络：大学数学课程分类,统计、概率类数学课程：,统计，,概率，,许多相关课程：随机微分方程，等等,应用类数学课程,运筹学，非线性规划，图论，生物数 学，等等,算法课程,三、承上启下：高中数学课程的主要脉络,高中数学主要脉络,函数,几何,运算,算法,应用,统计、概率,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,20,世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想,以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,高中数学教材编写中，把函数作为贯穿整个高中数学教材始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,1,对函数的认识,（,1,）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型,（,2,）函数是联结两类对象的桥梁,（,3,）函数是“图形”,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,2,中学数学研究函数的什么性质,数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。,单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。,在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个方法。,第一种方法，用运算的性质研究单调性；,第二种方法，用导数的性质研究单调性。,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,3,具体函数模型,简单的幂函数及其拓展,实际函数的模型,分段函数,指数函数,对数函数,三角函数,数列,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,4,函数与其他内容的联系,函数与方程,函数与数列,函数与不等式,函数与线性规划,函数与算法,整体把握课程,抓住基本脉络,函数,总之，在我们的教材中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列,3,、,4,中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在我们的教材中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,1.,几何的教育功能,在我们的教材中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。,在我们的教材中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,1.,几何的教育功能,在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。,事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,2,中学几何研究的对象,中学几何主要是研究图形的位置关系和度量关系。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,3,几何研究图形的方法,中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。,整体把握课程,抓住基本脉络,几何,4,几何内容的设计,在我们的教材中，几何课程的设计分为两部分。,一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。,另一部分是设计了相应的几何内容。,整体把握课程,抓住基本脉络,运算,整体把握课程,抓住基本脉络,运算,对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“,a+(-a)=0”,（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学教材的主线，在我们的教材中，发挥着不可替代的作用。,整体把握课程,抓住基本脉络,运算,1,对运算的认识,运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。,从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。,从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。,在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。,整体把握课程,抓住基本脉络,运算,2,运算的作用,（,1,）运算是研究高中数学的基础,贯穿在高中数学的始终,（,2,）运算与推理,（,3,）运算与算法,（,4,）运算与恒等变形,整体把握课程,抓住基本脉络,运算,3,运算内容的设计,在我们的教材中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。,在我们的教材中，自始至终都在强调运算的作用。,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,算法也是设计我们的教材的一条主线。有三方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。,算法教学应该采用“案例教学”，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中、在处理具体问题过程中，使学生理解：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,1,算法的作用,（,1,）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力,（,2,）算法学习突出了“通性通法”,（,3,）算法学习有助于帮助学生理解信息时代计算机的作用,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,2,算法的基本思想,算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一系列的步骤，一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中数学课程中没有给出“算法”这个名词，但是，我们却熟悉许多问题的算法，一直在利用算法的思想。例如，我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法，等等。,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,3,算法的基本结构,（,1,）顺序结构,反映逻辑思路,（,2,）分叉（选择）结构,分类讨论思想,（,3,）循环结构,简化叙述,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,4,算法的基本语句,输入输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句,我们的教材采用,C,语言的语句。,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,5,算法内容的设计,在我们的教材中，算法内容的设计分为两部分。,一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。,另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,用算法表述解方程,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,用算法表述解不等式,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,用算法表述解线性规划的算法步骤：,确定目标函数,确定由二元一次不等式组组成的可行域,确定可行域边界上的顶点,计算出定点的函数值,根据问题要求确定最大值或最小值,整体把握课程,抓住基本脉络,算法,用算法表述解几何问题,例如，平面,外一点,M,到平面,的距离,。