第三届保良局(香港)国际小学数学竞赛.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三届保良局,(,香港,),国际小学数学竞赛,(1999,7),队际赛试卷,1.,分数 可以写成,1+,形式，其中,x,，,y,，,z,都是不同的整数。试求,x+y+z,的值,10,。,因题形式中,x=5,，,y=3,，,z=2,。,2,、有一个关于毕达哥拉斯的故事是说，他有一次处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子,(,这七根柱子分别标上,A,，,B,，,C,，,，,G),，一直到指出第,1999,根柱子的标号是哪一个才能够停止。你可否帮助他尽快结束这个处罚,?,A B C D E F G,1 2 3 4 5 6 7,13 12 11 10 9 8,14 15 16 17 18 19,25 24 23 22 21 20,G,柱子。,因,G,柱子上的数是,7,，,19,，,31,，,。,1999=12(167-1)+7,，说明,1999,恰好是,G,柱子上的第,167,个数。,3,、,99,个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果。试问这群小朋友最多有几位,?,13(,位,),。,1+2+3+13=9199,，说明若,13,位各分得,l,，,2,，,3,，,，,13,个苹果未分完,99,个，若,14,位各分得,l,，,2,，,3,，,，,14,个苹果则超出,99,个。因,91+8=99,，在,13,位上述分法中若把剩下的,8,个苹果分别加到后,8,位人上，就可得合题意的一个分法：,13,人依次分,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,7,，,8,，,9,，,10,，,11,，,12,，,13,，,14,个。所以最多有,13,位小朋友。,(,注：,13,人的分法不惟一,),4,、一个家具店在,1998,年总共卖了,213,张床。起初他们每个月卖出,25,张床，之后每个月卖出,16,张床，最后他们每个月卖出,20,张床。试问他们共有多少个月是卖出,25,张床,?,1,个月。,设卖,25,、,16,、,20,张床的月份分别为,n,、,m,、,p,个月,(n,，,m,，,p,为自然数,),，则,n+m+p,=12,，,25n+16m+20p=213,。将,m=12-n-p,代入后一式，化简后有,9n+4p=21,。显然此方程在自然数范围内只有,n=1,，,p=3,。故只有,1,个月卖,25,张床。,5,、请把,l,，,2,，,，,9,的数字填入下左图五个圆的,9,个区域中,(,每一个区域只填入一个数字,),，使得每一个圆中的数字的总和皆相等。,有三类填法如下三图所示。,1+2+3+9=45,，设四个重复区域,(,月牙形,),内分别填,A,，,B,，,C,，,D,，由题意知，,45+A+B+C+D,能被,5,整除，所以,A+B+C+D,能被,5,整除。显然，,A+B+C+D=O,，,5,不合题意。,若,A+B+C+D=10,，则,A,，,B,，,C,，,D,只可取为,1,，,2,，,3,，,4,。因,(45+10)5=11,，所以每个圆中的数字和为,11,。有如下图,1,的一类填法。,同理，每个圆中的数字和为,13,时，有如下图,2,的一类填法（此时，,A,，,B,，,C,，,D,只能取,6,，,2,，,8,，,4),。,每个圆中的数字和为,14,时，有如下图,3,的一类填法,(,此时，,A,，,B,，,C,，,D,只能取,6,，,7,，,3,，,9),。,6,、下右图中,5,、,8,和,10,分别代表包含该数字的三个三角形的面积。试问包含,X,这个数字的四边形面积是多少,?,22,。,如右图，设虚线把四边形,X,分成,a,、,b,两个三角形。利用同高的两个三角形面积之比等于相应底边之比，可得：,(,可化简为,2a-b=8),和,(,可化简为,5b-4a=20),，,2-,得,3b=36,则,b=12,。代入得,a=10,故,X=,a+b,=10+12=22,。,7,、运动员,A,和运动员,B,在平地上的速度分别为每分钟,140,米与,l00,米。但是，当他们下坡时，其速度每分钟均增加,20,米，当他们上坡时速度每分钟均减少,20,米。