2020-2021学年广东省广州市白云区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2020-2021 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）方程 x2﹣1＝0 的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根2．（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3 分）在下列各点中，抛物线 y＝3x2 经过点（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2）

4．（3 分）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠C＝34°，则∠AOB 的度数为（ ）
A．34° B．56° C．60° D．68°

5．（3 分）如图，把△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（ ）

A．BD＝ OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C
6．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≠1 D．m≤0 且 m≠﹣1

7．（3 分）反比例函数 y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（ ）
A. k＝﹣3

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B. 函数的图象在第二、四象限 C．函数图象经过点（3，﹣1） D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
8．（3 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点 B 为圆心，3为半径作⊙B，则点 C 与⊙B 的位置关系是（ ）

A．点 C 在⊙B 内 B．点 C 在⊙B 上 C．点 C 在⊙B 外 D．无法确定
9．（3 分）如图，电路图上有 4 个开关 A、B、C、D 和 1 个小灯泡，同时闭合开关 A、B 或同时闭合开关 C、D 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）

A. 只闭合 1 个开关 B．只闭合 2 个开关

C．只闭合 3 个开关 D．闭合 4 个开关

10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：
①abc＜0；

②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则 y1＞y2；
③a+b+c＜0；

④对于任意实数 m，均有 am2+bm+c≥﹣4a． 其中正确的结论的个数是（ ）

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）点 A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．

12．（3 分）抛物线 y＝x2﹣3x+2 与 x 轴的交点个数是 个．
13．（3 分）已知一个正六边形的外接圆半径为 2，则这个正六边形的周长为 ．

14．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．

15．（3 分）如图，从一块边长为 2 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．

16．（3 分）为了迎接 2021 年春节，李师傅计划改造一个长为 6m，宽为 4m 的矩形花池 ABCD，如图，他将画线工具固定在一根 4m 木棍 EF 的中点 P 处．画线时，使点 E，F 都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点 P 所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是 m2．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．

18．（4 分）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，连接 OP．求证：OP 平分∠AOB．

19．（6 分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．
（1） 随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为 ；

（2） 随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．
20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 各顶点的坐标分别为 A（1，1），B（5，

2），C（5，5）．

（1） 将△ABC 绕点 O 旋转 180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2） 在（1）的条件下，求旋转过程中，点 B 经过的路径长（结果保留π）．

21．（8 分）在二次函数 y＝ax2+bx+3（a，b 是常数）中，列表表示几组自变量 x 与函数值 y
的对应值：

x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…

y＝
ax2+bx+c
…
m
0
3
n
3
…
（1） 根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向 ，对称轴为 ；

（2） 求|m﹣n|的值．

22．（10 分）如图是一张长 24cm，宽 12cm 的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．
（1）a＝ ；

（2）若铁盒底面积是 80cm2，求剪去的小正方形边长．

23．（10 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，6），直线 AB∥y 轴，且与

x 轴交于点 B，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 A 和点 P．若⊙P 经过点 A，且与 x 轴交于 B，C 两点．
（1） 求 k 的值和点 C 的坐标；

（2） 判断⊙P 与 y 轴的位置关系，并说明理由．

24．（12 分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，

①作等边△ACD，使得点 D，B 分别是直线 AC 异侧的两个点；

②作等边△BCE，使得点 E，A 分别是直线 BC 异侧的两个点；

（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

（2） 推理：在（1）所作的图中，设直线 BD，AE 的交点为 P，连接 PC，

①求∠APD 的度数；

②猜想 PA，PB，PC 与 AE 之间的等量关系，并证明：

（3） 变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线 BD，AE 的交
点为 P，连接 PC．测得∠PAB＝15°，PA＝ + ，PB＝ ，PC＝．求点 D 到直线 AB 的距离．

25．（12 分）已知抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a（a 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B的左边），与 y 轴交于点 C．顶点 D 不在第二象限，记△ABC 的面积为 S1，△ACD 的面积为 S2．
（1） 当 S1＝3 时，求抛物线对应函数的解析式；

（2） 判断 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3） 当 a 取每一个确定的值时，把抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a 向右平移 a 个单位后，得到函数 y1 的图象．当 0≤x≤a+1 时，结合图象，求 y1 的最大值与最小值的平均数（用含 a 的式子表示）．

2020-2021 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）方程 x2﹣1＝0 的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根
【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法解方程即可．

【解答】解：x2﹣1＝0，
x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1， 故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
2．（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形的对称性是解决问题的关键．
3．（3 分）在下列各点中，抛物线 y＝3x2 经过点（ ）

