概率论与数理统计课件自考.pptx

<p>单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,教材,：,概率论与数理统计,（经管类）,课程代码：,4183,柳金甫 王义东 主编,武汉大学出版社,本课程的重点章是第,1,、,2,、,3,、,4,、,7,、,8,章,.,（,1,）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。,它们所占分数依次大致为：,20,分，,40,分，,30,分，,10,分。,（,2,）试题的题型有：选择题,(10*2=20,分,),、填空题,(15,*,2=30,分,),、,计算题,(2*8=16,分,),、,综合题,(2*12=24,分,),、,应用题,(1*10=10,分,),。,（,3,）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大,致是,75,分和,25,分,.,概率论是研究什么的？,概率论,从数量上研究随机现象的统计规律性的科学,。,序 言,数理统计,从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。,目 录,第一章 随机事件与概率,(,重点,),第二章 随机变量及其概率分布,(,重点,),第三章 多维随机变量及其概率分布,(,重点,),第四章 随机变量的数字特征,(,重点,),第五章 大数定律及中心极限定理,第六章 统计量及其抽样分布,第七章 参数估计,(,重点,),第八章 假设检验,(,重点,),第九章 回归分析,第一章 随机事件与概率,1.1,随机事件,1.2,概率,1.3,条件概率,1.4,事件的独立性,1.1.1,随机现象,现象按照必然性分为两类,：,一类是,确定性现象,；,一类是,随机现象,。,在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为,随机现象,。,1.1,随机事件,1.1.2,随机试验和样本空间,试验的例子,E,1,:,抛一枚硬币，观察正面,H,、反面,T,出现的情况；,E,2,:,掷一颗骰子，观察出现的点数；,E,3,:,记录,110,报警台一天接到的报警次数；,E,4,:,在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；,E,5,:,记录某物理量的测量误差；,E,6,:,在区间 上任取一点，记录它的坐标。,上述试验的特点：,1.,试验的可重复性,可在相同条件下重复进行,；,2.,一次试验结果的随机性,一次试验之前无法确定具体,是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。,3.,全部试验结果的可知性,所有可能的结果是预先可知,的。,在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为,随机试验,，,简称,试验,。随机试验常用,E,表示。,1,、,样本空间,:,试验的,所有可能结果,所组成的,集合,称为,试验,E,的样本空间,记为,.,样本空间,2,、,样本点,:,试验的,每一个可能出现的结果,成为一个,样本点,用字母,表示,.,下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间,1.1.3,随机事件,1,.,定义,样本空间的任意一个,子集,称为,随机事件,简称“事件”,.,记作,A,、,B,、,C,等。,例在试验,E,2,中,，令,A,表示“出现奇数点”，,A,就是一个随机事件。,A,还可以用样本点的集合形式表示，即,A=1,，,3,，,5.,它是样本,空间,的一个子集。,事件发生,：例如，在试验,E,2,中，无论掷得,1,点、,3,点还是,5,点，,都称这一次试验中事件,A,发生了。,基本事件,：,样本空间,仅包含一个样本点,的单点子集,。,例,，在试验,E,1,中,H,表示“正面朝上”，就是个,基本事件,。,两个特殊的事件,必然事件：,；,不可能事件：,.,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、,运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规,则来处理。,1.,包含关系与相等,：,“,事件,A,发生必有事件,B,发生,”,，记为,A,B,。,A,B,A,B,且,B,A.,1.1.4,、事件之间的关系,A,B,A,B,2,.,和事件：,“,事件,A,与事件,B,至少有一个发生,”,，记作,A,B,或,A+B,。,推广：,n,个事件,A,1,A,2,A,n,至少有一个发生，记作,显然：,1.A,A,B,，,B,A,B,；,2.,若,A,B,，则,A,B=B,。,3.,积事件,:,事件,A,与事件,B,同时发生，记作,A,B,或,AB,。,推广：,n,个事件,A,1,A,2,A,n,同时发生，记作,A,1,A,2,A,n,显然：,1.AB,A,，,AB,B,；,2.,若,A,B,，则,A,B=A,。,4.,差事件,：,A,B,称为,A,与,B,的差事件,表示事件,A,发生而事件,B,不发生,显然：,1.A,-BA,；,2.,若,A,B,，则,A,-,B=,。,5.,互不相容事件（也称互斥的事件）,即事件,A,与,事件,B,不可能同时发生,。,AB,。,A,B,AB=,6.,对立,事件,A,B,且,AB,思考,：,事件,A,和事件,B,互不相容与事件,A,和事件,B,互,为对立事件的区别,.,显然有：,事件的运算律,1,、交换律：,A,B,B,A,，,AB,BA,。