今他们同时从斜坡上开始出发，跑到斜坡下再往回跑，如此继续下去。如果他们第三次面对面相遇时的位置与第一次运动员,A,追上运动员,B,的位置之间相距是,200,米。,试问这个斜坡的长度是多少,?,400,米。,由题意知，在相同时间内，,B,下坡与,A,下坡的路程之比为 ；,B,上坡与,A,上坡的路程之比为 ；,B,下坡与,A,上坡的路程相等；,B,上坡与,A,下坡的路程之比是 。由这些结果和图示知，第三次面对面相遇在斜坡的中点处，第一次,A,追上,B,在斜坡底。所以斜坡长,=2002=400(,米,),。,8,、,147101999,的积可以表示成,7,a,l0,b,A,的形式，其中,a,、,b,与,A,都是正整数。试求,a+b,的值，其中,a,、,b,两数愈大愈好。,277,。,积的各因数为,a,n,=3n-2(n=1,，,2,，,3,，,4,，,，,667),，则积,=a,l,a,2,a,3,a,4,a,667,。考察这积中含,7,的个数：,a,3,=71,，,a,l0,=74,，,a,l7,=77,，,a,24,=710,，,，,a,661,=7283,，共,95,个,(95,是由等差数列,3,，,10,，,17,，,24,，,661,求项数得，即由,661=7(n-1)+3,解得,n=95),，都含有一个,7,，共,95,个,7,；,a,17,=7,2,1,，,a,66,=7,2,4,，,a,115,=7,2,7,，,a,164,=7,2,10,，,，,a,654,=7,2,40,，共,14,个，每个又多含一个,7,，共,14,个,7,；,a,115,=7,3,1,，,a,458,=7,3,4,中，又各多含一个,7,，共,2,个,7,。所以积中含,7,的个数是,95+14+2=11l(,个,),，即最大的,a=11l,。,考察积中含,10,的个数。,10=25,，因子,2,比,5,多。只需考察含因子,5,的个数：,a,4,=52,，,a,9,=55,，,a,14,=58,，,，,a,664,=5398,，共,133,个，每个都含一个,5,，共,133,个,5,；,a,9,=5,2,l,，,a,34,=5,2,4,，,a,59,=537,，,，,a,659,=5,2,79,，共,27,个，每个又多含一个,5,，共,27,个,5,；,a,84,=5,3,2,，,a,209,=5,3,5,，,a,334,=5,3,8,，,，,a,584,=5,3,14,，共,5,个，每个又多含一个,5,，共,5,个,5,；,a,209,=5,4,1,中又多含一个,5,。所以积中共含有因子,5,的个数为,133+27+5+l=166(,个,),。即最大的,b=166,。,a+b,=111+166=277,。,9,请找出符合下列性质的所有四位数。,(1),它是一个平方数；,(2),头两位数的数字要相同；,(3),最末两位数的数字要相同。,7744,。,设四位数为 。因,=1000a+100a+10b+b=11,，要是完全平方数，则 能被质数,ll,整除，因而只能是,902,，,803,，,704,，,605,，,506,，,407,，,308,，,209,。由这些数被,ll,除的商必须是完全平方数知，只有,704,符合。故此求的数是,7744(,即,a=7,，,b=4),。,10,、一位老师告诉,A,，,B,，,C,，,D,，,E,五位学生。一个三位数,N,。之后有以下的对话出现：,学生,A,：这个数可以被,27,整除。,学生,B,：这个数可以被,12,整除。,学生,C,：这个三位数的所有数字和为,15,。,学生,D,：这个数是一个完全平方数。,学生,E,：这个数可以整除,648000,。,上述五个句子中，只有三句是真的。试求,N,。,324,，,108,，,216,，,432,，,864,，,540,，,900,，,144,，,576,。,由题意，首先可以肯定：,(,一,)A,、,C,中最多只有一个“真”。因为能被,27,整除的数的数字之和能被,9,整除，但,15,不能被,9,整除。,(,二,)C,、,D,中最多也只有一个“真”。因为完全平方数中的三位数的数字之和不可能为,15,。,(,三,)A,、,D,、,E,不可能全“真”。因为，若,A,、,D,都“真”了，则,N,必含,3,4,，,N,就不能整除,648000=2,6,3,3,5,3,，即,E“,不真”。,(,四,)A,、,D,、,E,中最少有一个“真”。因为全“不真”不合题中“有,3,句真”。