曲线曲面投影方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 曲线与曲面,1）点在空间作连续变换方向的运动轨迹,1,曲线概述,1.1 曲线的形成,曲线的形成一般有下列三种方式：,2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线,3）平面与曲面或两曲面相交的交线,必须指出,：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。,1.2 曲线的分类,1、按,点的运动有无,规律，曲线可分为,规则曲线,（如圆锥曲线、螺旋线等）和,不规则曲线,。,2、按,曲线上点的分布,可分为两类：,1）,平面曲线,曲线上所有点都在同一平面上，如二次曲线、渐伸线等；,2）,空间曲线,曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。,1.3,曲线的投影,一般情况下，曲线至少需要,两个投影,才能确定出它在空间的形状和位置。,按照曲线,形成的方法,，,依次求出,曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影,顺次光滑连接,即得该曲线的投影。,为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上,特殊点,（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来,、,D,、,G,均为特殊点,B,和,F,为对,H,面重影点,E,为一般点,曲线的投影的基本性质,1,）曲线的投影,一般仍为曲线,，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面,垂直于投影面,时，曲线投影为直线,2,）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的,从属关系,为曲线投影的,不变性,3,）代数曲线的投影，其,次数不变,。如二次曲线的投影仍为二次曲线,4,）曲线切线的投影仍为其投影的切线,圆的投影,圆是最简单的平面曲线,根据,圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：,2.1,圆所在平面为投影面平行面,2.2,圆所在平面为投影面垂直面,2.3,圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径,2.1,圆所在平面为投影面平行面,2.2,圆所在平面为投影面垂直面,当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。,2.3,圆所在平面为一般位置平面,当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。,椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影,短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影,方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小,方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴,曲面概述,3.1 曲面的形成,曲面,可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合,如图所示曲面，,是由,AA,沿着,曲线,ABC,运动且在运动中始终平行于,直线,MN,所形成的,AA,称为母线,母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的,母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线,控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素,母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为,规则曲面,母线作不规则运动所形成的曲面称为,不规则曲面,同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用,最简单的母线,来描述曲面的形成,3.2,曲面的投影,只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为,母线,和,导元素,给定后，形成的曲面将唯一确定。,曲面的轮廓线,就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线,当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为,界限素线,曲面的轮廓线,对不同投影面各不相同。,如图所示，投射柱面与曲面的切线,T,称为曲面对,H,面的,轮廓线,，为曲面轮廓线的,H,投影。,3.3,曲面的分类,根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：,按,母线的形状,分类，曲面可分为,直线面,和,曲线面,；,按,母线的运动方式,分类，曲面可分为,移动面,和,回转面,；,按,母线在运动中是否变化,分类，曲面可分为,定母线面,和,变母线面,；,按,母线运动是否有规律,来分类，曲面可分为,规则曲面,和,不规则曲面,；,按,曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来,分类，则可分为,可展曲面,和,不可展曲面,。,4直线面,4.1,可展直线面,4.1.1,柱面,一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为,柱面,。,柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是,可展曲面,。,作图时，一般应画出,导线,和,曲面的轮廓线,，必要时还要画出,若干素线,及其,曲面的,H,面迹线,直圆柱面,a,a,a,几种柱面,直圆柱面 斜圆柱面 直椭圆柱面 斜椭圆柱面,4.1.2,锥面,一直母线沿曲导线运动且,始终通过一定点,（锥顶）而形成的曲面称为,锥面,。,锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是,可展曲面,。,作图时，一般只画出,锥顶,、,导线,和,曲面的轮廓线,，必要时还要画出,若干素线,及,曲面的,H,面迹线,正圆锥面,s,s,k,s,k,k,过锥顶作一条素线。,正圆锥面 斜圆锥面 正椭圆锥面 斜椭圆锥面,4.1.3,切线面,一直母线在运动过程中,始终与一空间曲导线相切,而形成的曲面称为,切线曲面,切线曲面是,可展直线面,渐开线螺旋面,在作投影图时，首先应画出其导线圆柱螺旋线的投影（画法详见），然后沿导线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，即可求出,H,投影面迹线，在,V,面投影上应保留轮廓线的投影。,4.2,不可展直线面,4.2.1,柱状面,一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了,柱状面,柱状面是,不可展曲面,4.2.2,锥状面,一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了,锥状面,锥状面是,不可展曲面,4.2.3,双曲抛物,一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了,双曲抛物面,双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有,两个导平面,。