,确定,平面,上的一点,N,及垂直,平面,的向量,a,确定向量,NM,将向量,a,的,单位向量,求向量,NM,与向量,a,的,单位向量的点乘,这个结果就是所求的距离。,整体把握课程,抓住基本脉络,统计概率,整体把握课程,抓住基本脉络,统计概率,目前我们的社会已经进入了信息时代，信息的主要载体是数据。收集数据、整理数据、分析数据、从数据中提取有用信息、利用数据中的信息说明问题等等，这些已经成为人们的基本素质和能力。这些变化必然会直接影响到数学课程的设置。概率与统计是在,1958,年前后，进入中国大学数学课程。几经反复，到了文化革命以后，概率与统计在大学数学课程中，站住了脚，同时，也渗透到其它相关学科中，在大学，相当多的专业都需要开设统计概率课程，例如，在生物学科中，学习统计也成为了重要的课程。这是一个重大的变化。,整体把握课程,抓住基本脉络,统计概率,在传统的大学概率统计课程中，概率的分量大于统计，或者说在这些课程中是重概率。随着时代的发展，统计在社会发展中的作用越来越大，在大学的概率统计课程又发生了新的变化，近年来，在数学与应用数学专业中，统计概率课已经成为基础课，它与数学分析、高等代数、解析几何、普通物理、数学建模、计算机基础都成为基础课。在概率统计课程中，课程内容的结构也发生了变化，统计的分量大大的加强了。,这种变化也影响到了中小学的课程，现在中小学的课程中统计概率的内容大大的增加，这已经成为国际中小学数学课程发展的趋势。,整体把握课程,抓住基本脉络,统计概率,我们的教材,数据处理的能力,统计注重过程,统计采用的案例的教学方式,统计是一种归纳的思维,随机的思想,统计中的随机思想,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,对于高中课程中数学的应用，可以分成三个层次来理解，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建模的过程。,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,发展学生的应用意识,激发学生的学习兴趣,增强学生对数学的理解,扩展学生的视野,培养学生的良好品行,提高学生的阅读能力,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,必修和选修,1,（,2,）教材中，每一章都设有数学应用的内容,选修,3,（,4,）的以下教材编写中，也提供了大量的数学应用实例,选修,3-2,信息安全与密码,选修,4-7,优选法与试验设计初步,选修,4-10,开关电路与布尔代数,选修,4-9,风险与决策,选修,4-8,统筹法与图论初步,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,在教材中，针对学生的不同发展水平，分层次开展多样的数学应用与建模活动。形式可以是多种多样的，常见的主要有以下三种：,(1),在一些数学概念的引入中，设计了有实际背景的应用内容,(2),设计了一些以数学应用为主题的课外活动,(3),设计了数学建模的选题,整体把握课程,抓住基本脉络,应用,教材编写中，选择了一批适合学生参与的“好的问题”，并提出了一些教师和学生应特别注意的问题：,选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢。,表现出建模的全过程，而不仅仅是问题本身的解决,问题要有较为宽泛的数学背景、有不同的层次，并注意问题的可扩展性和开放性。,鼓励学生在问题分析解决的过程中使用计算工具和成品工具软件。,提倡教师自己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（一）向量的价值,1,、向量代数,代数,向量加法,减法,向量数乘,向量内积,数量积,“,基”的概念,正交积,坐标运算,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（一）向量的价值,2,、向量几何,几何,向量可以表示：几何研究对象,点、线、面,向量是描述和研究,“,位置关系、度量关系”基本工具,3,、向量是连接几何,代数的天然桥梁,4,、向量有丰富物理背景,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（一）向量的价值,5,、向量是重要、基本的数学模型,（向量、加法）是交换群；,（向量、实数、加法、数乘）是线性空间；,（向量、实数、加法、数乘、向量膜）是线性赋范空间（,Banach,空间）。,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（二）、几何教育价值,培养逻辑推理能力的载体之一；,培养几何直观，空间想象能力，图形洞察力的载体。,（自然语言、符号语言、图形语言）,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（三）、几何研究方法拓展,综合几何方法,变换几何方法,用代数方法研究几何,解析几何、向量几何、代数拓扑等,用分析（函数）方法,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（三）、几何研究方法拓展,综合几何方法,变换几何方法,用代数方法研究几何,解析几何、向量几何、代数拓扑等,用分析（函数）方法,四、结构变化：向量进入中学,改变结构（几何,-,数学）,（四）、改变了几何（数学）课程结构,五、顺序：教授、学习数学是按唯一顺序展开吗？,（一）、概率统计课程的变化,从重概率、轻统计,越来越重视统计,在概率教学中，从“以依托计数的古典概型为主,”,以“随机变量为主”,随机现象,计数比较,古典概型,随机变量比较,五、顺序：教授、学习数学是按唯一顺序展开吗？,（二）、不讲极限可以讲导数吗？,1,、牛顿发现微积分的意义,2,、一般到特殊,特殊到一般,映射,函数,指数函数,没有算法的定义，可以讲算法吗？,在概率统计中，很多概念没有给出定义,3,、案例教学,五、顺序：教授、学习数学是按唯一顺序展开吗？,（三）、数学不是“严格的线性序”,任何一种顺序，都有“有利一面”；,任何一种顺序，都有需要注意的地方；,从不同的角度认识数学，有助于提高我们对数学的认识。,例：斜率,六、概念：重要数学概念的认识能一步到位吗？,（一）、从函数单调性质说起,为什么要研究单调性？,函数单调性与那些数学有联系？,六、概念：重要数学概念的认识能一步到位吗？,（二）、如何把握数学概念,1,、概念的“来龙去脉”；,2,、搞清与此概念有联系其他数学,3,、抓住本质,找出重要的概念,4,、局部,整体,局部,（能把书读厚，还能把书读薄,华罗庚）,六、概念：重要数学概念的认识能一步到位吗？,（三）、重要的数学概念不能一步到位,垂直,几何，解析几何，向量几何；,用函数认识相关数学；,用向量求距离；,等等。,七、通性通法：什么是通性通法？,（一）、哪些是有把握的通性通法？,七、通性通法：什么是通性通法？,（二）、为什么“数形结合”重要？,八、同一个数学对象有不同处理，如何选择？,（一）、从一组例子说起,一元二次不等式,解法；,二面角定义；,线面位置关系的证明；,二项式定理的证明；,等等。,八、同一个数学对象有不同处理，如何选择？,（二）、对不同处理方法的分析和判断,九、为什么强调归纳推理？,（一）、统计推理给出的启示,九、为什么强调归纳推理？,（二）、从三大能力（空间想象力、计算能力、逻辑推理能力）到五大能力（空间想象力、计算能力、逻辑推理能力、抽象归纳能力、数据处理能力）,九、为什么强调归纳推理？,（三）、严格对不同人的要求不同,圆周率,无理数；,运算律；,二分法；,指数函数的定义和单调性；,等等。,九、为什么强调归纳推理？,（四）、提升推理能力需要过程,代数推理应该加强。,十、数学（数学应用）人才培养是训练出来的吗？,北京的一个实验：,视野,与优秀的科学家和数学家交流；,自主学习能力,读”大家”的书；,发现、提出并能分析、解决一个问题。,谢谢！,