Bezier&BSpline_曲线.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1962,年法国雷诺,(Renault),汽车公司的贝塞尔,(,P.E.Bezier,),构造的一种以逼近为基础的用控制多边形定义曲线和曲面的方法；,Bezier,曲线是,由一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一定义出来。,Bezier,曲线,Bezier,曲线的数学表达式,Bernstein,基函数的性质,Bezier,曲线的性质端点性质,Bezier,曲线的性质对称性、凸包性、几何不变性、变差缩减性,Bezier,曲线的矩阵表示,一次,Bezier,曲线,Bezier,曲线的矩阵表示,二次,Bezier,曲线,P,Bezier,曲线的矩阵表示,三次,Bezier,曲线,Bezier,曲线的矩阵表示,三次,Bezier,曲线,三次,Bezier,曲线的基函数,t=0.4,B,1,3,B,2,3,B,0,3,B,3,3,Bezier,曲线的矩阵表示,三次,Bezier,曲线的,Horner,格式表示的生成算法,三次,Bezier,曲线的,Horner,算法程序,struct,point,float x;float y;,void main(),point p10;,float t=0;,int,i,degree,;,char fn20;,point coordinate21;,printf,(“Input the number of degreen”);,scanf(“%d”,&degree,);,printf,(“Input data filenamen”);,scanf(“%s”,fn,);,for(i,=0;i=,degree;i,+),fscanf(“%d,%d”,&pi.x,&pi.y,);,for(i,=0;i=20;i+),t=i*0.05;,coordinatei,=,hornbez(degree,p,t,);,三次,Bezier,曲线的,Horner,算法程序,point,hornbez(int,degree,point*,coeff,float t),int,i,n_choose_i,;,float fact,tl,;point aux;,t1=1-t;fact=1.0;,n_choose_i,=1;,aux.x,=coeff0.x*t1;,aux.y,=coeff0.y*t1;,aux.z,=coeff0.z*t1;,for(i,=1;i,degree;i,+),fact=,fact,*t;,n_choose_i,=,n_choose_i,*(degree-i+1)/i,;,aux.x,=,aux.x+fact,*,n_choose_i,*,coeffi.x,)*t1;,aux.y,=,aux.y+fact,*,n_choose_i,*,coeffi.y,)*t1;,aux.z,=,aux.z+fact,*,n_choose_i,*,coeffi.z,)*t1;,aux.x,=,aux.x+fact,*t*,coeffdegree.x,;,aux.y,=,aux.y+fact,*t*,coeffdegree.y,;,aux.z,=,aux.z+fact,*t*,coeffdegree.z,;,return aux;,Bezier,曲线的拼接,两条,Bezier,曲线连接有一定的条件，如右图所示，,p,3,与,Q,0,重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。,Bezier,曲线的生成,Bezier,曲线的缺点,1、特征多边形的顶点个数,n+1,决定了,Bezier,曲线的阶次，,即只能生成,n,次曲线，不灵活。,2,、当,n,很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的控制明显减弱。,3,、由于基函数在区间,(0,1),上均不为,0,。因此,Bezier,曲线,上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线,做局部修改,成为不可能,。,1972,年,Gordon,、,Riesenfeld,和,Forrest,等人拓广了,Bezier,曲线，用样条基函数代替,Bernstein,基函数，构造了,B,样条曲线。,B,样条曲线保留了,Bezier,曲线的优点，克服了,Bezier,曲线的缺点。,是一种分段连续曲线,。,B,样条曲线,B,样条曲线定义,：,已知,n+1,个控制点，,k,次,B,样条曲线为：,节点向量,t,i,=,i（0，1，2，,n+K,),均匀：,t,i+1,-,t,i,=,常数（=1）,周期：,C,0,(u)=p(0),N03,+p(1),N13,+p(2),N23,2,=u=3,0 1 2 3 4 5 6 7 u,1,N,0.5,C,1,(u)=p(1),N13,+p(2),N23,+p(3),N33,3,=u=4,N03,N13,N23,N33,N43,均匀周期,B,样条曲线,B,样条曲线分类,均匀周期,B,样条曲线的数学表达式,第,i,个特征多边形（,P,i,P,i+1,P,i+n,),B,样条曲线示例,一次,B,样条曲线,基函数：,n=1,，,k=0,1,一次,B,样条曲线,曲线表达式（代数形式,/,矩阵形式）,二次,B,样条曲线,基函数：,n=2,，,k=0,1,2,二次,B,样条曲线,曲线表达式（代数形式,/,矩阵形式）,二次,B,样条曲线,曲线性质,二次,B,样条曲线,曲线性质,二次,B,样条曲线,示例,i=0,0,=t=1,0,1,2,3,4,i=1,0=t=1,1,2,i=2,0,=t=1,2,3,二次均匀周期,B,样条曲线,三次,B,样条曲线,基函数：,n=3,，,k=0,1,2,3,三次,B,样条曲线,曲线表达式（代数形式,/,矩阵形式）,三次,B,样条曲线,曲线性质,三次,B,样条曲线,曲线性质,三次,B,样条曲线,三次,B,样条曲线,示例,B,样条曲线,-,特技处理,构造直线段,(2,次三点共线,3,次四点共线,),和多边形相切,(,三点共线,/,二重节点,),通过指定点,(2,次二重节点,/3,次三重节点,),指定起点约束条件,指定两端点,产生封闭曲线,(,控制多边形首尾相接,),三次,B,样条曲线,-,特技处理,三次,B,样条曲线,-,特技处理,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,B,样条曲线,-,特技处理,