,2,、结合律,：,(A,B),C=A,(BC),，,(AB)C,A(BC),。,3,、分配律,：,(A,B)C,(AC),(BC),，,(AB),C,(A,C),(B,C),。,4,、对偶,(De Morgan),律,：,例,1-4,、,设,A,、,B,、,C,表示三个事件，试以,A,，,B,，,C,的运算表示以下事件：,（,1,）仅,A,发生；,（,2,）,A,，,B,，,C,都发生；,（,3,）,A,，,B,，,C,都不发生；,（,4,）,A,，,B,，,C,不全发生；,（,5,）,A,，,B,，,C,恰有一个发生。,解,例,1-5,某射手向一目标射击,3,次,A,i,表示“第,i,次射击命中目标,”,i=1,2,3.B,j,表示“三次射击恰命中目标,j,次”,j=0,1,2,3.,试用,A,1,A,2,A,3,的运算表示,B,j,j=0,1,2,3.,解,例,：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以,A,、,B,、,C,分,别表示甲、乙、丙命中目标，试用,A,、,B,、,C,的运算关系表示下,列事件：,本节课主要讲授：,1.,随机现象；,2.,随机试验和样本空间；,3.,随机事件的概念；,4.,随机事件的关系和运算（,重点,）。,小 结,1.2,概,率,1.2.1,频率与概率,频率的性质：,试验者,德,.,摩根,2048,1061,0.5181,蒲丰,4040,2048,0.5069,K,.,皮尔逊,12000,6019,0.5016,K,.,皮尔逊,24000,12012,0.5005,频率是概率的近似值，概率,P(A),也应有类似特征,：,2.,等可能性,：,每个基本事件发生的可能性相同,.,1.2.2,古典概型,理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为,古典概型,：,1.,有限性：,基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点,;,设事件,A,中所含样本点个数为,r,样本空间,中样本点,总数为,n,则有,古典概型中的概率,:,例,1-7,掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。,事件“出现奇数点”用,A,表示,则,A,=1,3,5,所含样本,点数,r,=3,从而,解,：,显然样本空间,=1,2,3,4,5,6,样本点总数,n,=6,解,1:,试出现正面用,H,表示,出现反面用,T,表示,则样本空间,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,样本点总数,n,=8.,A=TTH,，,THT,，,HTT,，,B=HHH,，,C=HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT,所以,A,B,C,中样本点数分别为,r,A,=3,r,B,=1,r,C,=7,例,1-8,抛一枚均匀硬币,3,次,设事件,A,为“恰有,1,次出现面”,B,为“恰有,2,次出现正面”,C,为“至少一次出现正面”,试求,P(A),P(B),P(C).,则,P(A)=r,A,n=3,8,P(B)=r,B,n=1,8,P(C)=r,C,n=7,8.,例,1-9,从,0,1,2,9,等,10,个数字中任意选出,3,个不同数字,试,求,3,个数字中不含,0,和,5,的概率,.,解 设,A,表示“,3,个数字中不含,0,和,5”.,从,0,1,2,9,中任意选,3,个不同的数字,共有 种选法,即基本事件总数,n,=.,3,个数中不含,0,和,5,是从,1,2,3,4,6,7,8,9,共,8,个数中取得,选法有,即,A,包含的基本事件数,则,如果把题中的,“,0,和,5,”,改成“,0,或,5,”,结果如何？,例,1-10,从,1,2,9,这,9,个数字中任意取一个数,取后放回,而,后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率,.,解,基本事件总数,n=92,因为第一次取数有,9,中可能取法,这,时可重复排列问题,.,设,A,表示“取出的两个数字不同”,.A,包含的基本事件数,9*8,因为第一次取数有,9,中可能取法,为保证两个数不同,第二,次取数应从另外的,8,个数中选取,有,8,中可能取法,r=9*8,故,P(A)=rn=9*892=89,例,1-11,袋中有,5,个白球,3,个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。,解,从,8,个球中任意取两个,共有 种取法,即基本事件总,数,.,记,A,表示“取到的两个球颜色相同”,A,包含两种可能,:,全是,白球,或全是,黑球,.,全是白球有 种取法,全是黑球有 种取法,由加法原理,知,A,的取法共,中,即,A,包含的基本事件数,r=,故,(2),采取放回抽样：第一次抽取共有,100,种取法，取后放回，,第二次抽取仍有,100,种取法，即基本事件总数,n=100,2,.,在这种,情况下，,A,中包含的基本事件数,r,仍为,97*3,，故,例,1-12,一批产品共有,100,件，其中,3,件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：,（,1,）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；,（,2,）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件,.,试分别针对上述两种情况，求事件,A“,第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。