谈高中数学教学中普遍存在的十大问题.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,谈高中数学教学中普遍存在的十大问题,李 祎 教授 博导福建师范大学 数学与计算机科学学院,目录,一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析,二、不能有效揭示数学的本质特质和属性,三、不能站在较高观点来认识和分析问题,四,、,不善于对数学教材进行质疑和批判,五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本,目录,六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学,七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究,八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透,九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究,十、不会对数学课堂教学进行深入分析和评价,一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析,数学教师要形成和具备较高的数学素养，就必须经常善于深入挖掘和剖析教材，,仔细揣摩，反复琢磨，穷根究底，深及精髓,，力求获得对教材的透彻理解，形成对所教内容的深刻感悟。,只有,钻得深,，才能,站得高,，才能,讲得透,。,浮光掠影，浅尝辄止，一知半解，不求甚解，这样是无法很好地驾驭教材的。,1,、对某些规定的深入认识,为什么零不能作分母？,为什么分数相加时首先要通分？,为什么要规定？,在指数函数 中，为什么要规定,a0,呢？,在对数函数中，为什么要规定,a,不等于,1,呢？,为什么在反函数 中，要把 互换？,2,、对数学推证的深入探求,（,1,）等差数列求和公式的推导,配对求和（由高斯求和引出）,化归转化（先求,S,n,=1+2+n,）,倒序相加,面积法,a,n,=a,1,+(n-1)d,，不妨设,a,i,0,(a,1,+a,2,)/2+(a,2,+a,3,)/2+(a,n-1,+a,n,)/2,=(n-1)(a,1,+a,n,)/2,两段同时加,(a,1,+a,n,)/2,，整理便得。,（,2,）等比数列求和公式的推导,等比定理,化归转化,提取,a,1,：,归纳猜想,错位相消,透视“错位相消”的实质,求和的实质,其它方法,提取,q,：,数学美的启示：,（,3,）二项式定理的证明,能否严格进行推导和证明？,（,4,）绝对值不等式的理解,动静转换,数形结合,二、不能有效揭示数学的本质特质和属性,“,强调本质，注意适度形式化,”：高中数学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，通过,返璞归真,，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。,要讲逻辑推理，更要讲道理,，通过典型例子的分析和学生的探索活动，使学生理解数学概念、结论形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。,数学本质揭示的过程，也就是概念的形成过程，结论的推导过程，方法的思考过程，问题的发现过程，思路的探索过程，规律的概括过程等。,1,、宏观上对学科本质的把握,（,1,）代数的结构,代数的本质是,用符号表示数,和,未知数参与运算,。,代数主要研究：数式运算和方程求解。,两种数；三种式；六种运算；四类方程。,进一步发展：次数更高的方程，未知数更多的方程。,从代数式（符号代表,数,），到方程（符号代表,未知数,），到函数（符号代表,变数,）（函数实质是几何的代数化）,（,2,）几何的结构,直观几何：,对平面图形、立体图形的认识；,度量几何：,求长度、角度、面积、体积等问题；,演绎几何：,垂直、平行、全等、相似,运动几何：,如平移、旋转和对称等；,坐标几何。,（,3,）解析几何的本质,（,4,）微积分的本质,2,、微观上对概念本质的把握,概念是反映事物本质属性的思维产物,.,数学：空间形式和数量关系,.,数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物,.,本质属性：共有性，特有性，整体性。,示例,1,：集合的本质,幼儿园小孩子学集合,示例,2,：复数的本质,复数是,二元数,实数是一元数,.,与把一元的实数看作“单纯的数”相比,二元的复数不仅数量意义,而且还有方向意义,它是一种“,有方向的数,”，“数量加方向”是复数的本质属性。,用几何形式表示,：它的意义是一个向量,其本质特征是向量的长度和方向,;,用三角形式表示,：在,z=r(cos+isin),中,r,表示复数向量的长度,表示复数向量的方向,.,用代数形式表示,：本质属性不是很明显,需要揭示。,示例,3,：函数概念的本质,数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在,一定范围内,保持不变的性质，而可变的性质则是“非本质属性”。