第六章样本及抽样分布1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六章 样本及抽样分布,内容提要,一总体与样本,二,样本分布函数,三统计量,四抽样分布,基本要求,1,理解总体,个体,简单随机样本和统计量的概念。,2,掌握样本均值,样本方差的计算。,3.,了解,x,2,分布,t,分布,F,分布的定义和性质,了解分位点的概,念并会查表计算。,4.,掌握正态总体的样本均值和样本方差的分布。,5.,了解直方图的作法。,本章重点,:,常用统计量的概念及其分布。,6.1,总体与样本,一,.,总体与个体,.,总体,:,被研究的对象的全体,例如：考察某工厂生产的电视机显象管的质量,即考察显象管的,寿命。,其中,总体,:,该厂生产的所有显象管的寿命；,个体,:,每个显象管的寿命。,2,组成总体的各个元素,由于受到人力,物力等的限制,特别是测定显象管的寿命是一,个破坏性试验,即当得知显象管寿命时,该显象管的使用价值也消,失了,于是我们采用从总体中抽取若干个体,由局部了解整体情况。,一般,代表总体的指标,(,如显象管寿命,),是一个随机变量,X,所以总体就是指某个随机变量,X,可能取值的全体。,二样本,1,抽样,:,从总体中抽取若干个体的过程。,2,样本,:,从总体中抽取若干个体,观察得随机变量的一组试验,数据,(,观测值,),样本中所含个体的数量称为样本容量。,从总体中抽取样本,一般假设满足下述条件：,(1),随机性,:,使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到；,(2),独立性,:,每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果,也不受其他各次结果的影响；,3.,简单随机样本：由随机的,独立的抽样方法得到的样本,这种随机的,独立的抽样方法称为简单随机抽样。,注,:,今后凡是提到抽样与样本,都是简单随机抽样与简单随,机样本。,由于从总体中抽取容量为,n,的样本,即是对代表总体的随,机变量,X,随机的,独立的进行,n,次试验,每次试验结果可以看作,一个随机变量,n,次试验结果就是,n,个随机变量,X,1,X,2,X,n,它们相互独立且与总体,X,同分布。,将样本,X,1,X,2,X,n,看作一个,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),则：,当总体,X,是离散型随机变量时,设,则,(,X,1,X,2,X,n,),分布律为：,(2),当总体,X,是连续型随机变量时,且概率密度为,则,(,X,1,X,2,X,n,),概率密度为：,测试题,A,一,.,填空题。,1.,X,1,X,2,X,n,是总体,X,的简单随机样本的条件是,),),。,2.,设,X,1,X,2,X,n,是来自 分布的样本,为未知参数,则,的分布率为,设,n,=10,时样本的一组观测值为,(1,2,4,3,3,4,5,6,4,8),则样本均值为,方差为,。,3.,样本,(,Y,1,Y,2,Y,3,),是来自于正态总体,N,(0,1),又,则的联合概率密度为,。,1.,设,X,1,X,2,X,n,是来自均匀分布总体,U,(,a,b,),的样本,求样本,(,X,1,X,2,X,n,),的联合概率密度。,二,.,计算题。,测试题,B,一填空题。,设随机变量,X,服从正态分布,若,X,1,X,2,X,n,可以看作一组简单随机变量,则它应满足的条件,。,2.,设,X,1,X,2,X,n,是来自,0,1,分布的样本,且,p,为未知参数,则,(,X,1,X,2,X,n,),的分布率为,。,3.,已知样本容量为,8,的一个样本值为,(0,1,0,1,1,0,1,1),则样本的,均值为,_,。,(,其中样本来自于,0,1,分布的总体,且,),二计算题。,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体 的样本,求,样本,X,1,X,2,X,n,的联合概率密度。,),X,1,X,2,X,n,相互独立,),X,1,X,2,X,n,与总体,X,同分布。,测试题,A,答案：,一填空题。,2.,3.,二计算题。,解,:,因为,X,1,X,2,X,n,来自均匀分布总体,U,(,a,b,),则,X,1,X,2,X,n,相互独立,.,所以,测试题,B,答案,:,一填空题。