第一章网络理论基础(3)精简版.ppt

1-8,网络图论,的基本知识,1,网络,(,电路,),的,图,（线图,Graph,）,主要,复习,:,节点、支路、路径、回路、树、割集,P43-P47,）,众所周知,，电路（网络）的,约束分成两类,，一为,元件约束,，一为,结构约束,。,结构约束是电路的,连接结构,对电网络中的电压和电流的制约关系（,KCL,，,KVL,）,它与,元件的性质,无关。,因此就用,抽象的点,来代替原来的节点。用,线段,来,代替,原来的,支路,，这样得到的一个由,节点,和,支路,组成的,图,，称为,电路的图,。,既如此，讨论这部分关系时，就,没有必要把元件画出,。,下面复习,网络图论,的一些,术语,。,图(,Graph,),图是,拓扑,（,T,opology,Topological,Graph,）图的简称，是,节点和支路,的一个集合。,:,未赋以方向的图称为,无向图,。只有,部分支路赋以方向,的图称为,混合图,。所有支路都赋以方向的图称为,有向图。图中,的,方向表示,原电路中,支路电压,和,电流的关联参考方向,:,图并,不反映,支路之间的,耦合,关系,!,二端,元件的图,三端,元件的图,双口,元件的图,元件,的图,网络,的图,网络,拓扑,i,1,i,2,i,3,i,1,i,2,i,3,i,1,i,2,i,3,抽象,i,=0,连接,性质,电路图,抽象,图,R,2,C,L,u,S,R,1,抽象,抽象,无,向,图,有,向,图,(1),图,的基本概念,(,名词,和,定义,),1,）图,G=,支路，节点,连通,图,图,不,(,非,),连通图,是,节点和支路,的一个集合,2,）,连通,图,如果图,G,中的,任何两个节点之间,都,至少存在一条路径,，则,G,称为,连通图,(Connected Graph),，,否则称为,非连通图,。,3,）,有向,图,未赋以方向的图称为,无向图,。只有,部分支路赋以方向,的图称为,混合图,。所有支路都赋以方向的图称为,有向图。,由电路中的,多口元件,造成的,非连通图,，可以把,不连通,的各部分中的任一节点,(,一部分只能取一个节点,),之间,假设有一条短路线相连,。把这些,假设短路线连接的节点合并成一个节点,，这样所得的图称为,铰链图,(Hinged Graph),。,铰链,图,+,-,+,-,抽象,连通,图,抽象,不连通,图,不含自环,允许,孤立节点,存在,4,）,子,图,如果图,G,1,中的每个节点,和每条,支路都是,G,图中的一部分,，则称,G,1,为,G,的子图,(,Subgraph,),。,G,G,1,G,2,(5),路径,（简称路）,从图的某一个节点出发，沿着一些支路,连续移动到达另一个节点,，这样的,一系列支路,称为图的一条路径。,一般,出发,的节点称为,始节点,，,到达,的节点称为,终节点,。,支,路和,节点,只过一次。,(6),回路,1),连通；,2),每,个,节点关联支路数,恰好,为,2,。,1,2,3,4,5,6,7,8,2,5,3,1,2,7,5,8,9,回路,不是回路,回路,L,是连通图,G,的,一个子图,。,具有下述性质,(7),树,(Tree),树,T,是,连通图,G,的,一个子图,，具有下述性质：,1),连通；,2),包含,G,的,所有节点；,3),不包含回路。,树是联接,连通图全部节点,的,最少支路集合,。,余树,或补树：,G,中,对应树,T,的余子图,称为,余树,或补树,(,Cotree,).,图中,虚线支路,为树,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,树不唯一,树支,(Tree Branch or Twig),：,属于树的支路,连支,(Chord or Link),：,属于,G,而不属于,T,的支路,16个,对于,一个选定的树,树支,数,b,t,=,n,-1,连支,数,b,l,=b-(,n,-1),单连支,回路（,基本,回路）,1,2,3,4,5,6,7,1,4,5,树支数,4,连支数,3,单连支回路,独立回路,单连支回路,独立回路,（,8,）,割集,与,广义节点,（,闭合面,）的概念相关联。是被,闭合面所切割,的支路集合。,是,把一个连通图恰好分成两部分,的,最少支路集合,。因此与,节点,有关的,关系对割集,也,成立,。