2025年大学第四学年（微分方程）方程求解能力测试试题及答案.doc

2025年大学第四学年（微分方程）方程求解能力测试试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
（总共6题，每题5分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内）
1. 已知微分方程$y'' + 3y' + 2y = 0$，其特征方程为（ ）
A. $r^2 + 3r + 2 = 0$ B. $r^2 - 3r + 2 = 0$ C. $r^2 + 3r - 2 = 0$ D. $r^2 - 3r - 2 = 0$
2. 对于微分方程$y' = 2xy$，其通解为（ ）
A. $y = Ce^{x^2}$ B. $y = Cx^2$ C. $y = C + e^{x^2}$ D. $y = C - e^{x^2}$
3. 微分方程$y'' - 4y' + 4y = 0$的一个特解形式为（ ）
A. $y = e^{2x}$ B. $y = xe^{2x}$ C. $y = x^2e^{2x}$ D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
4. 已知微分方程$y' + y = e^{-x}$，利用常数变易法求特解时，设$y = u(x)e^{-x}$，则$u'(x)$等于（ ）
A. $e^{-x}$ B. $1$ C. $e^x$ D. $-1$
5. 微分方程$x^2y'' - 2xy' + 2y = 0$是（ ）
A. 齐次方程 B. 非齐次方程 C. 一阶线性方程 D. 二阶常系数线性方程
6. 对于微分方程$y'' + 4y = \sin2x$，其特解形式设为（ ）
A. $y = A\sin2x$ B. $y = A\cos2x + B\sin2x$ C. $y = x(A\cos2x + B\sin2x)$ D. $y = Ae^{2x}\sin2x$

第II卷（非选择题 共70分）
7. （10分）求解微分方程$y' = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$。
8. （15分）求微分方程$y'' - 5y' + 6y = 2e^x$的通解。
9. （15分）已知微分方程$(x^2 + 1)y'' - 2xy' + 2y = 0$，验证$y = x$是它的一个解，并求其通解。
10. （15分）设曲线$y = y(x)$在点$(x,y)$处的切线斜率等于该点横坐标的平方与纵坐标的乘积，且曲线过点$(0,1)$，求曲线方程。
11. （15分）一质量为m的物体在空气中由静止开始下落，如果空气阻力R与物体下落速度v成正比，比例系数为k，求物体下落速度与时间的函数关系。阻力公式为$R = kv$，运动方程为$m\frac{dv}{dt} = mg - kv$。

答案：
1. A
2. A
3. B
4. B
5. A
6. C
7. 令$u = \frac{y}{x}$，则$y = xu$，$y' = u + xu'$，原方程化为$u + xu' = u + \tan u$，即$xu' = \tan u$，分离变量得$\frac{du}{\tan u} = \frac{dx}{x}$，两边积分得$\ln|\sin u| = \ln|x| + C$，即$\sin\frac{y}{x} = Cx$。
8. 先求对应齐次方程$y'' - 5y' + 6y = 0$的通解，特征方程为$r^2 - 5r + 6 = 0$，解得$r_1 = 2$，$r_2 = 3$，齐次通解为$Y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$。设非齐次特解为$y^ = Ae^x$，代入方程得$Ae^x - 5Ae^x + 6Ae^x = 2e^x$解得$A = 1$，通解为$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x} + e^x$。
9. 把$y = x$代入方程左边得$(x^2 + 1) - 2x + 2x = x^2 + 1$，所以$y = x$是解。设另一个解为$y = xu$，$y' = u + xu'$，$y'' = 2u' + xu''$，代入方程化简得$(x^2 + 1)(2u' + xu'') - 2x(u + xu') + 2xu = 0$，即$(x^2 + 1)xu'' + 2u' = 0$，令$p = u'$，则$(x^2 + 1)xp' + 2p = 0$，分离变量积分得$p = \frac{C_1}{x^2 + 1}$，再积分得$u = C_1\arctan x + C_2$，通解为$y = C_1x\arctan x + C_2x + x$。
10. 由题意得$y' = x^2y$，分离变量得$\frac{dy}{y} = x^2dx$，两边积分得$\ln|y| = \frac{1}{3}x^3 + C$，因为过点$(0,1)$，代入得$C = 0$，所以曲线方程为$y = e^{\frac{1}{3}x^3}$。
11. 由$m\frac{dv}{dt} = mg - kv$，分离变量得$\frac{dv}{mg - kv} = \frac{dt}{m}$，两边积分得$-\frac{1}{k}\ln|mg - kv| = \frac{t}{m} + C$，因为$v(0) = 0$，代入得$C = -\frac{1}{k}\ln mg$，所以$v = \frac{mg}{k}(1 - e^{-\frac{k}{m}t})$。