级数敛散性判断习题.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习 题 课,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数,展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,求和,展开,(,在收敛域内进行,),基本问题,：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开,.,为傅里叶级数,.,为傅氏系数,),时,时为数项级数,;,时为幂级数,;,一、数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分审敛法,部分和极限,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,审敛,法:,若,且,则交错级数,收敛,概念,:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,例,1.,若级数,均收敛,且,证明级数,收敛,.,证,:,则由,题设,收敛,收敛,收敛,例,2,.,判别下列级数的敛散性,:,提示,:,(1),据比较审敛法的极限形式,原级数发散,.,原级数发散,故,原级数收敛,发散,收敛,用洛必达法则,原级数发散,时收敛,;,时,为,p,级数,时收敛,;,时发散,.,时发散,.,例,3.,设正项级数,和,也收敛,.,法,1,由题设,根据比较审敛法的极限形式知结论正确,.,都收敛,证明级数,法,2,因,故,存在,N,0,当,n N,时,从而,再利用比较法可得结论,例,4.,设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由,.,但对任意项级数却不一定收敛,.,问级数,提示,:,对,正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散,.,例如,取,例,5.,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性,:,提示,:,(1),p,1,时,绝对收敛,;,0,p,1,时,条件收敛,;,p,0,时,发散,.,(2),故原级数绝对收敛,.,因,单调递减,且,但对,所以原级数仅,条件收敛,.,由,Leibniz,审敛法知级数,收敛,;,因,所以原级数绝对收敛,.,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,:,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,求下列级数的敛散域,:,练习,:,(,自,证,),解,:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛,.,故收敛域为,解,:,因,故收敛域为,级数收敛,;,一般项,不趋于,0,级数发散,;,例,.,解,:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数,=,其收敛半径,注意,:,此题,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,逐项求导或求积分,对和函数求积或求导,难,直接求和,:,直接变换,间接求和,:,转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法,:,分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,例,3.,求幂级数,易求出级数的收敛域为,练习,:,解,:,原式,=,的和,.,求级数,四、函数的幂级数和傅式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习,:,1),将函数,展开成,x,的幂级数,.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解,:,1.,函数的幂级数展开法,2),设,将,f,(,x,),展开成,x,的幂级数,的和,.,(2001,考研,),解,:,于是,并求级数,例1,解,补充,例2,解,例,解,两边逐项积分,例4,解,对于级数（,1,）,例5,解,例7,解,例8,解,例,9,分析,例,10,解,例,11,解,和函数的图形为,例,12,解,由上式得,例,13,解,