,1),把,Q,中,全部支路,移去，将图,恰好,分成,两个,分离部分；,2),保留,Q,中的,一条支路,，其余支路都移去，,G,还是,连通,的。,4,3,2,1,5,6,1,3,4,2,5,6,Q,1,2,5,4,6,割集,Q,是连通图,G,中的,一个支路集合,，具有下述性质：,4,3,2,1,5,6,4,3,2,1,5,6,4,3,2,1,5,6,Q,4,1,5,2,Q,3,1,5,4,Q,2,2,3,6,单树支,割集（,基本,割集）,4,3,2,1,5,6,4,3,2,1,5,6,4,3,2,1,5,6,Q,3,1,5,3,6,Q,2,3,5,4,Q,1,2,3,6,4,3,2,1,5,6,Q,4,1,5,2,4,3,2,1,5,6,Q,3,1,5,3,6,单树支割集,独立割集,单树支割集,独立割集,割集,概念的解释（续）,1,2,3,4,1，2，3，4,割集,三个,分离部分,1,2,3,4,1，2，3，4,割集,4,保留,4,支路，,图不连通,的。,1-9,图的,矩阵表示,及其,性质,有向图拓扑,性质的描述,（,1,）,关联矩阵,(Incidence Matrix),（,2,）,回路,矩阵,(Loop Matrix),（,3,）,割集,矩阵,(,Cutset,Matrix),（,4,）,连通图,的主要关联矩阵,的关系,(1),关联,矩,阵,A,节点,支路,关联矩阵,Aa,，又称为,全阶点,关联矩阵（或,增广关联,矩阵）。其中,行,：对应,节,点；,列,：对应,支,路，流,出,为正，流,入,为负，,无,关为,零,。,Aa,中,任意,去掉一行,剩下的,行,线性无关,，去掉,行对应,的,节点,就做,参考节点（,简称,参考点）,。称为,降阶,关联矩阵。简称,关联矩阵,，记为,A,，（,AI=0,对应独立的,n-1,个,独立,的,KCL,方程,），,A,的秩,为（,N-1,），,Rank,（,Aa,）,=Rank,（,A,）,=n-1,。,用矩阵形式描述,节点,和,支路,的关联性质,a,ij,a,ij,=1,有向,支路,j,背离,i,节点,a,ij,=-1,有向,支路,j,指向,i,节点,a,ij,=0,i,节点与,j,支路,无关,关联,矩阵,A,a,=,a,ij,n,b,节点数,支路数,A,=,a,ij,n,b,节点数,支路数,6,4,5,3,2,1,A,a,=,1,2,3,4,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,-1,-1,0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,A,a,=,1,2,3,4,1 2 3 4 5 6,支,节,1,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,-1,-1,0,0,1,0,1,0,-1,1,0,-1,0,设,为参考节点,-1,-1,0 0 1 0,A=,1,2,3,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,称,A,为（降阶）,关联,矩阵,(,n,-1),b,，简称,关联,矩阵；,表征独立,节点与支路,的,关联,（连接）性质。,(,降阶,),关联矩阵,A,若把,A,a,中的,任一行,划去,(,相当于相应的节点选作,参考点,),，剩下的,(n,1)b,矩阵足以表征有向图中支路与节点,的,关联,关系，并且,(n,1),行是线性无关,的。这种,(n,1)b,阶矩阵称为,降阶,(Reduced),关联矩阵，简称,关联矩阵,。,关联矩阵,A,的任何阶,方子矩阵,A,0,，,det,A,0,为,0,、,1,或,1,。,幺模,矩阵,(,Unimodular,Matrix),一个矩阵如果它的,每个方子,矩,阵,的,行列式值,均为,1,、,1,或,0,，则称该矩阵为,单模矩阵,或,幺模矩阵,。,对,n,个节点的连通图,G,，,G,的关联矩阵,A,的,一个,(n,1),阶子方阵非奇异,的,充分必要条件,是此,子方阵的列,对应图,G,的,一个树的树支,。,有关 的定理,:,一个,树的关联矩阵 是非奇异的,，且,:,大子矩阵,(Major,Submatrix,),:A,t,为,大子矩阵,。,一个秩为,n,的,nm,矩阵的,大子矩阵,定义为该矩阵,阶数为,n,的非奇异子矩阵,。