,解,(1),采取不放回抽样：由于要考虑,2,件产品取出的顺序，接,连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数,.,第一,次 取到正品共有,97,种取法，第二次取到次品共有,3,种取法，,则,A,中包含的基本事件数是,r=97*3,，故,计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：,由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质：,(3),当,A,与,B,互不相容时，有,P(AUB)=P(A)+P(B).,这个性质可以推广：当,A,1,，,A,2,，,A,m,互不相容时，有,其中,m,是正整数,.,当,A,1,，,A,2,，,A,m,互不相容时，有,1.,定义,若对随机试验,E,所对应的样本空间,中的每一事件,A,，均赋予一实数,P(A),，集合函数,P(A),满足条件：,(1)P(A),0,；,(2)P(,),1,；,(3),可列可加性,：,设,A,1,，,A,2,，,是一列两两互不相容的事件，即,A,i,A,j,，,(ij),i,j,1,2,有,P(A,1,A,2,),P(A,1,),P(A,2,)+,.,则称,P(A),为事件,A,的概率。,1.2.3,概率的定义与性质,概率的性质,性质,1-1,性质,1-2,对于任意事件,A,B,有,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).,特别地,当,A,与,B,互不相容时,P(AUB)=P(A)+P(B).,性质,1-2,可推广,：对于任意事件,A,B,C,有,P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).,当,A,1,A,2,A,n,互不相容时：,P(A,1,UA,2,UUA,n,)=P(A,1,)+P(A,2,)+P(A,n,).,性质,1-3,P(B-A)=P(B)-P(AB).,特别地,当,A B,时,P(B-A)=P(B)-P(A),且,P(A)P(B).,性质,1-4,P(A),1,P(A),.,性质,1-5,：,对任意两事件,A,、,B,有,P(A),P(AB),P(AB),P(,B,),P(AB),P(AB),例,1-13,已知,12,种产品中有,2,件次品,从中任意抽取,4,件产品,求至少取得,1,件次品,(,记为,A),的概率,.,解,设,B,表示“为抽到次品”,则,B=A,而由古典概型的概率,求法可得,例,1-14,设,A,B,为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3,求,P(B).,解,由,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得,P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.,解,由性质,1-5,可知，,例,1-15,设,A,B,两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求,P(AB).,P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3,例,1-16,设,A,与,B,互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求,P(AB).,解,P(AB)=P(,)=1-P(AUB)=1-P(A)+P(B),=1-(0.5+0.3)=0.2,小 结,本节课的重点：,（,1,）古典概型事件概率的计算；,（,2,）概率的性质及其应用,.,1.3.1,条件概率与乘法公式,例,1-17,某工厂有职工,400,名,其中男女职工各占一半,男女职,工中优秀的分别为,20,人与,40,人,.,从中任选一名职工,试问：,（,1,）该职工技术优秀的概率是多少？,（,2,）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？,1.,3,条件概率,1,定义,：已知事件,A,发生的条件下,事件,B,发生的概率称为,A,条件下,B,的条件概率,记作,P(B|A).,定义,1-2,设,A,B,是两个事件,且,P(B)0,称,为在事件,B,发生条件下事件,A,发生的概率,.,显然，,P(A)0,时，,计算条件概率有两个基本的方法：,一、是用定义计算；,二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算,.,例,1-18,在全部产品中有,4%,是废品,有,72%,为一等品,.,现从,中任取一件为合格品,求它是一等品的概率,.,解,设,A,表示“任取一件为合格品”,B,表示“任取一件为一等品”,显然,B,A,P(,A,)=96%,P(,AB,)=P(,B,)=72%,则所求概率为,例,1-1,9,盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球,7,