2.2-算数平均值与几何平均值的性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学 第一册,（修订版）,观察,如图24所示的是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图而设计的，体现了数学研究的继承和发展.,2.2,算术平均值与几何平均值的性质,观察,如图2,-,5所示的正方形,ABCD,由四个全等的直角三角形拼接而成，直角三角形两条直角边长分别为,a,，,b,.求：,正方形,ABCD,的面积,S,_；,四个直角三角形的面积之和,S,_；,当,a,b,时，,S,和,S,的大小关系是_；,当,a,b,时，,S,和,S,的大小关系是_.,通过上面的观察过程，我们得到一个重要不等式：,观察,如果,a,，,b,R,，那么,a,2,b,2,2,ab,(当且仅当,a,b,时取等号).,证明,a,2,b,2,2,ab,(,a,b,),2,，,当,a,b,时，(,a,b,),2,0；,当,a,b,时，(,a,b,),2,0.,所以(,a,b,),2,0，,即,a,2,b,2,2,ab,.,探究,如果用 分别替代上面不等式中的,a,，,b,，那么能得到什么结论？此时的,a,，,b,需要满足什么条件？,均值定理：,若,a,0，,b,0，则 (当且仅当,a,b,时，等号成立).,证明因为,a,0，,b,0，,所以,a,b,所以,思考,此定理用作差比较法该如何证明？,结论,我们把 叫作正数,a,，,b,的算术平均值，叫作正数,a,，,b,的几何平均值均值定理说明，任何两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.,不难发现，,a,2,b,2,2,ab,和 成立的条件是不同的，前者只要求,a,，,b,都是实数，而后者要求,a,，,b,都是正数.,应用,例1,已知,x,，,y,都是正数，求证：,(1)如果,xy,是定值9，那么当,x,y,时，,x,y,有最小值6；,(2)如果,x,y,是定值2，那么当,x,y,时，,xy,有最大值1.,证明,(1)因为,xy,9，,所以,所以,x,y,6.,当且仅当,x,y,3时取等号，,所以，当,x,y,3时，,x,y,有最小值6.,应用,(2)因为,x,y,2，,所以,所以,xy,1.,当且仅当,x,y,1时取等号，,所以，当,x,y,1时，,xy,有最大值1.,应用,例2,当,x,取何值时，,x,1(,x,0)的值最小？最小值是多少？,解,因为,x,0，,所以 0，,所以,x,2，,所以,x,13.,当且仅当,x,(,x,0)，即,x,1时，取到等号，,所以，当,x,1时，,x,1的最小值为3.,因为两个正数,x,和 的积是定值，所以根据均值定理，它们的和,x,就应该有最小值.,应用,例3,已知0,x,1，求,y,的最大值,解,因为0,x,0，,所以,当且仅当,x,1,x,，即,x,时，取到等号，,所以，当,x,时，,y,的最大值为 .,因为两个正数x和1,x,的和是定值，所以根据均值定理，它们的积,x,(1,x,)就会有最大值.,练习,此时,x,的值是,THANK YOU!,