,树的数目,的计算方法,:,比,内,柯西,(,Binet,-Cauchy),定理,设矩阵,B,为,mn,阶矩阵，,C,是,nm,阶矩阵，且,m,n,，则,det(BC,),的对应,大子式,的乘积,树的数目,的计算方法,结论：,设,图,G,是,连通,的，其关联矩阵为,A,，,则,全部树的数目,为,。,即,2,2,),1,(,=,非零大子式）,的,（,全部非零大子式,A,),det,(,=,=,树的数目,AA,T,设:,6,4,5,3,2,1,-1,-1,0 0 1 0,A=,1,2,3,1 2 3 4 5 6,支,节,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,支路电压,支路电流,节点电压,矩阵形式的,KCL,A,i,=,-1,-1,0 0 1 0,1 0 0 -1 0 1,0 1 1 0 0 -1,6,5,4,3,2,1,i,i,i,i,i,i,6,4,5,3,2,1,A,i,=0,矩阵形式,KVL,6,4,5,3,2,1,（,2,）基本回路矩阵,B,2.,支路排列顺序为先连,(,树,),支后树,(,连,),支。,1,支路,j,与回路,i,关联，方向一致,-1,支路,j,与回路,i,关联，方向相反,0,支路,j,不在回路,i,中,b,ij,=,1,约定,：,1.,回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述,基本回路,和,支路,的关联性质,B,=,b,i j,l,b,基本回路数,支路数,1,选,4,、,5,、,6,为树，连支顺序为,1,、,2,、,3,。,1,2,3,B,=,4 5 6 1 2 3,支,回,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,=B,t,1,设,矩阵形式的,KVL,0 1 -1 0 0 1,B,t,B,l,B,u,=0,B,u,=0,可写成,B,t,u,t,+u,l,=0,u,l,=-B,t,u,t,用,树支,电压表示,连支,电压,连支,电压,树支,电压,矩阵形式的,KVL,的,另一,种,形式,1,B=B,t,1,用,连支,电,流,表示,树支,电,流,B,T,i,l,=,i,矩阵形式的,KCL,KCL,的另一种形式,（,3,）,基本,割集矩阵,Q,约定,(1),割集方向与树支方向相同。,(2),支路排列顺序先树,(,连,),支,后连,(,树,),支。,q,ij,=,1,j,支路与,割集,i,方向一致,-1,j,支路与,割集,i,方向相反,0,j,支路不在,割集,i,中,1,用矩阵形式描述,基本割集,和,支路,的关联性质,Q,=,q,i j,n-,1,b,基本割集数,支路数,Q,=,4 5 6 1 2 3,支,割集,C,1,C,2,C,3,1 0 0 -1,-1,0,0 1 0 1 1 -1,C,1,:1,2,4,C,2,:1,2,3,5,C,3,:2,3,6,设,u,t,=,u,4,u,5,u,6,T,矩阵形式的,KCL,1,0 0 1 0 -1 1,Q,l,Q,t,Q,i,=0,回路矩阵,表示时,用,连支电流,表示,树支电流,矩阵形式的,KCL,的,另一,种,形式,Q,i,=0,可写成,回路矩阵,和,割集矩阵,的关系,1,矩阵形式的,KVL,用,树支电压,表示,连支电压,Q,T,u,t,=u,KVL,的另一种形式,参考节点,p,4,p,1,p,3,p,2,1,1,4,5,p,5,1,）,道路矩阵,P,的,构造,(4,）树的,道路（路径）矩阵,P,右图是某图的一个树，,所谓,道路,是指对一个选定的树，从,任,意,节,点到,参考节,点的,路径；,所谓,道路矩阵,是,指,表征各,树支,与,路径,(,节点,),的,关联,关系的矩阵。后面的分析将会看到，,道路（路径）矩阵,P,的引入会,大大简化,各关联矩阵的,生成。,参考节点,p,4,p,1,p,3,p,2,1,1,4,5,p,5,若,规定各道路,的选,号,与路的,起始节点,选,号,一致，,终点,是参考点。则第,k,条路,P,k,起始节点就是节点,k,，,路的方向从,始,节点指向,参,考节点。,则：,道路矩阵,它的,行,对应,树支,，,列,对应,路径,。