个,其中,3,个是新,球,;,白色球,5,个,其中,4,个是新球,.,现从中任取一球是新球,求它,是白球的概率,.,解,1,设,A,表示“任取一球为新球”,B,表示“任取一球为白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率为,解,2,设,A,表示“任取一球为新球”,B,表示“任取一球为白球”,由条件概率公式可得,解,设,A,表示“第一次取球取出的是白球”,B,表示“第二次取,球取出的是黑球”,所求概率为,P,(,B|A,).,由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中,有,5,个黑球,2,个白球,由古典概型的概率计算方法得,例,1-20,盒中有,5,个黑球,3,个白球,连续不放回的从中取两,次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取,出的是黑球的概率,.,性质,2,若,A,与,B,互不相容，则,性质,3,条件概率的性质,性质,1,概率的乘法公式：,(1),当,P(A)0,时，有,P(AB)=P(A)P(B|A).,(2),当,P(B)0,时，有,P(AB)=P(B)P(A|B).,乘法公式还可以推广到,n,个事件的情况：,(1),设,P(AB)0,时，则,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,同理还有,P(AC)0,，,P(BC)0,之下的乘法公式,.,(2),设,P(A,1,A,2,A,n-1,)0,则,P(A,1,A,2,A,n-1,)=P(A,1,)P(A,2,|A,1,),P(A,n,|A,1,A,2,A,n-1,).,例,1-21,在,10,个产品中,有,2,件次品,不放回的抽取,2,次产品,每,次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率,.,解,设,A,表示“第一次取产品取到次品”,B,表示“第二次取产,品取到次品”,则,故,例,1-22,盒中有,5,个白球,2,个黑球,连续不放回的在其中取,3,次球,求第三次才取到黑球的概率,.,解 设,A,i,(i=1,2,3),表示“第,i,次取到黑球”,于是所求概率为,例,1-23,设,P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求,P(A|B).,解,1.3.2,全概率公式与贝叶斯,(Bayes),公式,定义,1-3,设事件,A,1,A,2,A,n,满足如下两个条件：,(1)A,1,A,2,A,n,互不相容,且,P(A,i,)0,i=1,2,n;,(2)A,1,A,2,A,n,=,即,A,1,A,2,A,n,至少有一个发,生,则称,A,1,A,2,A,n,为样本空间,的一个,划分,.,全概率公式,设随机试验对应的样本空间为,设,A,1,A,2,A,n,是样本空间,的一个划分,B,是任意一个事件,则,注：全概率公式求的是,无条件概率,例,1-24,盒中有,5,个白球,3,个黑球,连续不放回地从中取两,次球,每次取一个,求第二次取球取到白球的概率,.,解,设,A,表示“第一次取球取到白球”,B,表示“第二次取球取到,白球”,则,由全概率公式得,例,1-25,在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占,30%,35%,35%,并且在各自的产品中废品率分别为,5%,4%,3%.,求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率,.,解,设,A,1,表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”,A,2,表示,“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”,A,3,表示“从该厂的这,种产品中任取一件产品为丙所生产”,B,表示“从该厂的这种产品中任取,一件为次品”,则,P(A,1,)=30%,，,P(A,2,)=35%,P(A,3,)=35%,P(B|A,1,)=5%,P(B|A,2,)=4%,P(B|A,3,)=3%.,由全概率公式得,例,1-26,设在,n(n1),张彩票中有,1,张奖券,甲、乙两人依次,摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率,.,解,设,A,表示“甲摸到奖券”,B,表示“乙摸到奖券”,.,现在目的是求,P(A),P(B),显然,P(A)=1,/n.,因为,A,是否发生直接关系到,B,的概率,即,于是由全概率公式得,这个例题说明,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所,谓的,“,抽签公平性,”,.,贝叶斯,(Bayes),公式,设,A,1,A,2,A,n,是样本空间的一个划分,B,是任一事件,且,P(B)0,则,例,1-27,在例,1-24,的条件下,若第二次取到白球,求第一次取,到黑球的概率,.,解,使用例,1-24,解中记号,所求概率为,由贝叶斯公式,注：,Bayes,公式求的是,条件概率,.,例,1-27,在例,1-25,的假设下,若任取一件是废品,分别求它,是甲、乙、丙生产的概率,.,解,由贝叶斯公式，,例,1-28,针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有,90%,呈阳性反应,而未患该病的人中,5%,呈阳性反应,.,设人群中有,1%,的人患这种病,.,若某人,做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少,?,解,设,A,表示“某人患这种病”，,B,表示“化验呈阳性反应”，则,由全概率公式得,再由贝叶斯公式得,本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有,15%,左右真,正患有该病,.,例题,小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每 