,1),满足,X,1,X,2,X,n,独立且同分布,2),2.,3.5/8,二计算题。,解,:,因为,X,1,X,2,X,n,来自均匀分布总体,则,X,1,X,2,X,n,相互独立,.,且,所以,观测值,x,(1),X,(2),X,(,l,),总计,频数,n,1,n,2,n,l,频率,f,1,f,2,f,l,6.2,样本分布函数与直方图,一,.,样本分布函数,从总体中抽取容量为,n,的样本,得到,n,个观测值,当,n,较大时,相同的观测值可能重复出现若干次,整理后得到样本频率分布表,:,1,总体分布函数,:,总体,X,的分布函数,其中：,2,样本分布函数,定义,:,设函数,则称 为样本分布函数或经验分布函数。,其中 是对小于或等于 的一切 的频率 求和。,3.,样本分布函数的性质,(1),(2),是非减函数,(3),在每个观测值 处是右连续的,点 是,的跳跃间断点,在点 的跃度就是频率,样本分布函数 的图形如下：,对于任意实数,x,由样本分布函数定义知,表示事件,的频率,由伯努利大数定理知,当 时,对于,有,二,.,直方图,当总体,X,是连续型随机变量时,可用直方图来处理数据,即,作出样本的频率直方图。,找出样本观测值,x,1,x,2,x,n,中的最小值与最大值,分别,记为 与,.,即,步骤：,(2),适当选取略小于 的数,a,与略大于 的数,b,得到适当的,作图区间,a,b,并在区间,a,b,中插入分点,则得到子区间,以,n,i,表示落入第,i,个小区间 内样本观测值的频数,为频率,.,在直角坐标系内,以各个小区间为底,以 为高作小,矩形,即使各个小矩形的面积 等于样本观测值落在该,子区间内的频率,.,所有小矩形的面积之和为,1,。,通常如此步骤作出的所有小矩形就构成了直方图。,注意：,(1),各个区间长度可以相等,也可以不等。,(2),由大数定理知,当样本容量,n,充分大时,毛坯重量,185,187,192,195,200,202,205,206,频数,1,1,1,1,1,2,1,1,毛坯重量,207,208,210,214,215,216,218,227,频数,2,1,1,1,2,1,2,1,并按区间,183.5,192.5),219.5,228.5),分成,5,组,列出毛坯,重量的频率分布表,并作直方图。,解：我们把数据的分布区间确定为,183.5,228.5,并等分为,5,个子区间,:183.5,192.5),192.5,201.5),201.5,210.5),210.5,219.5),219.5,228.5),。,例,1.,测得,20,个毛坯重量,(,单位,:g),列成简单表如下：,毛坯重量,频数,频率,183.5,192.5),3,0.15,192.5,201.5),2,0.1,201.5,210.5),8,0.4,210.5,219.5),6,0.3,219.5,228.5),1,0.05,总计,20,1,由此得到毛坯重量的频率分布表如下：,直方图如下：,6.3,统计量,一统计量,定义,:,设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的一个样本,若样本函,数,g,(,X,1,X,2,X,n,),中不含任何未知量,则称这类样本函数,为统计量。,注：,统计量是完全由样本确定的量,是样本的函数。,例如：,其中 已知,未知,.,为总体的一个样本,则 是一个统计量,不是统计量。,2,常用统计量及其观测值,(1),样本均值,:,观测值为,:,(2),样本方差,:,观测值为,:,(3),样本标准差,:,观测值为,:,(4),样本,k,阶原点矩,:,其观测值为,:,(5),样本,k,阶中心矩,:,其观测值为,:,显然,样本一阶中心矩恒等于零。,例,1.,已知,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的一组样本,且总体,X,的,k,阶矩 存在,记为,试证,:,证明,:,由于,X,1,X,2,X,n,独立且与,X,同分布,所以,X,1,k,X,2,k,X,n,k,独立且与,X,k,同分布,.,于是,由辛钦大数定理知,:,对于,有,即,:,证毕。,由例,1,结论及依概率收敛的序列的性质知,:,对于连续函,数,g,有,此为下章矩估计法的理论依据。,例,2.,设 及 为两个样本观察值,它们有,如下关系,:,a,b,为常数,求样本,平均值 与,样本方差 与 之间的关系。