,参考节点,p,4,p,1,p,3,p,2,1,1,4,5,p,5,p,2,p,1,p,3,p,4,p,5,按上述,规定,写出,P,b,2,b,1,b,3,b,4,b,5,下面给出证明,2,）,这正是,引入,道路矩阵的,目的,，,直接生成,A,t,的逆,，也可把,树支,电压与,节点,电压联系起来。,可以证明 的（非零）,大子阵,其中下标,i,，,k,，,j,分别表示,节点的编号,、,道路编号,和,支路的编号,。若第,j,条支路不与节点,i,关联时，,a,i,j,=0,，第,j,条支路不在第,k,条道路,P,k,上时，有,P,j,k,=0,，此时 有,d,i,k,=,a,i,j,P,j,k,=0,。,令,3,）,的证明,只,有第,j,条支路既与,i,节点关联，又在,P,k,上才有,d,i,k,=,a,i,j,P,j,k,0,；,此时节点,i,一定在,P,k,上；,当,节点,i,在,P,k,上时，若,i,=,k,，,则只有,P,k,上的,1,条支路,与,节点,i,相关联；,若,i,k,，,则只有,P,k,上的,2,条支路,与,节点,i,相关联。,),i,节点在,P,k,上，但不是它的,始节点,，也不是,终节点,，则必有且只有二条支路和与,i,节点关联，设为,x,和,y,，,如图所示。,任意,改变,x,和,y,的,方向,结果不变。,（,）,i,k,（,i,不是,P,k,的始节点）,),i,节点不在,P,k,上，,d,i,k,=,a,i,j,P,j,k,=0,；,x,k,i,j,1,y,P,k,d,i,k,=,a,i,x,P,x,k,+,a,i,y,P,y,k,=(-1),(1)+(1),(1)=0,d,i,k,=,a,i,x,P,x,k,+,a,i,y,P,y,k,=(1),(-1)+(1),(1)=0,x,k,i,j,1,y,P,k,（,）,i,=,k,（,i,是,P,k,的始节点）,d,i,k,=,a,i,x,P,x,k,=(1),(1)=1,d,i,k,=,a,i,x,P,x,k,=(-1),(-1)=1,综合（,）（,）有,所以,证明结束,路径矩阵示例,示例,3,各关联矩阵间的关系：设有,n,个节点,b,条支的,连通图,，支路编号顺序,先连支,后树支,可见关联矩阵,A,包含了网络有向线,图,的全部,结构信息，,即表征了,网络,的,全部结构约束,（对任一选定的树和参考节点）,。,（,对应同一个树,）,只规定了回路与支路、割集,与支路的关系，而,图是节点与支路的集合,，因而,不唯一,（给定节点支路编号）,（,给定树）,A,与图的,一一对应,关系,1-10,网络的,互联,规律性,树支电流,可以用,连支电流,来表示，,连支电流,是,完备,独立变量,。,1.KCL(,电荷守恒,),的,矩阵,形式,一、,KCL,、,KVL,定理的矩阵形式,2.,KVL,(,能量守恒,),的,矩阵形式,连支电压,可以用,树支电压,来表示，,树支电压,是,完备,独立变量,。,各道路的起始节点,对参考节点的电压,为,k,节点的电压（位）,Q,f,Q,f,i,=,0,u,=,Q,f,T,u,t,小结,u,l,=-B,t,u,t,A,B,f,Ai=0,i,=,B,f,T,i,l,KCL,KVL,u,=,A,T,u,n,B,f,u=0,二、,特勒根,定理,1.,功率守恒定律,对于一个具有,n,个节点、,b,条支路的网络，令,u,b,和,i,b,分别表示,支路电压列向量,和,支路电流列向量,，且各支路的电压和电流采用关联参考方向，则,或者,功率守恒,定律的证明,或者,扩展,KVL,利用,KCL,这就是,拟,（似）功率守恒定理,2.,拟,功率守恒定理,或者,拟,（似）,功率守恒,定理的另一种形式,设网络,N,和,具有相同,的拓扑,结构,(,即,),，支路电压列向量和支路电流列向量分别为,u,b,、,i,b,和 、，则有,设,同一,个,网络,N,不同时刻,的,电压电流,分别为,则有,或者,和,3.,微分特勒根定理,（不同网络,图相同,或同一网络不同时刻）,或者,一条支路,一条支路,4.,特勒根定理的,多端口形式,（,P58,）,N(,共,b,条支路,),+,-,+,-,i,p,1,i,pn,u,pn,u,p,1,设,n,端口的电压和电流列向量分别为,由于端口的电压和电流,对外接支路,是,非关联,参考方向，因此其特勒根定理的表达式为：,写成标量形式,(,共,b,条支路,),+,-,+,-,同理对网络 有：,N(,共,b,条支路,),+,-,+,-,i,p,1,i,pn,u,pn,u,p,1,(,共,b,条支路,),+,-,+,-,应用于网络,N,和 有：,设网络,N,的参数发生变化,，从而引起各支路电压和电流的变化 有：,把上述关系代入（,3,）得,(4),(3),得,（,6,）式可用于求网络的灵敏度，则 就是构造的,伴随网路,。