月给他寄钱的概率是,0.8.,小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是,0.1,父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是,0.9.,求：,(1),小明能去上海看世博会的概率是多少？,(2),假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海,求他父母亲给他寄钱的概率各是多少？,1,、全概率公式及其应用；,(,求无条件概率,),小 结,2,、贝叶斯公式及其应用。,(,求条件概率,),定义,1-4,若,P,(,AB,),=P,(,A,),P,(,B,),则称,A,与,B,相互独立,简称,A,B,独立,.,性质,1-6,若,A,与,B,相互独立,则,A,与,B,A,与,B,A,与,B,都相互独立,.,1.4,事件的独立性,1.4.1,两事件独立,性质,1-5,设,P(,A,)0,则,A,与,B,相互独立的充分必要条件是,P(,B,)=P(,B|A,).,设,P(,B,)0,则,A,与,B,相互独立的充分必要条件是,P(,A,)=P(,A|B,).,以下四件事等价：,(1),事件,A,、,B,相互独立；,(2),事件,A,、,B,相互独立；,(3),事件,A,、,B,相互独立；,(4),事件,A,、,B,相互独立。,由性质,1-6,知,，,例,1-30,两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的,概率为,0.9,乙射中目标的概率为,0.8,求目标被击中的概率,.,解,设,A,表示“甲射中目标”,B,表示“乙射中目标”,C,表示“目,标被击中,”,则,C=AB,A,与,B,相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8,，,故,P(C)=P(A,B)=P(A)+P(B)-P(AB),=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.,或利用,对偶律,亦可,.,注,：,A,，,B,相互独立时,概率加法公式可以简化,即当,A,与,B,相互独立时,P(A,B)=1-P(A)P(B),例,1-31,袋中有,5,个白球,3,个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取,一个球,求两次取出的都是白球的概率,.,解,设,A,表示“第一次取球取到白球”,B,表示“第二次取球取到白球”,由,于是有放回抽取,A,与,B,是相互独立的,所求概率为,例,1-32,设,A,与,B,相互独立,A,发生,B,不发生的概率与,B,发生,A,不发生的,概率相等,且,P(A)=1,/3,，求,P(B).,即,解得,解,由题意，,P(AB)=P(AB),，因为,A,与,B,相互独立，则,A,与,B,，,A,与,B,都相互独立，故,P(A)P(B)=P(A)P(B),，,二、多个事件的独立,定义,1-5,若三个事件,A,、,B,、,C,满足：,P(,AB,)=P(,A,)P(,B,),P(,AC,)=P(,A,)P(,C,),P(,BC,)=P(,B,)P(,C,),则称事件,A,、,B,、,C,两两相互独立,；,若在此基础上还满足：,P(,ABC,),P(,A,)P(,B,)P(,C,),则称事件,A,、,B,、,C,相互独立,简称,A,、,B,、,C,独立,.,一般地,设,A,1,A,2,A,n,是,n,个事件,如果对任意,k(1,k,n),任意的,1,i,1,i,2,i,k,n,具有等式,P(A,i1,A,i2,A,ik,),P(A,i1,)P(A,i2,)P(A,ik,),则称,n,个事件,A,1,A,2,A,n,相互独立。,思考：,1.,设事件,A,、,B,、,C,、,D,相互独立，则,2,.,三个事件相互独立和两两独立的关系,.,A,U,B,与,CD,独立吗？,例,1-33,3,人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概,率分别为,1,/5,1/3,1/4.,求此密码被译出的概率,.,解法,1,设,A,B,C,分别表示,3,人能单独译出密码，则所求概率为,P(A,B,C),，且,A,B,C,独立，,P(A)=,1/5,，,P(B)=,1/3,，,P(C)=,1/4.,于是,解法,2,用,解法,1,的记号，,比较起来,解法,1,要简单一些,对于,n,个相互独立事件,A,1,A,2,A,n,其和事件,A,1,A,2,A,n,的概率可以通过下,式计算：,例,1-34,3,门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中,率分别为,0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率。