三角函数的图象变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角函数的图象变换,小结与复习,1、角的概念推广,角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，逆时针方向旋转形成的角叫做正角，顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没有作任何旋转认为形成零角。,2、象限角与终边在坐标轴上的角,角的顶点与坐标原点重合，角的始边在,x,轴正半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。,3、终边相同的角的表示方法,5,、弧度制,角的集合与实数集之间存在着一一对应的关系,一、选择题,1、下列命题正确的是 （）,（,A）,第一象限角必是锐角（,B）,小于90的角是锐角,（,C）,锐角必在第一象限 （,D）,锐角就是第一象限角,2、下列各命题：,（1）相等的角终边一定相同,（2）终边相同的角一定相等,（3）第二象限角大于第一象限角,（4）0,180，则,必是第一或第二象限角,其中正确的有（）,（,A）0,个 （,B）1,个 （,C）2,个 （,D）3,个,16 已知四边形的四个内角之比是1:3:5:6，分别用角度制和弧度制表示这些内角。,18、一扇形的周长为20,cm，,扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是多少？,19、试填写下列表格（以、分别表示第一，二，三，四象限）,1、任意角的三角函数的定义,说明：(1)一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，而与,P,点在终边上的位置无关；,(2)正弦、余弦、正切、余切、正割，余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数；,(3)引进弧度制以后，角的集合与实数集之间建立起一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,2、任意角的三角函数的定义域,3、三角函数线,设任意角,的顶点在原点，始边与,x,轴的非负轴重合，终边与单位圆相交于,P，,过,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M；,过点,A(1，0),作单位圆的切线，设它与角,的终边(当,为第一、四象限时)或其反向延长线(当,为第二、三象限角时)相交于点,T；,过点,B(0，1),作单位圆的切线，设它与角,的终边(当,为第一、二象限角时)或其反向延长线(当,为第三、四象限角时)相交于点,S。,则有,sin=MP，,cos,=OM，tan=AT，,cot=BS，,则我们分别,把有向线段,MP、OM、,AT、BS,叫做,角的正弦线、,余弦线、正切线、余切线。,4、,为象限角时，三角函数值的符号,由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知各三角函数值的符号。,5、,k360+(kz),的一组诱导公式一,由三角函数的定义可知，终边相同的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一),sin(+k360)=sin,cos,(+k360)=,cos,tan(+k360)=tan,cot(+k360)=cot sec(+k360)=sec,csc,(+k360)=,csc,(,其中,kz),6、特殊角的三角函数值,一、选择题,三、解答题,1、同角三角函数的基本关系式,2、同角三角函数间的八大关系式主要用于,（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。,（2）化简三角函数式,（3）证明三角恒等式,3、几个要注意的问题,（,1）用平方关系式时，要根据,的范围来确定函数值的符号时，通常分区间(或象限)讨论；用字母表示三角函数值时，不可忽视对字母的取值范围的讨论。如,tg,=m,特别要注意,m=0，,即,的终边与,x,轴重合的情形；注意寻求最佳途径，优化解题过程。,（2）化简三角函数式时，若不能直接用公式得出简单结果，一般将式中的“切”、“割”化为“弦”；同时还要注意公式的逆向应用，以及在变换过程中，尽量避免正负号的出现。,（3）利用基本关系式进行三角变换时，应注意运用原有的代数变换（如平方、开方、分式化简等）与基本关系式的联系。,（4）注意同角三角函数关系式成立的条件。,1、单位圆是三角学中一个极为重要的工具，通过单位圆研究许多三角问题，则比较具体、直观、简便。诱导公式、两角和的余弦公式的推导就是例子，我们应该予以重视。,2、五组同名三角函数的诱导公式：,公式一：,sin(+k360)=sin,cos,(+k360)=,cos,tan(+k360)=tan,cot(+k360)=cot,sec(+k360)=sec,csc,(+k360)=,csc,(,其中,kz),公式二：,sin(180+)=-sin,cos,(180+)=-,cos,tan(180+)=tan,cot(180+)=cot,sec(180+)=-sec,csc,(180+)=-,csc,公式三：,sin(-)=-sin,cos,(-)=,cos,tan(-)=-tan,cot(-)=-cot,sec(-)=sec,csc,(-)=-,csc,公式四：,sin(180-)=sin,cos,(180-)=-,cos,tan(180-)=-tan,cot(180-)=-cot,sec(180-)=-sec,csc,(180-)=,csc,公式五：,sin(360-)=-sin,cos,(360-)=,cos,tan(360-)=-tan,cot(360-)=-cot,sec(360-)=sec,csc,(360-)=-,csc,公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式，可用：“函数名不变，符号看象限”来概括记忆，即,+k360(kz)，-，180，360-,的三角函数值，等于,的同名函数值，前面加上一个把,看作锐角时原函数值的符号。,3、诱导公式的主要作用是将任意三角函数化成锐角三角函数，从而求出它的值来，解题步骤归纳为口诀：“负化正，大变小，化成锐角再查表。”即把负角的三角函数化为正角的三角函数，把任意正角的三角函数化为0360间的角的三角函数；再进一步化为090间的三间函数后查表求值。,5、两角和的余弦公式是全章公式,的基石，只有掌握利用单位圆和解,析法推导,C,+,的原理与过程，才能,理解、牢记、熟练应用，进而掌握,公式,C,(-),，S,(+),，S,(-),，T,(+),，,T,(-),，,对公式，既要会“正用”，,又要会“逆用”、“变用”，例如：,tantan=tan()(1 tantan,),等。,5、周期函数、最小正周期,一般地，对于函数,f(x)，,如果存在一个非零常数,T，,使得当,x,取定域内的每一个值时，都有,f(x+T)=f(x)，,那么函数,f(x),就叫做周期函数非零常数,T,叫做这个函数的周期。,对于一个周期函数,f(x)，,如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做,f(x),的最小正周期,7、余弦函数,y=,cosx,的性质,定义域：,R,值域：-1，1，最大值为1，最小值为-1，周期,T=2，y=,cosx,是偶函数，单调增区间2,k-，2k(kz),单调减区间为2,k，2k+(kz),10、,y=sin,2,x,是（）,A、,最小正周期为2,的偶函数,B、,最小正周期为2,的奇函数,C、,最小正周期为,的偶函数,D、,最小正周期为,的奇函数,二、填空题,1、已知任意一个角(角必须属于所涉及的三角函数的定义域)可以求出它的三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。,2、已知角的某个三角函数值求角的步骤如下,：,（1）找出与函数值的绝对值对应的锐角,（2）,根据所给值的符号，判断角,所在的象限，求得0，2,),范围内的角,，,即如果适合条件的角在第二象限，,=180-,1,；,如果在第三象限，,=180+,1,；,如果在第四象限，,=360-,1,。,（3）,将以上求得的角,各边上2,k，,即用终边相同的角的表示式写出所有适合条件的角。,3、同名三角函数值相等的两个角有如下关系：,小结与复习(3),例1.已知 ,且 ,则 等于(),A B,C D,例,2.在 上满足 的 的取值范围是 .,例,3.已知函数:,在同一周期内,当 时取得最大 值,当 时取得最小值 ,求函数解析式.,例,4.已知函数:,(1)当函数 取最大值时,求自变量 的集合;,(2)该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到.,例,1.,化简,:,例,2.,已知,求 的值,.,例,3.,已知函数,的图象在 轴右侧的第一个最高点,(,函数取得第一个最大值的点,),为,与 轴在原点右侧的第一个交点为,求这个函数的解析式,.,