,实事上（,6,）式也可以从特勒根定理的,微分形式,直接得到，这里的主要强调端口变量和,构造端口，,即如果,原网络内部存在独立源等,可以抽出，以便,简化,分析处理。,三、基尔霍夫定律和特勒根定理的,广义形式,变换 称为,线性,的，是指对于,任意实数,和,:,常用,线性变换,反,变换,(1),傅立叶变换,正,变换,线性,变换,常用,线性,变换（续）,(2),相量,变换,(3),拉,普拉斯变换,或,反,变换,正,变换,正,变换,反,变换,(4),其它,线性变换,一维变换：取增量、取共轭、,小波变换,、多维变换：,派克,变换、,相模,（解耦）变换、相序变换等,基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式,变换域,的,KCL,方程和,KVL,方程,记为,由基本,回路,矩阵和基本,割集,矩阵表示的基尔霍夫定律的,广义,形式,特勒根定理的,广义,形式,1-11,网络及元件的,基本性质,(,二,),陈述网络性质的,三种,方式,只讨论端口型,根据组成网络的,元件,传统型,根据网络,方程,根据,输入输出,关系端口型,一、,无源,性和,有源,性,1.,定义：,如果一个,线性时不变元件,对于任意容许信号偶 及任意的时间,t,，,恒有,则称该元件是,无源的,，否则称为,有源的,。,为,t,0,时刻元件储存的能量。,式中,时不变电阻,元件,的无源判据,对于线性,时不变,电阻元件,当且仅当,对于,任意,的,容许,信号,偶,和,任意,时刻,t,恒有,该电阻元件才是,无源,的。,证明,：,由于,电阻,元件,不储存能量,，故,1,充分性,2,必要性,若取,直流,信号,则必,为一组,容许信号偶。,有源,，,相,矛盾,。,假设,论断不真，则,至少,存在一个时刻,成立,电阻元件是,无源,的,无源性,示例,无,源,元,件,正,值电阻、,正,值电容、,正,值电感,理,想,变,压器、,回转,器,伏安特性曲线位于第,一,、,三,象限的,二端,电阻,有,源,元,件,独立源、,负,值电阻、,负,值电容、,负,值电感,受,控源、,运,放、跨导、,负,阻抗变换器,伏安特性曲线部分位于第,二,或,四,象限的,二端,电阻,当式中的,等号只有在,u,和,i,同时为零时才成立时,电阻元件称为,严格无源的,(Strictly Passive),。,2.,可用,能量,(Available Energy),sup,表示取,上确界,对于,时不变元件,在工作点,Q,的所有容许信号偶,和所有,，,可用能量,定义为,无源性,的一般定义,对于时不变,非线,性元件，若在,任何工作点,Q,的,可用能量,均是,有限,的，则该元件是,无源的,，否则称为,有源的,。,3.,非,能的,(,Nonenergic,),一个元件，如果对于,任何,容许信号偶,则称该元件是,非能,的，否则称为,能量,的,。,非能元件既,不,消,耗,能量，也,不,存,储,能量,理,想,变,压器、,回,转器,恒,有,二、,无损,性与,有损,性,定义：如果一个,n,口元件对于,所有有限的,，从,t,0,到,平方可积的容许信号偶 ，亦即,在,所有初始时刻,t,0,之下有,或,则称该元件是,无损,的，否则就是,有损,的。,三、,互易,性、,反互易,性和,非互易,性,定义：,如果,线性时不变,元件对于,任意两组,容许信号偶 和,恒有,“*”,为卷积符号,或者,则称该,元件,是,互易,的,(Reciprocal),。,如果恒有,则称该元件是,反互易,的,(,Antireciprocal,),。,（,频域,）,或者,n,端口的,互易,性、,反互易,性和,非互易,性,定义：,如果,无独立源的,n,端口,对于,任意两组,容许信号偶 和,恒有,“*”,为卷积符号,或者,则称该,n,端口,是,互易,的,(Reciprocal),。,如果恒有,则称,该,n,端口,是,反互易,的,(,Antireciprocal,),。