,设,A,、,B,是,非空数集,，如果按照某种确定的,对应关系,f,，使对于集合,A,中的,任意,一个数,x,，在,B,中都有,唯一,确定的数,f,（,x,）和它对应，则称,f,：,AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数,，记作,y=f,（,x,），,xA.,其中,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的定义域；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f,（,x,）,|xA,叫做函数的值域。显然，值域是集合,B,的子集,。,“,非空数集,”是否为函数的本质属性？,“,单值对应,”是否为函数的本质属性？,“变量说”的局限性,：,“对应说”的局限性,：,“关系说”定义函数,：积集,的子集,函数究竟是什么？,三、不能站在较高的观点来认识问题和分析问题,占领制高点，居高临下，深入浅出。,做学问，先学“问”，教做学问，自己先得学会“问”。,重要的是自己问自己。,问的为什么,越多,，得到的学问就越多。问的为什么,越深,，就认识得越透彻、越深入。,从多方面来发问，其中，善于,问“数学”,，学会问“数学”，在问“数学”中，便能求得进步。,示例,1,：偶数、奇数与自然数的个数。,能与自然数集建立一一对应的集合，叫,可数集,。,全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集。,可数集可以含有可数的真子集，两个可数集也可以并成一个可数集。,整数集与有理数集都是可数集。,按照,基数,概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等，与自然数集有相同的基数。因而这些集合所含元素“一样多”。,但这些集合又是一个包含另一个作为真子集，所以又,不同于有限集元素的“多少”概念,。,并非所有的无穷集都是可数集，实数集就不是可数集，这样，实数集与自然数集有,不同的基数,，因而说明了无穷集所含元素,数量的多少还有某种层次区别,。,许多数学悖论都与“无限”有关：,伽利略悖论：“正整数和偶数一样多”,S=,（,11,）（,11,）（,11,）,S=1,（,11 11 1,）,示例,2,：集合的“三性”,S=,，对于元素 ，重复数的值可以是某个正整数，也可以是,0,或。如果,=0,，则认为元素 ；如果 ，则认为,S,中有无穷多个。可以看出，一般集合就是只能取,0,或,1,的多重集。,示例,3,：概率的统计定义,一般地，在大量重复试验中，如果事件,A,发生的频率会稳定在某个常数,p,附近，那么事件发生的概率,P,（,A,）,=p,。（,九年级上册,）,频率稳定于概率，不是说频率的极限是概率，,稳定于,p,不能写成,：,“,稳定于,p”,意味着对 ，有,即是说只要,n,充分大，那么,频率充分接近概率的概率就是,1,。,大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说,当,n,很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小,。,实验目的在于体验用大数次实验的频率来估计概率的方法，而不在于验证可能性相等。,四,、,不善于对数学教材进行质疑和批判,书本尤其是教材如同“圣经”，具有绝对至上的权威地位，有些教师通常不敢越雷池于一步。,对书本顶礼膜拜的结果，是教师和学生想象力的贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。,书本并非完美无暇，出现错误也在所难免，关键是师生不能拘泥于各种“权威”，对课本应该用批判的眼光审视它，有保留地、选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。,（三角形内角和定理的证明）,1,、函数单调性的定义：,“如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,”,2,、函数的定义：,“设,A,、,B,是非空的数集，,。显然，值域是集合,B,的子集。”,变更,：（,1,）设,A,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合,A,中的任意一个数 ，都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为定义在集合,A,上的一个函数。,（,2,）在现行定义中，直接取,B,为函数的值域，学习映射后，再来解释函数的特殊性,(,即除,A,、,B,为非空数集外，还要求为“满射”,),。,五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本,普通高中数学课程标准（实验）,：在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会,将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里,。,普通高中数学课程标准（实验）,：应删减,繁琐的计算、人为技巧化的难题,和过分强调,细枝末节,的内容，克服“双基异化”的倾向。