,解,:,由,得,又,即,:,又,例,3.,若样本观测值 的频数分别为,试写出计算样本均值 与样本方差 的公式,其中,若写出样本二阶中心矩,显见当充分,大时，和 是近似相等的。,解,:,测试题,A,设 是来自总体的样本,则有,(),。,(A)(B),(C)(D),都不对,2.,设 是来自总体 的样本,其中,为未,知参数,问下列诸量哪个是统计量,哪个不是统计量,?,(1)(2)(3),(4)(5),3.,已知样本观测值为,:15.8,24.2,14.5,17.4,13.2,20.8,17.9,19.1,21.0,18.5,16.4,22.6;,计算样本均值,样本方差及样本二,阶中心矩的观测值。,测试题,B,设 取自总体,X,的样本,为已知,为未知,则下列随机变量中不是统计量,(),。,(A)(B),(C)(D),2.,设,(-2,-1,3,3,4),是容量为,5,的一个样本观测值,试求经验分,布函数,3.,设从总体中抽取两组样本,其样本容量分别为,n,1,和,n,2,设两,组的样本均值分别为 和,样本方差分别为 和,把,两组样本合并成一组容量为 的联合样本。,证明,:(1),联合样本的样本均值为,:,(2),联合样本的方差,测试题,A,答案,D,统计量,:(3)(5);,非统计量,:(1)(2)(4),3,解,:,即其观测值,测试题,B,答案,1.C,2.,解,:,3.,证明,:,设两组样本为,:,则,合并后的样本均值为,:,样本方差：,6.4,抽样分布,统计量是样本的函数,它也是一个随机变量。,统计量的分布称为抽样分布。,一,.,三个重要分布,1.,x,2,分布,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,N,(0,1),的样本,则称统,计量 服从自由度为,n,的,x,2,分布,记为,。,此处自由度指 包含的独立变量的个数。,(1),分布的概率密度为,:,f,(,y,),图形如下所示,:,y,12,n,=4,n,=2,n,=6,7,n,=11,6,5,4,3,2,1,0,0.40,0.30,0.20,0.10,n,=1,10,11,9,8,13,14,f,(,y,),(2),x,2,分布的性质,(),设,且 相互独立，,则,证略,.,此结论推广为,:,设,且相互独立,则,(),设,则,证明,:,由于,则,所以,而,又,因为 相互独立,所以 也相互独立，,于是,(3),分布的分位点,定义,:,设有分布函数,F,(,x,),对于给定的,若有,则称点 为,F,(,x,),的上分位点。,当,F,(,x,),有密度函数,f,(,x,),时,于是得,x,2,(,n,),分布的上分位点为,:,对于 称满足条件,的点 为分布 的上,分位点。,对于不同的,n,上 分位点可查表得。,当,n,充分大时,近似有,是标准正态分布的上 分位点。,表中列出了,n,=45,内的上 分位点的值,n,45,时,x,2,(,n,),分布的,上 分位点的近似值由上式决定。,例如,:,若,则,若,则,2.,t,分布,设,且,X,Y,相互独立,则称随机变,量 服从自由度为,n,的,t,分布,记为,(1),t,(,n,),分布的概率密度为：,h,(,t,),图形如下图所示：,-2,-1,0,-3,1,-4,3,2,4,9,2,2.5,n,显见,h,(,t,),的图形关于,t,=0,对称,当,n,充分大时,其图形类似,于标准正态分布的概率密度的图形,事实上,当,n,足够大时,t,分布近似于,N,(0,1),分布,.,即,:,(2),t,分布的分位点,对于给定的,称满足条件,的点 为,t,(,n,),分布的上 分位点,.,如下图：,0,显见,t,分布的上 分位点可由附表,3,查得,当,n,45,时,有,3.,F,分布,设，且相互独立,则称随,机变量 服从自由度为,(,n,1,n,2,),的分布,记为,:,(1),F,分布的概率密度：,0,1,2,3,(,n,1,n,2,)=(10,40),(,n,1,n,2,)=(11,3),的图形如下：,由定义知,若,则,(2),F,分布的分位点,对于给定,称满足条件,的点 为 分布的上 分位点。,0,F,分布的上分位点见附表,5,。