,（,频域,）,或者,设：,n,端口网络,不存在独立源，,Z,（,S,）（或,Y,（,S,）,则有,互易,性与,非互易,性的另一种,表达形式,互易,性与,非互易,性也可用其它网络参数表示。,若,即,Z,（,s,）为,对称阵,，同理,y,（,s,）也为,对称阵,称为,反互易,的，否则为,非互易,的,互易,性若干命题,u,T,=0,，,T,i=0,；（,U,1,1,+U,2,2,=,1,i,1,+,2,i,2,）；,互易定理有,三种,形式，可由特勒根定理得（,P56,）,：,(U,K,K,-,K,i,K,),=0,由,互易元件,构成的,n,端口，是,互易,n,端口（充分,）,;,由,R,、,C,、,L,组成的,n,口网络是,互易,的,;,含,受控源,的,n,口网,一般不,互易，,互易,n,端口内不存在独立源。,相互互易,!,如果,两个端口数目相同,的线性网络,(,元件,),，对于它们的,任意端口,容许信号偶 和,恒有,则称这,两个多口,网络（元件）是,相互互易,的,。,例题,或者,跳过！,四、,因果,性与,非因果,性,对于一个网络，在,施加激励前没有响应,，只有在激励施加后才有响应，这个特性称为,起因性,。,一个,初始条件为零,的物理网络，在相同的输入,(,原因,),下将产生相同的输出,(,效果,),，这种特性就称为,因果性,。,五、,无增益,特性,网络的,每一组解,均满足下列,两条性质,:,(1),网络,N,中任,一对节点之间的电压幅值,小于或等于,所有独立电源两端电压的幅值之和,;,(2),流入,每一元件任一端钮的电流的幅值,小于或等于,流过所有独立电源电流的幅值之和。,对于每一个,直流工作点,Q,存在一个由,(n,1),个,线性正值二端电阻,组成的,n,端连通网络具有相同的工作点。,充分必要条件,:N,中的每一个,n,端电阻元件,满足无增益判据,(No Gain Criterion),电路,无解,示例,隧道二极管,电路多解示例,六、网络解的,存在,性与,唯一,性,网络解的,存在性,与,唯一性,P69,！,实际网络,总是,有解,的，且在任何时刻,都有唯一解,。但对由电路,模型,构成的,网络,，可能,有解,，也可能,无解,；可能有,唯一解,，也可能,不,是,唯一,的。,网络无解,等或解不唯一,说明,电路,模型不合理,。,充分条件,如果电路不,含纯电压源回路,和,纯电流源割集,，则该电路的解存在并且唯一。,定理,线性,电阻,电路解的存在性和唯一性,设,线性电阻电路,由电路方程 描述,则,当且仅当,时，该电路（网络）具有,唯一解,“H”,代表共轭转置。,则称其为,欧姆型,矩阵。,欧姆型,矩阵,一个,n,阶方阵,F,，,如果在,复数域,中对每一个非零,n,维列向量,X,有,显然，,正定阵,和,负定阵,是,欧姆型矩阵,，反过来不一定成立。,定理,设,N,是一个既不包含有,仅由独立电压源,和,受控电压源,组成的,回路,，又不包含有,仅由独立电流源,和,受控电流源,组成的,割集,的网络。,N,是把,N,中所有独立电源置零后得到的网络，如果,N,的,支路导纳矩阵为欧姆型,，则网络,N,有,唯一解,。,THE END,结论,设,N,是一个,含有独立电源,的,RLCM,网络,，,当且仅当,网络,没有,仅由,电压源组成的,回路,和,没有,仅由,电流源组成的,割集,时，该网络拥有,唯一解,。,图论,的若干内容！,着色边,定理,(,与,配网故障选线,),着色边定理是,Minty,于是,1960,年提出的一个,图论,方面的定理,着色边定理也,与元件的性质无关,它仅仅,取决于网络的拓扑结构,。该定理揭示了普遍的网络的互连规律性,近年来,在,网络理论方面,得到广泛的,应用,。,给定一,有向图,G,把图中的每条支路着上下列,三种颜色之一,:,红,色、,蓝,色和,绿,色,.,任意,取出一条绿颜色支路,将其着成,深绿色,。,显然,对于任一有向图,可有许多种不同的着色方式,.,我们把着色的有向图称为有向着色图,(Directed Colored Graph),用 表示。假定网络的,节点数,和,支路数,都是,有限,的,则,着色边定理,如下所述,(1),存在一个,由深绿色支路,及,绿色支路,和,/,或,红色支路,形成的,回路,该回路中,所有绿色支路的方向皆相同,即它们的方向都与回路的方向一致或相反,.,(2),存在一个,由深绿色支路及绿色支路,和,/,或,蓝色支路,形成的,割集,该,割集中所有绿色支路的方向皆相同,即它们的方向都与割集的方向一致或相反,设 是一,有向着色图,则下述,两条中有且仅有一条成立,定理,1,对于着色边,定理,的几点,说明,:,（,1,）有向图中支路的,着色是任意的,但,只能有一条支路,着,成深绿,色。