A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2）

【分析】计算出自变量为 0 所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：当 x＝0 时，y＝3x2＝0； 所以抛物线 y＝3x2 经过点（0，0）．
故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．（3 分）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠C＝34°，则∠AOB 的度数为（ ）
A．34° B．56° C．60° D．68°

【分析】由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝68°．

【解答】解：∵∠C＝34°，

∴∠AOB＝2∠C＝68°． 故选：D．
【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（3 分）如图，把△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（ ）

A．BD＝ OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C
【分析】根据旋转的性质判断即可得解．

【解答】解：∵△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°得到△OCD，

∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，

∵∠BOD≠90°，
∴BD≠ OB．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质是解题的关键．

6．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≠1 D．m≤0 且 m≠﹣1

【分析】根据一元二次方程的定义可知 m+1≠0，再由方程有实数根可得出Δ＞0，联立关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范围即可
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0 有实数根，
∴ ，
解得 m≤0 且 m≠﹣1． 故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意 m+1≠0 这一隐含条件．

7．（3 分）反比例函数 y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（ ）
A. k＝﹣3

B. 函数的图象在第二、四象限 C．函数图象经过点（3，﹣1） D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、反比例函数 y＝的图象经过点（﹣3，1），
∴k＝﹣3×1＝﹣3，故本选项正确；

B、∵k＝﹣3＜0，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故本选项正确； C、∵当 x＝3 时，y＝﹣1，∴此函数图象过点（3，﹣1），故本选项正确； D、∵k＝﹣3＜0，∴当 x＞0 时，y 随着 x 的增大而增大，故本选项错误． 故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

8．（3 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点 B 为圆心，3为半径作⊙B，则点 C 与⊙B 的位置关系是（ ）

A．点 C 在⊙B 内 B．点 C 在⊙B 上 C．点 C 在⊙B 外 D．无法确定
【分析】欲求点 C 与⊙B 的位置关系，关键是求出 BC，再与半径 3 进行比较．若 d＜r， 则点在圆内；若 d＝r，则点在圆上；若 d＞r，则点在圆外．
【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，

∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝ AC＝2 ，
∵以点 B 为圆心，3 为半径作⊙B，
∴R＜d，

∴点 C 在⊙B 外． 故选：C．

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到点的距离 d

与圆半径大小关系完成判定．

9．（3 分）如图，电路图上有 4 个开关 A、B、C、D 和 1 个小灯泡，同时闭合开关 A、B 或同时闭合开关 C、D 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）

A. 只闭合 1 个开关 B．只闭合 2 个开关

C．只闭合 3 个开关 D．闭合 4 个开关

【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．

【解答】解：A、只闭合 1 个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；

B、只闭合 2 个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；

C、只闭合 3 个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

D、闭合 4 个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选：B．
【点评】考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：
①abc＜0；

②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则 y1＞y2；
③a+b+c＜0；

④对于任意实数 m，均有 am2+bm+c≥﹣4a． 其中正确的结论的个数是（ ）

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【分析】根据开口方向确定 a 的符号，根据抛物线与 y 轴的交点确定 c 的符号，根据对称轴确定 b 的符号，判断①；利用二次函数的性质判断②；利用图象得出与 x 轴的另一交点，进而得出 a+b+c＝0，即可判断③，根据函数增减性，判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象交 y 轴的负半轴于一点，

∴c＜0，

∵对称轴是直线 x＝﹣1，

∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，

∴abc＜0，故①正确；

∵（﹣4，y1）关于直线 x＝﹣1 的对称点的坐标是（2，y1），

又∵当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，2＜3，

∴y1＜y2，故②错误；
∵抛物线的对称轴为 x＝﹣1，且过点（﹣3，0），

∴抛物线与 x 轴另一交点为（1，0）．

∴当 x＝1 时，y＝a+b+c＝0，故③错误；

∵当 x＝1 时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，

∴c＝﹣3a，

∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，

∴当 x＝﹣1 时，y 有最小值，

∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m 为任意实数），
∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确， 故结论正确有 2 个．
故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．重点把握抛物线的对称性．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）点 A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（﹣2，3）关于原点 O 的对称点是 P′（2，﹣3）
【解答】解：根据两个点关于原点对称，