,由于若,则,于是,即,于是可得,:,所以,所以,二,.,正态总体统计量的分布,定理：,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体 的一个简单,随机样本,与 分别为样本均值和样本,则有,(1),(2),与 相互独立,(3),证明,:(1),由于,X,1,X,2,X,n,是来自总体 的一个简单,样本,则,X,1,X,2,X,n,相互独立,且与总体服从相同分,布 。,由正态分布的性质知,也服从正态分布,且,所以,(2)(3),的证明略。,例,1.,设,X,1,X,2,X,10,是来自正态总体 的简单随机,样本,记,试确定,a,b,c,d,使,Y,服从,x,2,(,k,),分布,并求出,k,值。,解,:,因为,则,又,则,又,则,又,则,由,x,2,分布的可加性知,:,即,:,所以,例,2.,设 是来自总体 的样本,则统计量,证,:,由于统计量,又因为,相互独立,.,所以 与 也相互独立。,于是,即,:,例,3.,设,试确定 服从什么分布。,解,:,因为,存在有,且,相互独立,.,使,显见,于是,即,:,例,4.,设 是来自,是来自,的两个独立样本,(,即 与,相互独立,),设,则统计量,证明,:,由定理知,且,相互独立,.,由正态分布的性质知,:,即,:,又因为,:,所以,由于 与,与 相互独立,所以 与 也相互独立,.,于是,即,:,例,5.,设 是来自,是来自,的两个独立样本,证明,:,其中,:,证明：由定理知：,则,注,:,当 时,即,例,6.,设总体,X,服从正态分布,N,(20,5,2,),总体,Y,服从正态分布,N(10,2,2,),从总体中分别抽取容量为,n,1,=10,n,2,=8,的样本。求,:,(1),样本均值差大于,6,的概率；,(2),样本方差比小于,23,的概率。,解,:(1),由例,4,知,:,于是,查表,2,得,:,即,:,(2),由例,5,知,:,即,于是,:,查附表,5,得,:,即,:,例,7.,某市有,100000,个年满,18,岁的居民,他们中,10%,年收入超,过,1,万,20%,受过高等教育,今从中抽取,1600,人的随机样本,求：,(1),样本中不少于,11%,的人年收入超过,1,万的概率；,(2),样本中,19%,和,21%,之间的人受过高等教育的概率。,解,:(1),引入变量,由题知,:,又因为,故可近似看成,放回抽样,相互独立。,则,(2),同,(1),法,:,设,其中,由于,n,=1600,较大,故由中心极限定理得,:,且,即为样本中年收入超过,1,万的比例。,答：样本中不少于,11%,的人年收入超过,1,万的概率为,0.0918,。,样本中,19%,至,21%,的人受过高等教育的概率为,0.6826,。,近似服从,且 为样本中受过高等教育的比例。,由题知,:,测试题,A,一填空题。,1.,若,则 的概率密度是,。,2.,设随机变量,已知,则,。,3.,设随机变量,X,Y,相互独立,且均服从正态分布,N,(0,3,2,),而,X,1,X,2,X,9,和,Y,1,Y,2,Y,9,分别是来自总体,X,和,Y,的简单随,机样本,则 服从,分布。,二选择题。,设总体,X,服从自由度为,k,的 分布,X,1,X,2,X,n,是来自,总体,X,的样本,则 服从 分布,且自由度为,(),(A),n,+,k,(B),n k,(C)(,n,-1)(,k,+1)(D),k,+,n,-2,2.,设随机变量,X,服从分布,F,(,n,n,),则,(),(A)(B),(C)(D),无法判断,4.,设随机变量,X,1,X,2,X,3,X,4,是来自正态分布,N,(0,2,2,),的样本,则,a,=,b,=,时,统计量,X,服从 分布,其自由度为,。,三,.,计算题。,当 时,可用近似公式,(,其中,是标准正态分布的上 分位点,),来计算的值,试计,算,2.,设 相互独立且都是来自正态分,布,求,设,X,1,X,2,X,16,是来自总体 的一个样本,则 服从,(),分布。,(A)(B)(C)(D),测试题,A,答案,一,.,填空题。,1.,2.,3.,4.,二,.,选择题。,1.B 2.C 3.D,三,.,计算题。,2.,1.,测试题,B,一,.,填空题。,1.,已知随机变量,X,服从自由度为,n,的,t,分布,则随机变量,X,2,服从分布,。,2.,假设随机变量,则 为,时满足,3.,设 是来自正态总体,N,(0,1),的样本,和,分别为样本均值和样本方差,则统计量 服从,。,设总体,而 是来自总体 的简,单随机样本,则 服从分布,参,数为,。