,现根据,(,三,),、,(,四,),来分类讨论：,(1),若,A,、,D“,真”，,E“,不真”，则由,(,一,),知，,C“,不真”，因而,B,一定“真”。此时，三位数,N,只能是,2,2,3,4,=324,。,(2),若,A,、,E“,真”，,D“,不真”，则由,(,一,),知，,C“,不真”，因而,B,一定“真”。此时，三位数,N,只能是,2,2,3,3,=108,，,2,3,3,3,=216,，,2,4,3,3,=432,，,2,5,3,3,=864,，,2,2,3,3,5=540,。,(3),若,D,、,E“,真”，,A“,不真”，则由,(,二,),知，,C“,不真”，因而,B,一定“真”。此时，三位数,N,只能是,2,2,3,2,5,2,=900,，,2,4,3,2,=144,，,2,6,3,2,=576,。,(4),若,A“,真”，,D,、,E“,不真”，则由,(,一,),知，,C“,不真”，这样就有,3,个“不真”，不合题意。,(5),若,D“,真”，,A,、,E“,不真”，则由,(,二,),知，,c“,不真”，也不合题意。,(6),若,E“,真”，,A,、,D“,不真”，考虑,E,、,B“,真”的三位数，有,2,3,35=120,，,2,2,3,2,5=180,，,2,3,3,2,5,2,=600,，,2,3,3,2,5=240,，,2,4,3,2,5=720,，,2,5,3,2,=288,等等，它们都不合,C(,即,C“,不真”,),，所以，此时没有三位数,N,合题意。,综上知，所求的,N,是,324,，,108,，,216,，,432,，,864,，,540,，,900,，,144,，,576,。,个人竞赛试卷,1,、化简,(1-)(1-)(1-)(1-),。,2,、某校有,20,位教师。其中有,10,位教师教数学，,8,位教师教语文，,6,位教师教自然。已知有,2,位教师同时教数学和语文，但没有教师同时教语文和自然。试问：,(1),有多少位教师同时教数学和自然,?,(2),有多少位教师只教数学,?,(1)2,位；,(2)6,位。,因,(10+8-2)+6=2220,，,22-20=2,，所以同时教数学和自然的教师有,2,位。只教数学的教师有,l0-2-2=6(,位,),。,3,、如果,x,3,=1999,，,y,2,=1999,，其中,x,，,y0,。试问介于,x,与,y,之间共有多少个整数,?,32,个。,因,12,3,=1728,，,13,3,=2197,，,44,2,=1936,，,45,2,=2025,，所以,12x13,，,44y45,。介于,x,与,y,之间的整数有,13,，,14,，,15,，,，,44,，共,32,个。,4,、如果有一个九位数 能被,72,整除，试求,A,、,B,两数的差,(,大减小,),。,1,。,72=89,，由题意知，能被,8,整除，则,B=2,。又,A+B+(1+9+9+9+3+1+1),能被,9,整除，则,A+B+6,能被,9,整除。再由,B=2,知，,A=1,。,2-l=1,。,5,、某数,N,能被,90,、,98,和,882,整除，但不能被,50,、,270,、,686,和,1764,整除。又知,N,是,9261000,的约数。试求,N,的值。,4410,。,因,90=23,2,5,，,98=27,2,，,882=23,2,7,2,，则,90,，,98,，,882,的最小公倍数是,23,2,57,2,=4410,，由题意知，,N=23,2,57,2,M,，其中,M,为自然数。又,50=25,2,，,270=23,3,5,，,686=27,3,，,1764=2,2,3,2,7,2,，,9261000=2,3,3,3,5,3,7,3,，要,N,不能被,50,，,270,，,686,，,1764,整除，且是,9261000,的约数，,M,只能取为,1,。故,N=4410,。,6,、如右图，在,ABC,中，,D,点为,AB,的中点，,E,点为,BC,的中点，,F,点为,BE,的中点，,DCF,的面积为,63,平方厘米。试求,ABC,的面积。,168,厘米,2,。,(63 )2=168(,厘米,2,),。,7,、某数恰好有,8,个约数，已知,35,和,77,为其中的二个。试求此数。,385,。,因,35=57,，,77=711,，,8=222,，所以此数是,5711=385,。,8,、没,AXXX,与,XXXB,为两个四位数。