∴点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
12．（3 分）抛物线 y＝x2﹣3x+2 与 x 轴的交点个数是 2 个．
【分析】令 x2﹣3x+2＝0，求出△的值，判断出其符号即可．
【解答】解：令 x2﹣3x+2＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴抛物线 y＝x2﹣3x+2 与 x 轴的交点个数是 2． 故答案是：2．
【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c＝0 根之间的关系是解答此题的关键．
13．（3 分）已知一个正六边形的外接圆半径为 2，则这个正六边形的周长为 12 ．

【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．

【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长 a＝2， 正六边形的周长 l＝6a＝12， 故答案为：12．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
14．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．

【分析】首先计算出扇形Ⅰ的圆心角，再求扇形 I 的面积与圆的面积比即可．

【解答】解：扇形Ⅰ的圆心角：360°﹣60°﹣120°﹣45°＝135°， 设圆的半径为 r，
则指针指向扇形Ⅰ的概率是： ＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率公式．

15．（3 分）如图，从一块边长为 2 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．

【分析】连接 AD，根据等边三角形的性质可求 AD，进一步求得弧长，即底面圆的周长， 再根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：连接 AD，

∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
∴AD＝2× ＝ ，
∴扇形的弧长为 ＝π，
∴圆锥的底面圆的半径是π÷π÷2＝ ． 故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．（3 分）为了迎接 2021 年春节，李师傅计划改造一个长为 6m，宽为 4m 的矩形花池 ABCD，如图，他将画线工具固定在一根 4m 木棍 EF 的中点 P 处．画线时，使点 E，F 都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点 P 所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是 （24﹣4π） m2．
【分析】连接 BP，则 BP 为 Rt△BEF 的斜边中线，从而当 EF 在从 A 滑向 B 的过程中， 点 P 位于以 B 为圆心，2m 为半径的四分之一圆弧上，EF 在 BC 线段上滑动时，点 P 有

一段在 BC 上，然后会在以 C 为圆心，2m 为半径的四分之一圆弧上，同理可得点 P 在CD 线段和 DA 线段上的运动轨迹，则种植年花的区域的面积可用矩形的面积减去 4 个四分之一圆弧的面积计算．
【解答】解：连接 BP，如图，由题意可知 BP 为Rt△BEF 的斜边中线，

∵EF＝4m，

∴BP＝2m，

∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，

∴点 P 的运动轨迹为四个圆心分别在点 A，B，C，D，半径为 2m 的四分之一圆，以及

BC 和 AD 上的一段线段．

长为 6m，宽为 4m 的矩形花池 ABCD 的面积为 6×4＝24（m2）．
∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．
【点评】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的斜边中线性质，明确点 P 的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝± ，
所以 x1＝1+，x2＝1﹣ ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．（4 分）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，连接 OP．

求证：OP 平分∠AOB．

【分析】由切线的性质得出 OA⊥PA，OB⊥PB，证明 Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），由全等三角形的性质得出∠AOP＝∠BOP，则可得出结论．
【解答】证明：∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在 Rt△OAP 和Rt△OBP 中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），

∴∠AOP＝∠BOP， 即 OP 平分∠AOB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
19．（6 分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．
（1） 随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为 ；
（2） 随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率求解即可．
【解答】解：（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为，故答案为：；
（2）列表如下：

我
爱
白
云

我
（我，我）
（爱，我）
（白，我）
（云，我）
爱
（我，爱）
（爱，爱）
（白，爱）
（云，爱）
白
（我，白）
（爱，白）
（白，白）
（云，白）
云
（我，云）
（爱，云）
（白，云）
（云，云）
由表可知，共有 16 种等可能结果，其中两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的

有 7 种结果，
所以两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为．
【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 各顶点的坐标分别为 A（1，1），B（5，

2），C（5，5）．

（1） 将△ABC 绕点 O 旋转 180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2） 在（1）的条件下，求旋转过程中，点 B 经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC 绕点 O 旋转 180°后，得到△A1B1C1；
（2）根据弧长公式即可求出点 B 经过的路径长．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求；

（2）∵OB＝ ＝，
∴点 B 经过的路径长为π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轨迹，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

21．（8 分）在二次函数 y＝ax2+bx+3（a，b 是常数）中，列表表示几组自变量 x 与函数值 y
的对应值：

x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝
ax2+bx+c
…
m
0
3
n
3
…
（1） 根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向 下 ，对称轴为 直线 x＝1 ；

（2） 求|m﹣n|的值．

【分析】（1）观察表格中的数据，得到 x＝0 和 x＝2 时，y 值相等都为 3，且 x＝﹣1 时，

y＝0，可得出抛物线开口方向及对称轴；

（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出 a，b，c 的值确定出解析式，进而求出 m 与 n

