概率论 第一章 第三节.ppt

,第一章第四节,古典概率模型,I,.,什么是古典概率模型,如果试验,E,满足,(1),试验结果只有有限种，,(2),每种结果发生的可能性相同。,则称这样的试验模型为,等可能概率模型,或,古典概率模型,，简称为,等可能概型,或,古典概型,。,II.,古典概率模型中事件概率求法,因,试验,E,的结果只有有限种,即样本点是有限个,:,1,2,n,，其中,S=,1,2,n,，,i,是基本事件，且它们发生的概率都相等。,于是，,有,1=P(S)=,P(,1,2,n,),=P(,1,)+P(,2,)+,+P(,n,),=,nP(,i,),i=1,2,n,。,从而，,P(,i,)=1/n,，,i=1,2,n,。,因此，若事件,A,包含,k,个基本事件，有,P(A)=k,(1/n)=,k/n,。,III.,古典概型的例,例,1,：,掷一颗均匀骰子，,设,:A,表示所掷结果为,“,四点或五点,”,；,B,表示所掷结果为,“,偶数点,”,。,求,:P(A),和,P(B),。,解：,由,n=6,，,k,A,=2,得,P(A)=2/6=1/3,；,再由,k,B,=3,，得,P(B)=3/6=1/2,。,例,2,：,解,:,货架上有外观相同的商品,15,件，其中,12,件来自产地甲,3,件来自地乙。现从,15,件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自同一产地的概率。,从,15,件商品中取出,2,商品,共有,C,2,15,=105,种取法,且每种取法都是等可能的，,故,n=105,。,令,A=,两件商品都来自产地甲,k,A,=C,2,12,=66,B=,两件商品都来自产地乙,k,B,=C,2,3,=3,，,而事件,:,两件商品来自同一产地,=A,B,且,A,与,B,互斥,AB,包含基本事件数,66+3=69,。,故，所求概率,=69/105=23/35,。,例3,：,有外观相同的三极管,6,只,按电流放大系数分类,4,只属甲类,2,只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只,(1).,每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取,下一只,(,放回抽样,);,(2).,每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下,的三极管中再抽取下一只,(,不放回抽样,),。,设,A=,抽到两只甲类三极管,B=,抽到两只同类三极管,C=,至少抽到一只甲类三极管,D=,抽到两只不同类三极管,。,求：,P(A),P(B),P(C),P(D),。,解,:,(1).,由于每次抽测后放回,因此,每次都是在,6,只三极管中抽取。因第一次从,6,只中取一只,共有,6,种可能取法；第二次还是从,6,只中取一只,还是有,6,种可能取法。,故,取两只三极管共有,6,6=36,种可能的取法。从而,n=36,。,注意,:,这种分析方法使用的是中学学过的,乘法原理,因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有,4,种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有,4,种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有,4,4=16,种可能的取法,即,k,A,=16,。故,P(A)=16/36=4/9,；,令,E,=,抽到两只乙类三极管,k,E,=,2,2=4,。故,P(E)=4/36=1/9;,因,C,是,E,的对立事件，故,P(C)=1-P(E)=8/9,；,因,B=A,E,且,A,与,E,互斥,得,P(B)=P(A)+P(E)=5/9,；,D,是,B,的对立事件,得,P(D)=1-P(B)=4/9,。,(2).,由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从,6,只中取一只,共有,6,种可能的取法；第二次是从剩余的,5,只中取一只,有,5,种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有,n=6,5=30,种可能的取法。,由乘法原理,得,k,A,=43=12,P(A)=12/30=2/5;,k,E,=,2,1=2,，,P(E)=2/30=1/15;,由,C,是,E,的对立事件,得,P(C)=1-P(E)=14/15,；,由,B=A,E,且,A,与,E,互斥,得,P(B)=P(A)+P(E)=7/15,；,由,D,是,B,的对立事件,得,P(D)=1-P(B)=8/15,。,教材例,2,解,:,例,4,：,n,个球随机地放入,N(Nn),个盒子中,若盒子的容量无限制。求,“,每个盒子中至多有一球,”,的概率。,因,每个球都可以放入,N,个盒子中的任何一个,故,每个球有,N,种放法。由乘法原理,将,n,个球放入,N,个盒子中共有,N,n,种不同的放法。,每个盒子中至多有一个球的放法,(,由乘法原理得,):N(N-1),(N-n+1)=,A,N,n,种。,故，,P(A)=,A,N,n,/,N,n,。,设每个人在一年,(,按,365,天计,),内每天出生的可能性都相同,现随机地选取,n(n365),个人,则他们生日各不相同的概率为,A,365,n,/365,n,。,于是,n,个人中至少有两人生日相同的概率为,1-A,365,n,/365,n,。,许多问题和上例有相同的数学模型。,例如,(,生日问题,):,某人群有,n,个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：,“,在一个有,64,人的班级里，至少有两人生日相同,”,的概率为,99.7%,。,n,p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,把,n,个物品分成,k,组,使第一组有,n,1,个,第二组有,n,2,个,第,k,组有,n,k,个,且,n=n,1,+n,2,+,+,n,k,。,则,:,不同的分组方法有,公式,种。,解,:,例,5:,某公司生产的,15,件产品中,有,12,件正品,3,件次品。现将它们随机地分装在,3,个箱中,每箱装,5,件，设,:A=,每箱中恰有一件次品,B=,三件次品都在同一箱中,。,求,:P(A),和,P(B),。,15,件产品装入,3,个箱中,每箱装,5,件,共有,种等可能的装法。,故,基本事件总数有,个。,续,:,把三件次品分别装入三个箱中,共有,3!,种装法。这样的每一种装法取定以后,把其余,12,件正品再平均装入,3,个箱中,每箱装,4,件,有,个基本事件。,再由乘法原理,可知装箱总方法数有,即,A,包含,从而，,续,:,把三件次品装入同一箱中,共有,3,种装法,.,这样的每一种装法取定以后,再把其余,12,件正品装入,3,个箱中,(,一箱再装,2,件,另两箱各装,5,件,),又有,个基本事件。故，,由乘法原理，知装箱方法共有,即,B,包含,例,6,设有,N,件产品，其中有,M,件次品，今从中任,取,n,件，问其中恰有,k,(,k,D,),件次品的概率是多少,?,又,在,M,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,在,N-M,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,考虑不放回抽样,:,于是所求的概率为：,此式即为,超几何分布,的概率公式。,由乘法原理知：在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,例,7,某接待站在某一周曾接待过,12,次来访,已知,所有这,12,次接待都是在周二和周四进行的,问是,否可以推断接待时间是有规定的,.,假设接待站的接待时间没有,规定,且各来访者在一周的任一天,中去接待站是等可能的,.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,1,2,3,4,12,7,7,7,7,7,故一周内接待,12,次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的,.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,1,2,3,4,12,2,2,2,2,2,12,次接待都是在周二和周四进行的共有,故,12,次接待都是在周二和周四进行的概率为,例,8,在,12000,的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被,6,整除,又不能被,8,整除的概率是多少,?,设,A,为事件“取到的数能被,6,整除”,B,为事件,“取到的数能被,8,整除”则所求概率为,解,:,于是所,求,概率为,小结,本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率的求法：,若事件,A,包含,k,个基本事件，有,P(A)=k,(1/n)=,k/n,；,最后，给出了几个古典概型中求随机事件概率的应用实例。,