其中,A,，,B,，,X,为互不相同的数字。,若 ，试求,A,，,B,，,X,的值。,A=2,，,B=5,，,X=6,。,将 依次化为,5000A+555X=2220X+2B,，,5000A=1665X+2B,。由此式知，,X,必为偶数，且,X4,，即,X,只可能为,4,，,6,，,8,，因,A,、,B,为数字，且,A0,，试算知，只有,X=6,时，有,A=2,，,B=5,符合上式。故,A=2,，,B=5,，,X=6,。,9,、计算,1999,2,-(1998,2,-(1997,2,-(1996,2,-(-(2,2,-l,2,),。,1999000,。,从内到外依次去括号，则有,原式,=1999,2,-1998,2,+1997,2,-1996,2,+5,2,-4,2,+3,2,-2,2,+1,2,。,=(1999+1998)(1999-1998)+(1997+1996)(1997-,1996)+(5+4)(5-4)+(3+2)(3-2)+1,=1999+1998+1997+1996+5+4+3+2+l,=(1999+1)19992-1999000,。,注：此处利用了公式,a,2,-b,2,=(,a+b)(a-b,),。,10,、如右图，,PQRS,为长方形桌子，长是,5,个单位，宽是,3,个单位。今有一球自,P,点沿着,PQ,成,45,o,向,SR,方向滚动，当球碰到,SR,边反弹后，沿着与,SR,成,45,o,方向,QR,方向滚动。如果此球依此方式继续滚动，每次碰到边再反弹后均与此边保持,45,o,的方向前进。,试问此球碰到,R,点之前共反弹多少次,?,6,次。如下图所示。,球由,P A B C D E F R,。,11,、甲乙二人玩游戏，他们轮流从一堆有,1999,个硬币中取硬币，规定每人每次只能取,1,个或,2,个或,3,个，取到最后一个硬币者算输。今由甲先取硬币，试问甲在第一次必须取多少个硬币，才能保证他一定会赢,?,2,。,(1999-1)4=4992,，甲第,1,次取,2,枚硬币，以后“每轮”乙先取甲后取。在每轮中，甲取的硬币个数,=(4-,乙取的硬币个数,),，这样到,499,轮后，就只剩下,1,枚硬币，乙必取到。,12,、试求由,l,，,2,，,3,，,4,，,5,五个数字不重复所构成的所有不同的五位数之和。,3999960,。,由,1,，,2,，,3,，,4,，,5,五个数不重复所构成的所有不同的五位数共有,54321=120(,个,),，其中,1,，,2,，,3,，,4,，,5,在最高位的各,24,个，所以这,120,个数中最高位的数字之和是,(1+2+3+4+5)24=360,。同理，其他位的数字之和也是,360,。故所求的所有五位数之和为,360(10000+1000+100+10+1)=3999960,。,13,、从一组数,4,，,7,，,10,，,13,，,，,46,中每次任取三个不相同的数相加得到一个整数，这样的整数互不相同的有多少个,?,37,个。,因,4,，,7,，,10,，,13,，,，,46,中每个数都具有,3m+1,形式,(m,为自然数,),，所以任意三数的和具有,3n,形式,(n,为自然数,),，其中最小的是,4+7+l0=21,，最大的是,40+43+46=129,。故所求的互不相同的整数是,21,，,24,，,27,，,，,129,共,37,个,(,由,129=3(n-1)+21,得,n=37),。,14,、五个圆,(,如右图所示,),连接在一起，用三种不同的颜色给圆涂色，每个圆涂一种颜色，相邻的两个圆,(,我们把一条线段相连的圆视为相邻的两个圆,),不能涂同一种颜色。试问共有多少种不同涂法,?,36,种。,因三线交点的圆,(,图中左下角处,),涂红、黄、蓝三种不同颜色时，每一种其他圆都有,12,种合题意的不同涂法，所以共有,312=36(,种,),。,15,、有五位妇女围坐在一圆形桌子就餐，姓,A,的坐在姓,B,的与姓,C,的中间，名,u,的坐在名,x,和姓,D,的之间，姓,B,的坐在名,u,的和名,y,的之间，姓,E,的坐在名,z,的左边，姓,C,的坐在名,z,的右边,(,其中,A,，,B,，,c,，,D,，,E,为姓，,x,，,y,，,z,，,u,为名,),。请指出名,x,，,y,，,z,，,u,的姓分别是,A,，,B,，,C,，,D,，,E,中哪一位,?,名,x,姓,B,，名,y,，姓,A,，名,z,姓,D,，名,u,姓,E,。,因为根据题意，他们的坐位如右图所示。,