,（,2,）有向图中,至少有一条支路着成绿色,。但是,红色支路集和蓝色,支路集,可以是空集,即有向着色图中不存在红色支路和,/,或蓝色支路。,（,3,）定理中所提到的那种,回路和割集,并,不唯一,。,推论,1,设,是图,G,中,任一条支路,将其着成,深绿色,剩余的每条支路,或,者着成,红色,或者着成,蓝色,.,则,或,者与一些,红色支路,形成,回路,或,者与一些,蓝色,支路形成,割集,但,二者不会同时成立。,推论,2,回路,-,割集不相容,原理,设 为有向图中的,任一支路,则存在下述两种,互不相容,的可能,:,（,1,）属于,同,一,方向回路,；,（,2,）属于,同,一,方向割集,；,二者,必有一个存在,但,不能同时存在,。,在网络理论中,应用着色边定理及其推论某些结论,是,很简便,的,应用它们进行,某些拓扑条件,的,判别,也,特别方便,。,通俗的说，这个猜想认为，可以绘制一张“万能地图”，指导人们,到达某一目的地，不管他们原来在什么位置,。这个猜想,在,2007,年,9,月,被以色列数学家,Avraham,Trahtman,证明。,路线着色,问题,路线着色,问题是图论中,最著名,的,猜想,之一,路线着色定理,就是说在,满足一定条件,的,有向图,中，这样的,着色方式一定存在,。,图例中,将,16,条边着色,，那么不管你从哪里出发，按照“,蓝红红蓝红红蓝红红,”的路线走,9,步，你最后,一定达到黄色顶点。,严格的数学描述如下。首先来定义,同步着色,。,G,是一个,有限有向图,并且,G,的,每个顶点的出度都是,k,。,G,的一个同步着色满足以下两个条件：,1)G,的,每个顶点,有且,只有一条,出边被染成了,1,到,k,之间的某种颜色；,2)G,的,每个顶点,都,对应一种走法,，不管你从哪里出发，按该走法走，,最后,都,结束,在,该顶点,。,最小割集,电力,系统的可靠性,是电力系统规划和运行的重要内容,是当今,电力学术界的研究热点,。基于,最小割集的可靠性评估,，可以考虑了系统运行的实际情况,例如,引起负荷点停电事件割集,负荷点供电的,转移,特性,网络元件的,计划检修,和,主动性故障,等。,基于,故障树最小割集,的可靠性数值仿真。它将故障树分析方法与数值仿真技术相结合,综合了两者的优点,基于故障树的最小割集,进行数值仿真,求解,可维修系统的可靠性指标,成功地实现了算法的通用性,而且还能用于计算,容错系统的任务可靠度。,基于故障树的最小割集来进行数值仿真,消除了传统仿真技术的弊端,提供了一种,可维修系统可靠性分析的通用方法。,最小割集,是这样一些,底事件的集合,当,割集中底事件全发生,时,故障树的顶事件就发生,且去掉集合中任一底事件,集合将不再是割集。根据以上定义可知,只要有一个割集发生,故障树的顶事件就发生,系统就失效,。,故障树的结构函数,可表示,为 。只要故障树顶事件发生,则至少有一个最小割集发生。,最先发生的最小割集就是导致系统失效的最小割集,。直接对故障树顶事件的发生时间进行抽样和对,抽取最先发生的最小割集的意义是一样,的,而,最小割集又可以表示成为极易进行数学处理的数组形式,这样基于故障树的最小割集,可以,用通用的数字逻辑来模拟系统的运行状态,从而编制通用的仿真程序。,主要,的网络（电路）和元件的,性质,集中和,分布,性,线性和,非线,性,时变和,非时变,性,无源和,有源,性,互易,和,非互易,性,看几道,例题,！,例,1,试说明,受控源,是有源元件。,解 以,VCVS,为例,说明，其它受控源可作,类似,讨论,。,将,VCVS,的,控制支路,加一,电压源,，受控支路接一,正值电阻,。,故,VCVS,是,有源,元件。,t,时刻受控源,吸收,的功率为,例,2,已知一,双口电阻,元件的伏安关系为,式中,R,1,和,R,2,均为正值。试求该元件为无源元件的条件。,解 该元件吸收的功率为,当 时，,R,是对称正定的，,p(t)0,，,该,双口电阻,元件,是无源的,。,重排二次型,例,3,证明仅由,无源,元件,组成,的多口网络是,无源,的，并且这只是,一个充分条件,。