,示例,1,：圆的对称轴,观点,1,：,认为,“,圆的直径就是圆的对称轴,”,是错的，因为圆的直径是条线段，而圆的对称轴应是条直线，应该说,“,直径所在的直线是圆的对称轴,”,才是正确的。,观点,2,：,“,圆的直径是圆的对称轴,”,是正确的，原因是直径具备对称轴的属性，即：一个图形沿着它对折，两边的图形能够完全重合。,三角形中，三条线段组成的就不是角了吗？,示例,2,：,y=sinx,x0,10,是,周期函数吗？,函数的周期性是对函数,“,周而复始,”,的变化规律的数学刻画。函数的周期性就是整个函数图形是否可以通过沿着,X,轴，平移一段距离，得到的函数图象与原来的函数图象可以完全重合。即具有沿着,X,轴的平移不变的性质。,f,（,x+T,）,=f,（,x,）。在该定义中，周期函数的定义域只须没有上界或没有下界就可以，但至少要有一个是无界的，这就难以刻画某些函数,“,周而复始,”,的特点。,一般地，函数 叫做指数函数。,一般地，函数 叫做对数函数。,思考：,是指数函数吗？,是对数函数吗？呢？,x=x,是不是方程？,x/2x,是不是分式？,含有未知数的等式叫做,方程,；,一般地，如果,A,，,B,表示两个整式，并且,B,中含有字母，那么式子,A/B,叫做,分式,。,反思：究竟看实质，还是看形式？,数学是人为的，也是为人的,，完全可以根据研究问题的需要，作出判断和取舍。,其实，无论从解决实际问题的角度来看，还是从数学内部的运演来看，以上争议都没有太大意义，都是,教条主义和八股化,的具体表现。,要,“,淡化形式，注重实质,”,。,过分地热衷于形式化的探究，过分地钟情于细枝末节的追究与考问。,平行四边形的面积等于底乘以高。,等式两边同时加上或者减去一个数,所得的结果仍然是等式。,我们把解方程的过程叫做方程的解。,三角形的高是线段还是长度？,x-x=3,是不是方程？,2x-x,是单项式还是多项式？,整数能否叫做分数？,六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学,高水平教师与普通教师的差别在哪里？,（,1,）教学生学“本质”,（,2,）教学生学“过程”,（,3,）教学生学“思想”,（,4,）教学生学“结构”,数学教学的“二十四”字方针,精力内容，大作功夫；,少占多让，少扶多放；,绝对主动，相对自主。,示例,1,：函数的单调性,单调性教学设计大体从三个层次展开：,首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；,其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；,最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。,教学的困惑,：从图像上不难获得图像,“,上升,”,或,“,下降,”,的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？,解释和说明：,“,上升,”“,下降,”,是一种日常语言，用日常语言描述,“,单调增,”“,单调减,”,这样的数学性质是,不够准确的,。,能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？,这时结合图像的特点，即它是,“,函数,”,的图像,，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。,教学的难点,：如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：,多快好省地直接把形式化的定义呈现出来，其余的更多时间，便是,咬文嚼字式的强调，细枝末节的提示，解题程式的归纳，题海战术的训练,。,让学生参与形式化、符号化和数学化的过程：由图象直观特征，到自然语言描述，再到数学符号描述；从,直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密,的建构过程。,示例,2,：“二分法”的教学,重点：,方程解的问题，函数零点问题，逼近问题，缩小区间问题，怎样缩小的问题，二分法问题。,牛顿法；弦截法,教学生学什么,学习科学研究的一般方法；,教学生怎么学,用“从无到有”的探究方法来进行学习。,重点没凸显，难点没突破，教学更多是一种,“告诉”行为,，教案中的重点和难点成了文字摆设，三维目标中的“过程与方法”也成了一种贴标签式的点缀。,七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究,深入深出型,，,自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。,浅入深出型,，,自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。,浅入浅出型，,自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。,深入浅出型，,自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。,教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的,学术形态,，恢复为学生易于接受的火热思考的,教育形态,。