的值即可．

【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝1；故答案为：下，直线 x＝1；

（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入 y＝ax2+bx+c，得： ，

解得： ，

∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3， 当 x＝﹣2 时，m＝﹣4﹣4+3＝﹣5； 当 x＝1 时，n＝﹣1+2+3＝4；
∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
22．（10 分）如图是一张长 24cm，宽 12cm 的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．
（1）a＝ 12cm ；

（2）若铁盒底面积是 80cm2，求剪去的小正方形边长．

【分析】（1）根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可；

（2）根据题意，得 mn＝80，结合（1）转化为一元二次方程求解即可．

【解答】解：（1）设底面长为 mcm，宽为 ncm，正方形的边长为 xcm，根据题意得：

，

由②③得 2a＝24，解得 a＝12（cm），故答案为：12cm；
（2）根据题意，得

mn＝80，

由 ，得

由①得，n＝12﹣2x，

把 a＝12 代入②得 m＝12﹣x，

再把 m 和 n 代入 mn＝80 中，得

（12﹣x）（12﹣2x）＝80，解得 x＝2 或 x＝16（舍去）．
答：剪去的小正方形边长为 2cm．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．
23．（10 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，6），直线 AB∥y 轴，且与

x 轴交于点 B，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 A 和点 P．若⊙P 经过点 A，且与 x 轴交于 B，C 两点．
（1） 求 k 的值和点 C 的坐标；

（2） 判断⊙P 与 y 轴的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法求得 k，然后根据题意 P 在 AB 的垂直平分线上，得出 P 的纵坐标为 3，代入解析式求得横坐标，同样根据 P 是 BC 的垂直平分线上 D 的点求得 C 的坐标；
（2）根据勾股定理求得圆的半径，与 P 的横坐标比较即可判断．

【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过点 A，点 A 的坐标为（2，6），
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为 y＝，
∵⊙P 经过 A、B 点，
∴PA＝PB，

∴P 在 AB 的垂直平分线上，

∵直线 AB∥y 轴，

∴B（2，0），P 点的纵坐标为 3，

把 y＝3 代入 y＝得，3＝ ，则 x＝4，
∴P（4，3），

∵⊙P 与 x 轴交于 B，C 两点，
∴P 是 BC 的垂直平分线上的点，

∴C（6，0）；

（2）相离，理由如下：

∵P（4，3），B（2，0），

∴PB＝ ＝，
∴⊙P 的半径为，
∵P 的横坐标为 4，4＞，
∴⊙P 与 y 轴相离．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，直线与圆的位置关系等，求得 P 的坐标是解题的关键．

24．（12 分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，

①作等边△ACD，使得点 D，B 分别是直线 AC 异侧的两个点；

②作等边△BCE，使得点 E，A 分别是直线 BC 异侧的两个点；

（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

（2） 推理：在（1）所作的图中，设直线 BD，AE 的交点为 P，连接 PC，

①求∠APD 的度数；

②猜想 PA，PB，PC 与 AE 之间的等量关系，并证明：

（3） 变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线 BD，AE 的交
点为 P，连接 PC．测得∠PAB＝15°，PA＝ + ，PB＝ ，PC＝ ．求点 D 到直线 AB 的距离．

【分析】（1）①分别以 A 和 C 为圆心，以 AC 为半径画弧，交于点 D，连接 CD，AD， 则△ACD 即为所求作的等边三角形；
②分别以 B 和 C 为圆心，以 BC 为半径画弧，交于点 E，连接 CE，BE，则△BCE 即为所求作的等边三角形；
（2） ①利用 SAS 证明△DCB≌△ACE（SAS），可得∠CDB＝∠ACE，再根据三角形内角和定理可得结论；
②如图 2，作辅助线，构建等边三角形和全等三角形，证明△CDM≌△CAP（SAS）和△

PCM 是等边三角形，可得结论；

（3） 如图 3，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDM≌△CAP（SAS）和△PCM 是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图 1，

①则等边△ACD 即为所求作的三角形；

②则等边△BCE 即为所求作的三角形；

（2） ①如图 2，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠ACD+∠BCA＝∠BCA+∠BCE， 即∠BCD＝∠ACE，
∴△DCB≌△ACE（SAS），

