大学数学高数微积分线性方程组课件课堂讲义.pptx

主要内容线性方程组的向量表示形式线性方程组的向量表示形式线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理第五节 一般线性方程组的解法一般线性方程组的解法线性方程组有解判别定理线性方程组的求解步骤线性方程组的求解步骤在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件.设线性方程组为一、线性方程组的向量表示形式引入向量于是线性方程组(1)可以改写成向量方程x x1 1 1 1+x x2 2 2 2+x xn n n n =.(3)显然，线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量向量 可以表示成向量组可以表示成向量组 1 1,2 2,n n 的线性组的线性组合合.用秩的概念，这个条件可以叙述如下：二、线性方程组有解判别定理定理 7 线性方程组线性方程组 (1)(1)有解的充分必要条件有解的充分必要条件为它的系数矩阵为它的系数矩阵与增广矩阵与增广矩阵有相同的秩有相同的秩.证明先证必要性必要性.设线性方程组(1)有解,就是说，可以经向量组 1,2,n 线性表出.由此立即推出，向量组1,2,n 与1,2,n,等价，因而有相同的秩.这两个向量组分别是矩阵 A 与A的列向量组.A因此，矩阵 A 与有相同的秩.再证充分性充分性.A设矩阵 A 与有相同的秩，就是说，它们的列向量组1,2,n 与1,2,n,有相同的秩，令它们的秩为 r.1,2,n中的极大线性无关组是由 r 个向量组成，无妨设1,2,r 是它的一个级大线性无关组.显然1,2,r 也是 1,2,r,的一个级大线性无关组，因此向量 可以经 1,2,r 线性 表出，它当然可以经1,2,n 线性表出.因此，方程组(1)有解.证毕三、一般线性方程组的解法根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的一个解法.这个解法有时在理论上是有用的.设线性方程组(1)有解，矩阵 A 与A的秩都等于 r，而 D 是矩阵 A 的一个不为零的 r 级子式A(当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设 D 位于 A 的左上角.显然，在这种情况下，A的前 r 行就是一个极大线性无关组，第 r+1,s 行都可以经它们线性表出.因此，方程组(1)与同解.当 r=n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一 解，也就是方程组(1)有唯一解.当 r n 时，将方程组(4)改写为方程组(5)作为以 x1,x2 ,xr 为变量的一个方程组，它的系数行列式 D 0.由克拉默法则，对于xr+1,xn 的任意一组值，方程组(5)，也就是方程组(1)，都有唯一解.xr+1,xn 就是方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出 x1,x2 ,xr：(6)就是方程组(1)的一般解.上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以下步骤：例 1 解线性方程解首先我们来判别方程组是否有解.把方程组的增广矩阵化为行阶梯形初等行变换初等行变换因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2，所以方程组有解.它的一个同解方程组是把 x1,x5 取作非自由未知量，x2,x3,x4 当作自由未知量，并把方程组变形成解之得方程组的一般解为本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.