,教师是教学的“主导”，“主导”务必立足于“学为主体”之上，教师绝不能“,喧宾夺主,”；“主导”重在“授之以渔”，教师决不能“,越俎代庖,”。,教师事先把数学知识切碎、嚼烂了，再通过简单的灌输方式喂给学生，把数学知识的主动建构“转换”为知识的被动接受，把数学思维方面应有的训练“转嫁”给“机械记忆”。,所谓,稚化思维,，就是教师把自己的外在权威隐蔽起来，教学时不以知识丰富的教师自居，而是把自己的思维,降格,到学生的思维水平，亲近学生，接近学生，有意识地,退回,到与学生相仿的思维状态，,设身处地,地揣摩学生的学习水平、状态等，有意识地生发一种陌生感、新鲜感，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。,示例,1,：直线的方向向量与平面的法向量,为什么要提出方向向量与法向量的概念？,如何来刻画直线与平面的方向？,为什么要用方向向量来刻画直线的方向？,为什么要用法向量来刻画平面的方向？,示例,2,：直线的斜率,为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，还一定要将其代数化？,变量,(x,，,y),与作为不变量的倾斜角，不能直接建立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量,(x,，,y),与不变量,斜率,k,才能建立起关系。,斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。,“,率,”,，是指两个相关数的比值，,x,变化单位长时，看,y,变化了多少，实质是对,x,和,y,变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。,教学难点：,建立直线方程的过程，是寻求其不变量,k,，建立变量,(x,，,y),与不变量,k,的数量关系的过程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。,为什么要用正切？,首先与,“,坡度,”,概念一致。坡面的铅直高度和水平长度的比。（垂直变化率）,其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。,第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。,八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透,显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。,明线容易理解，暗线不易看明。,数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。,数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。,有意识地使用提示语，使思想方法显性化，使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识习得。,米山国藏：,学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。,示例,1,：哲学辩证观点的揭示,加与减，乘与除；极限中的过程与结果、有限与无限、近似与精确；导数。,示例,2,：各种函数性质的研究,通过图像研究函数的性质,数形结合思想,；,通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质,从特殊到一般的归纳思想,；,区分情况来讨论函数的性质,分类讨论思想,；,通过对比来研究函数性质,类比的思想方法,；,函数性质应用实例,数学模型思想方法,。,例如,:,反比例函数，单调性，指数函数，对数函数,示例,3,：正弦定理的各种证明方法,证法,1,：作高法,证法,2,：面积法,证法,3,：外接圆法,证法,4,：角平分线法,数学中究竟有哪些思想方法？,A.,数学思想方法的系统分类,哲学的视角：,形式与内容；运动与静止；偶然与必然,；,现象与本质,；,原因与结果,；,整体与局部；有限与无限；等。,思维的视角：,观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎,；,分析与综合,；,抽象与概括,；,特殊与一般,；,比较与分类,；等。,数学的视角：,1,、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。,2,、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。,高考考试大纲：,函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。,B.,数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。,数学抽象的思想,派生出的有：,分类的思想；,集合的思想；,数形结合的思想；,变中有不变的思想；,符号表示的思想；,对称的思想；,对应的思想；,有限与无限的思想等。