∴∠CDB＝∠ACE，

∵∠COD＝∠AOP，

∴∠APD＝∠ACD＝60°；

②AE＝PA+PB+PC，理由是：

如图 2，在 PD 上截取 DM＝AP，

∵DC＝AC，∠CDM＝∠CAP，

∴△CDM≌△CAP（SAS），

∴CM＝PC，∠DCM＝∠ACP，

∵∠ACD＝∠DCM+∠ACM＝60°，

∴∠ACM+∠ACP＝60°，即∠PCM＝60°，

∴△PCM 是等边三角形，

∴PM＝PC，

∵BD＝DM+PM+PB＝AE，

∴AE＝PA+PB+PC；

（3） 如图 3，过点 D 作 DG⊥AB 于 G，在 BD 上截取 DM＝AP，连接 CM，

由（2）同理得：△DCB≌△ACE，

∴BD＝AE，∠CAE＝∠CDB，

∵AC＝CD，AP＝DM，

∴△ACP≌△DCM（SAS），

∴PC＝CM，∠ACP＝∠DCM，

∴∠PCM＝∠ACD＝60°，

∴△PCM 是等边三角形，

∴PC＝PM，
∵PA＝ + ，PB＝ ，PC＝ ，
∴PA+PB﹣PC＝ + + ﹣＝ + ，
∵PA+PB﹣PC＝DM+PB﹣PM＝BD，
∴BD＝ + ，
∵∠APD＝∠ACB＝60°＝∠PAB+∠PBA，

∴∠PBA＝60°﹣15°＝45°，

∵DG⊥AB，

∴∠DGB＝90°，

∴△DGB 是等腰直角三角形，
∴DG＝ BD＝ ＝ + ； 即点 D 到直线 AB 的距离是 + ．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的作图，三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识，本题运用类比的方法解决问题，正确作出辅助线是本题的关键．

25．（12 分）已知抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a（a 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B的左边），与 y 轴交于点 C．顶点 D 不在第二象限，记△ABC 的面积为 S1，△ACD 的面积为 S2．
（1） 当 S1＝3 时，求抛物线对应函数的解析式；

（2） 判断 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3） 当 a 取每一个确定的值时，把抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a 向右平移 a 个单位后，得到函数 y1 的图象．当 0≤x≤a+1 时，结合图象，求 y1 的最大值与最小值的平均数（用含 a

的式子表示）．

【分析】（1）由题意得：S1＝ ×AB×OC，即可求解；
（2） S2＝S 梯形 ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO＝3a，而 S1＝6a，即可求解；
（3） 分 a﹣1≤0、a﹣1＞0 两种情况，利用点和对称轴的位置关系，确定函数的最大值和最小值，即可求解．
【解答】解：y＝ax2+2ax﹣3a（a 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点， 则令 y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得 x＝﹣3 或 1，令 x＝0，则 y＝﹣3a， 故点 A、B、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），
则抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，当 x＝﹣1 时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a， 故点 D 的坐标为（﹣1，﹣4a）；
∵抛物线和 x 轴有两个交点，且顶点 D 不在第二象限，

则抛物线的顶点在第三象限，则 a＞0，函数大致图象如下：

（1）由题意得：S1＝×AB×OC＝ ×4×3a＝6a＝3， 解得 a＝，
故抛物线的表达式为 y＝x2+x﹣ ；

（2） 是定值 2，理由：

过点 D 作 DH⊥y 轴于点 H，
则 S2＝S 梯形 ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO＝（1+3）×4a﹣ ×1×（﹣3a+4a）﹣ ×3×3a＝
3a，

由（1）知 S1＝6a，

故 ＝2；

（3） ∵抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a 向右平移 a 个单位后，得到函数 y1 的图象，

根据平移的性质，y1＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a），由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线 x＝﹣1+a，
∵﹣1+a＜a+1，

故 x＝a+1 在新抛物线对称轴的右侧．

①当 x＝a﹣1≤0 时，即 x＝0 在 x＝a﹣1 的右侧，即 0＜a≤1， 当 0＜a≤1 时，则 a﹣1＜2，则抛物线在 x＝a+1 时取得最大值， 而在 x＝0 时取得最小值；
当 x＝a+1 时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，
当 x＝0 时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，
则 y1 的最大值与最小值的平均数＝（a3﹣2a2﹣3a）＝ a3﹣a2﹣ a；
②当 a﹣1＞0 时，

则此时，顶点的横坐标 0＜a﹣1≤a+1，
当 x＝a﹣1 时，y1 取得最小值为 y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）
＝﹣4a，

当 a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即 1＜a＜