（无源封闭性）,设多口网络由个,无源元件组成,，这些元件可以是,二端,的，也可以是,多端,的。令,u,k,，,i,k,表示,第,k,个,元件的,容许信号,偶,(,k,1,，,2,，,，,l,),，,则对于网络内部的,容许,信号偶,u,b,，,i,b,，有,证明,由于,元件,是,无源,的，对于所有,k,，,都有,特勒根定理的,多,端,口形式,而,t,时刻,多口,网络,吸收,的功率为,到,t,时刻,多口,网络,吸收,的能量,为,这表明,该多口,是,无源,的。这种特性称为,封闭性,。,+,+,r,1,r,2,例,4,试判断图示电路,取值对网络,有无源性,的影响。,解：列出相应的电路方程,注意：由,Z,阵可知该网络,为非互易,双口网络，在判断网络的有源性时,要重排二次型！,例,5,设,双口电感,元件的电感矩阵为,证明该元件是,无源元件,的充分必要条件是,对称正定,。,双口,电感元件的伏安关系为,证明：,1,必要性,的证明,该元件在,时刻,t,吸收的,能量,为,（,1,）先说明 件是,有源,的。,则,可得,取,假定,电流是任意的,，,应有,要使,（,2,）当 时,这表明,当 时，双口电感元件是有源元件。因此，元件,无源时,，,L,为,对称,矩阵。,必要性,2,充分性,的证明,因,L,对称,正定,，所以,W(t)0,，,并且只有在,i,=0,时，,W,(,t,)=0.,因此，,L,为对称,正定,矩阵时，该双口电感元件一定为无源元件。,例,6,证明仅由,互易元件,组成的多口网络一定是互易封闭性的；但,互易,多口网络,可含有非互易,元件。,设 和 是多口网络端口的任意两组容许信号偶，相应的,两组内部支路,容许信号偶为 和 。设多口网络,由,l,个元件,组成，每个元件相应的容许信号偶为 和,(,k=,1,2,l,),，,则由,特勒根定理,得,由于,所有,元件都是,互易,的，所以，对于所有,k,因此,根据定义，该,多口,网络是,互易的,。,则该网络为,线性（,互易,）一端口,网络,+,_,u,i,i,1,i,2,R,R,图示电路含有,非线性,（,非互易,元件）但仍为,线性（互易）一端口,网路。,列出相应的,KCL,和,KVL,方程,设二极管,D,的模型为,正向电阻,和,反向电阻,，它们都是常数。,M,kj,I,k,I,j,+,+,U,k,U,j,-,+,-,+,+,+,M,kj,互感,元件的受控源等效电路,+,U,S5,R,5,R,1,L,2,L,3,C,4,I,S1,M,对图示含互感电路求出互感支路,支路阻抗阵,1,2,3,4,5,求出,支路导纳阵,Y=Z,-1,该网络,是,互易,的！,例,7,试推证用混合参数表示的,n,端口网络,互易性,的,条件,。,证：,设：,n,端口网络,不存在独立源，,H,（,S,）则有,由网络,互易性,定义，有,把混合参数代入上式，得,把混合参数代入上式，得,由于,的任意性,必有,即,或,证明方法（二）,设：,n,端口网络,不存在独立源，,Y,（,S,）（或（,Z,（,S,）则有,即,Y,（,s,）为对称阵。,同理可证,Z,（,s,）也为对称阵。,T,（,s,）参数的证明！,例,8,试推证用传输（,T,（,s,）,）参数表示的,n,端口网络,互易性,的,条件,。,设：,n,端口网络,不存在独立源，,T,（,S,）则有,把传输参数代入上式，得,Z,（,s,）、,Y,（,s,）参数的证明！,例,9,试推证用,Z,（,s,）、,Y,（,s,）参数表示的,n,端口网络,互易性,的,条件,。,设：,n,端口网络,不存在独立源，,Z,（,S,）（或,Y,（,S,）,则有,即,Z,（,s,）为对称阵,同理可证,Y,（,s,）也为对称阵。,例,10,试判别下列,零状态（,?!,）,系统是否为,线性,系统是，是否为,时不变,系统。,解,：（,1,）,二式,相加,得：,也是,容许偶,该系统为,线性,系统,。,解,：（,1,）,比较两式,可知,该系统为,时变,系统。,不,是,容许偶,解,：（,2,）,二式,相加,得,该系统为,线性,系统。,也是,容许偶,解,：（,2,）,比较两式可知,该系统为,时不变,系统。,也,是,容许偶,解,：（,3,）,该系统为,非线性,系统。,不,是,容许偶,解,：（,3,）,该系统为,时不变,系统。,也,是,容许偶,本章内容到此,结束,！,