,二选择题。,设随机变量,X,服从自由度为,(,n,n,),的,F,分布,若已知 满,足,则,(),。,(A)0.95 (B)0.05 (C)0.025 (D)0.975,2.,设 是取自总体 的样本,则,是服从,(),分布。,(A)(B),(C)(D),3.,设 是相互独立,且均服从,则,服从,(),分布。,(A)(B),(C)(D),三计算题。,若随机变量,X,是具有自由度为,n,1,n,2,的,F,分布,求证,:,(1),是具有自由度为,n,2,n,1,的,F,分布,;,(2),证明 。,2.,设总体,X,服从正态分布,N,(60,2,2,),是该总体的,一个样本,试求,:,(1),(2),测试题,B,答案,一填空题。,F,(1,n,)2.1.145,3.,t,(,n,-1)4.,F,(10,5)(10,5),二选择题。,1.A 2.A 3.B,三计算题。,证,(1),即,:,于是,(2),因为,则,即,:,所以,2.,解,:(1),(2),第六章 小结,本章介绍了数理统计的基本概念和基本结论。,一,.,总体和样本,对于,X,1,X,2,X,n,为来自总体的简单随机样本有：,(1),X,1,X,2,X,n,相互独立；,(2),X,1,X,2,X,n,均与总体,X,同分布；,(3),X,1,X,2,X,n,为,Y,1,Y,2,Y,n,的观察值,即为样本值。,样本均值 和样本方差 是两,个最重要的统计量,对任何总体均有,:,二统计量,三抽样分布,1.,三个重要分布,:,分布,t,分布,F,分布。,2.,常见结论：,对正态总体,来自总体,则,(1),(2),(3),相互独立,(4),第六章 测试题,A,一填空题。,1.,设总体 分布,是来自总体的样,本,又 为样本均值,则,n,时才能使 。,2.,设,X,Y,相互独立,X,1,X,2,X,n,是,X,的样本,Y,1,Y,2,Y,n,是,Y,的样本,则,。,3.,设总体,是来自总体的一个样本,则,服从的分布是,。,4.,已知,:,则,。,二选择题。,1.,设,未知,已知,是的样本,则,下列是统计量的是,(),。,(A)(B)(C),2.,设随机变量,是,X,的样本,和 分别是样本均值和样本方差,则下列正确的是,(),。,(A)(B),(C)(D),3.,设,样本容量分别为,相互独立,则有,(),。,(A)(B),不相互独立,(C),4.,设 是来自 的一个样本,则,(),。,(A)(B)(C),三计算题。,1.,设总体,是来自总体的样本,求,:,。,2.,设 是来自正态总体,X,的样本,证明统计量,Z,服从自由度为,2,的,t,分布。,3.,设总体 是来自总体的样本,样,本均值为,样本方差为,欲使,则,k,为何值。,测试题,A,答案,一填空题。,1.2.,3.4.,二选择题。,1.A C 2.D 3.A 4.B,三计算题。,1.,因为,所以,2.,证,:,设,则,则 即,:,由,(,S,1,样本方差,),知,:,时,.,于是,即,:,由于 所以,测试题,B,一填空题。,1.,设,其样本均值,样本方差,则服从自由度为,9,的,t,分布的统计量是,T,=,。,2.,设,相互独立,和,分别是其样本方差,则 服从的分布是,。,(,样,本容量分别是,n,1,n,2,),3.,设,则,X,2,服从的分布是,。,4.,已知,则,。,二选择题。,设,已知,未知,则下列是统计量的是,(),。,(A)(B),(C),2.,设 相互独立,样本容量分别,为,n,1,n,2,方差已知,则有,(),。,(A)(B),(C)(D),3.,设 是来自总体 的样本,是样本,均值,记,则服从,t,(,n,-1),分布的统计量是,(),。,(A)(B),(C)(D),三计算题。,1.,设总体,是来自总体的样本,求：,(1),样本均值 的数学期望与方差；,(2),样本均值 的概率分布。,2.,设总体,是来自总体的样本,记,:,求统计量 的分布。,4.,设 是取自正态总体 的一个样本,则 服从的分布是,(),。,(A),t,(,n,)(B),t,(,n,-1)(C),F,(,n,-1,n,)(D),F,(,n,n,-1),测试题,B,答案,一填空题。,2.,3.4.,二选择题。,3.,设 是来自标准正态总体 的样本,求,k,使,2.,解,:,相互独立，且,(1),(2),1.A 2.D 3.B 4.B,三计算题。,3.,解,:,所以,所以,所以,