这两个导平面的交线（,OZ,轴）即为该曲面的,轴线,。若两个导平面相互垂直，则称为,正双曲抛物面,，否则称为,斜双曲抛物面,。,双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是,不可展曲面,正双曲抛物面,斜双曲抛物面,5,回转曲面,母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称,为,回转曲面,固定轴称为,回转轴,在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为,纬线圆,。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直,在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为,喉圆,，比相邻两侧都大的纬线圆称为,赤道圆,。,画回转曲面的投影图时，通常使其轴线垂直于某一投影面，以便简化作图,由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：,直线回转面,曲线回转面,组合回转面,5.1,直线回转面,5.1.1,圆柱面,中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。,若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成,圆柱体,。,圆柱面上求点,a,a,a,5.1.2,圆锥面,中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。,若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成,圆锥体,。,圆锥面上求点有两种方法：,素线法,（介绍）,纬线圆法,纬线圆法,s,s,(,n,),s,n,(,n,),5.1.3 单叶双曲回转面,一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一,单叶双曲回转面,单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线，所以是,不可展曲面,5.2,曲线回转面,曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面,均为,不可展曲面,5.2.1,球面,一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成,球面,球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投影，可直接求得另外两个投影。,5.2.2 圆环面,一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成,圆环面,5.2.3 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面,以组合线段(包括曲线和直线)为母线，绕一轴线作回转运动，即形成,组合回转面,5.3,组合回转面,6,螺旋线和螺旋面,6.1,螺旋线,6.1.1,圆柱螺旋线,一点沿圆柱面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为,圆柱螺旋线,圆柱螺旋线的三要素,1：圆柱的直径,2：导程,P,h,：,当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程,旋向：分为,右旋,、,左旋,两种,右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（,a),可见部分右边高；,左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上(,b),可见部分左边高,作图步骤,6.1.2 圆锥螺旋线,一点沿圆锥面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆锥面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为,圆锥螺旋线,6.2,螺旋面,一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形成,螺旋面,6.2.1,正螺旋面,一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线垂直相交，即形成,正螺旋面,正螺旋面是锥状面,为,不可展曲面,。,6.2.2,斜螺旋面,一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线斜交成一定角，即形成,斜螺旋面,。,斜螺旋面也是,锥状面,，为,不可展曲面,。,7,曲面的切平面,7.1 概述,曲面在某一点的,切平面,就是过该点所有曲线的切线集合,过曲面的切点，且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的,法线,根据相交两直线决定一平面的几何原理可知，只要作出过一个点的两条曲线的切线，即可唯一确定过该点的切平面,曲面的切平面,直线面的切平面图,圆环面的切平面,7.2 球面的切平面,方法一：,切线法：过点,A,作两条平面曲线（圆），为方便，使其分别平行于,H,、,V,投影面，并分别作出两圆的切线，则该两条切线所确定的平面即为所求,方法二：,法线法：由于球面上每一点的法线都沿着半径方向，因此过点,A,的切平面必垂直于半径。根据直角定理，过点作水平线和正平线垂直于半径，则该两条切线所确定的平面即为所求,7.3.1,过圆锥面上一点,A,作圆锥面的切平面,7.3 圆锥的切平面,圆锥面是直线面，其切平面一定包含一条过点,A,的直素线,SA,，,因此只要过点,A,再在锥面上取一曲线（圆），并作该曲线的切线,CA,，,即可得到确定切平面的两条直线。,由于圆锥的切平面必过圆锥顶点，故过点,A,的切平面可由一条过点,A,及锥顶,S,的直线和一条与圆锥底圆相切的直线所组成。过面外一点,A,可在两个方向上作圆锥的切平面，所以本题有两个解。,7.3.2,过圆锥面外一点,A,作圆锥面的切平面,7.4 柱面的切平面,由于柱面的切平面一定包含该柱面的一条素线，只要过点,A,再作一条切线即可确定切平面。,作图步骤如下：,1,）过点,A,取素线,AM,交底圆于（，）；,2,）过,M,作底圆的切线,MB,，,作其投影及;,3,）,AM,与,MB,所确定的平面即为所求切平面。,由于柱面的切平面一定包含柱面的一条素线，所以切平面必包含一条平行于素线的直线，故柱面的切平面可由过点,A,且平行于素线的直线和一条与底圆相切的直线确定。本题有两个解。,7.5 应用举例,例,1,过直线,AB,作一平面与,H,面成,角,分析：过定点和,H,面成,角的平面，其轨迹是一个与直圆锥面相切的平面族，该圆锥面的轴线垂直于,H,面，圆锥的底角为,。,因此，可在直线,AB,上任取一点作为圆锥的顶点，作一底角为,的圆锥，再过直线,AB,作该圆锥面的切平面，即为所求平面。,1,）过点（，）作轴线垂直于,H,面的圆锥面，使圆锥底角为,；,2,）求直线,AB,与圆锥底圆所在平面交点,M,（,，）；,3)过点,M,作圆锥底圆的切线,MD,（,，），则平面,BAD,即为所求,.,同理，平面,BAE,为另一所求平面，本题共有两解。,例,2,过点,A,作一平面，使与点,O,的距离为,R,，,且与,H,面成,角,平面,AMD,和平面,AME,分别为所求的两个解,在球面外先作底角为,的外切圆锥，再过点,A,作该圆锥的切平面，则此平面即为所求,