,数学推理的思想,派生出的有：,归纳的思想；,演绎的思想；,公理化思想；,转换与化归的思想；,联想与类比的思想；,逐步逼近的思想；,代换的思想；,特殊与一般的思想等。,数学模型的思想,派生出的有：,简化的思想；,量化的思想；,函数的思想；,方程的思想；,优化的思想；,随机的思想；,抽样统计的思想等。,九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究,1,、启发的重要性,教师在教学中的主要任务是,“,引导,”,，而,“,启发,”,则是教师引导学生学习的基本方法。,孔子,:,“,吾有知乎哉？无知也。有鄙夫问于我，,空空如也,。我叩其两端而竭焉。,”,苏格拉底：,从来都没有教给别人什么,，只不过是象一个灵魂的接生婆那样，帮助人们产生自己的思想、观点。,2,、二重启发原理解析,从,内容的角度,来看，这种启发性的帮助应,由易到难,，以符合认知规律；,从,思维的角度,来看，这种启发性的帮助应,由远及近,，以提高思维强度。,简单、容易,的内容在启发时，距离目标的起点可远些，以提高思维强度；,复杂、困难,的内容在启发时，距离目标的起点可近些，以节约学习的时间。,3,、启发的适度性策略分析,不能过于,直白,，也不能过于,含蓄,。,言近而旨远，言有尽而意无穷，话里有话或弦外有音；举一而寓三，一语而多关，或迂回设问。,语忌直，意忌浅，脉忌露，味忌短。,启发的主要作用在于给学生以,暗示,。,暗示不成再明讲,。,波利亚：“你能不能应用勾股定理啊？”,a,.,如果学生已经接近于问题的解答，可是他已不需要这项帮助了。反之，他就很可能完全不明白这一提问的作用。,b,.,它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。,c,.,即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么。,d,.,就算学生懂得这提问的作用，可是他很难体会到教师凭什么会想到它的。,4,、启发的适时性策略分析,当启处启，当发处发，,“,启,”,在关键处，,“,发,”,在要害处，防止,超前启发和滞后启发,。,“,首先是不是该,呢？,”,，,“,接下来是不是,呢？,”,，,“,然后是不是,呢？,”,启发的时间等待理论,。,示例：“你能不能应用勾股定理啊？”,当教师这样进行提问时，对学生的帮助就是太多了。它有以下几点坏处（大意）：,a,.,如果学生已经接近于问题的解答，他当然明白这一提问所包含的启示意义，可是他已不需要这项帮助了。反之，一个学生离开问题的解决还远得很的时候，他就很可能完全不明白这一提问的作用。因此这一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。,b,.,如果这一提问的启示意义是被了解了，那么，它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。,c,.,这一提问的启示意义太狭隘，即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么，这一提问太不具有启发性了。,d,.,就算学生懂得这提问的作用，可是他很难体会到教师凭什么会想到它的，学生本人怎样才能够独立地想到它的。看起来这提问太不自然了，这就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，它根本就不具有什么启发性。,十、不会对数学课堂教学进行深入分析和评价,综合研析。,对一节课从整体上作出全面、系统、综合性评价。先分析后综合。,单项研析。,选择一个体会最深、感触最大、认识深刻的角度或侧面来进行评课。,挖掘亮点。,寻找和抓住被观察者的教学特点或教学风格来进行评课。,以果溯因。,透过表面现象，从现象到本质、从表象到规律，概括教学的突出特点和主要问题。,教学诊断。,诊：发现和提出问题；断：分析问题产生原因；治：对症下药，提出改进意见。,（,1,）常规评课视角,教学的目标与效果；,教学的内容与加工；,教学的重点与难点；,教学的方法与手段；,教学的过程与结构；,教师教学的基本功。,（,2,）教学理论分析视角,各种教学理论、认知理论的视角。,寻找和开拓更多的视角：,知识意义的生成视角：,无知，未知，有知，真知,问题提出与解决的视角,问题链的构建,数学教学设计的新视角,学程设计，弹性设计，动态设计，意义设计,数学课堂有效提问的视角,启发性与探究性,数学教学资源利用的视角,预设性资源，携带性资源，生成性资源,（,3,）学科理论分析视角,“,教什么,”,始终是课堂教学的中心；,当,“,怎么教,”,凌驾于,“,教什么,”,之上时，这就是课堂,“,华而不实,”,的典型表现。,教学内容决定着活动的形式，活动的形式服务于教学内容,，教学内容的核心是数学本质，活动的最终目的是揭示数学本质。,一堂好课主要的标志是教学内容正确并使学生有所收获和发展，在此前提下，课堂组织散漫一点，教学中出现一些弯路插曲，都是常态，无伤大雅，,课堂教学形态应该走向相对地宽松乃至有节制的随意。,数学概念本质的揭示水平,数学命题实质的理解水平,数学过程形态的展现水平,数学思想实质的领悟水平,数学知识结构的把握水平,数学试题价值的负载水平,谢谢,电话：,13459192429,邮箱：,liyij1,