,解,设,A,i,表示“第,i,门炮击中敌机”,i,=1,2,3,B,表示“敌机恰中一弹”,则,已知,P(A)=1/2,P(B)=1/3,且,A,B,相互独立,则,P()=_.,设随机事件,A,与,B,相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则,P(AB)=,.,设随机事件,A,与,B,相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则,P(A|B)=_,练 习,0.75,0.2,设两两独立的三个随机事件,A,，,B,，,C,满足,ABC=,，且,P(A)=P(B)=P(C)=,x,，则当,x,=,时，,P(ABC)=.,n,重贝努利,(Bernoulli),试验：,试验只要两个结果,A,和,A,而且,P(A)=p,0p1,.,将试验独立,重复进行,n,次,则称为,n,重贝努利试验,.,此类试验的概率模型成,为,贝努利概型,.,定理,1-1,在,n,重贝努利试验,中,设每次试验中事件,A,的概率为,p(,0p1,),事件,A,恰好发生,k,次的概率,1.4.2,n,重贝努利,(Bernoulli),试验,例,1-35,一射手对一目标独立射击,4,次,每次射击的命中率为,0.8,求：,（,1,）恰好命中两次的概率；,（,2,）至少命中一次的概率。,解,因每次射击是相互独立的,故此问题可看做,4,重贝努力试验,p=0.8,(1),设事件,A,2,表示“,4,次射击恰好命中两次,”,则所求的概率为,(2),设事件,B,表示“,4,次射击中至少命中一次,”,有,A,0,表示“,4,次射击都未命,中,”,则,故所求的概率为,例,1-36,一车间有,5,台同类型的且独立工作的机器,.,假设在任,一时刻,t,每台机器出故障的概率为,0.1,问在同一时刻,(1),没有机器出故障的概率是多少,?,（,0.59049,）,(2),至多有一台机器出故障的概率是多少？（,0.91854,）,例,1-37,转炉炼钢,每一炉钢的合格率为,0.7.,现有若干台转炉,同时冶炼,.,若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为,99%.,问同时至少要有几台转炉炼钢？（,4,台）,某气象站天气预报的准确率,0.8,，且各次预报之间相互独立,.,试求：,（,1,）,5,次预报全部准确的概率,p,1,；,（,2,）,5,次预报中至少有,1,次准确的概率,p,2,；,（,3,）,5,次预报中至少有,4,次准确的概率,p,3,;,（,4,）,5,次预报中至多有,1,次准确的概率,p,4,;,（,5,）直到第,5,次才预报准确的概率,p,5,.,练 习,小 结,1,、事件的独立性；,2,、,n,重贝努利,(,Bernoulli,),试验,.,第二章随机变量,随机变量概念,分布函数的概念和性质,离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量概率密度函数,随机变量函数分布,2.1,.1,随机变量的概念,定义,2.1,设,E,是随机试验，样本空间为,，如果对每一个结果（样本点）,，有一个实数,X(),与之对应，这样就得到一个定义在,上的实值函数,X=X(),称为随机变量,.,随机变量常用,X,，,Y,，,Z,，,.,或,X,1,，,X,2,，,X,3,，,.,顾名思义，随机变量就是,“,其值随机会而定,”,的变量，正如随机事件是,“,其发生与否随机会而定,”,的事件机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率最简单的例子如掷骰子，掷出的点数,X,是一个随机变量，它可以取,1,，,，,6,等,6,个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，,“,随机,”,的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了比如你在星期一买了,张奖券，到星期五开奖在开奖之前，你这张奖券中奖的金额,X,是一个随机变量，其值耍到星期五的,“,抽奖试验,”,做过以后才能知道,2.1.2,离散型随机变量及其分布律,定义,2-2,若随机变量,X,只能取有限多个或可列无限多个值，则称,X,为离散型随机变量。,定义,2-3,X,为离散型随机变量，可能取值为,x1,x2,xn,且,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),则称,Pk,为,X,的,分布律,或分布列，概率分布。,X,x,1,x,2,x,K,P,k,p,1,p,2,p,k,分布律也可用表格形式表示,2.2,离散型随机变量,(P25),定义 若随机变量,X,取值,x,1,x,2,x,n,且取这些值的概率依次为,p,1,p,2,p,n,则称,X,为离散型随机变量，而称,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),为,X,的,分布律,或概率分布。可表为,X,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),，,或,X,x,1,x,2,x,K,P,k,p,1,p,2,p,k,分布律,P,k,具有下列性质：,反之，若一个数列,P,k,具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。,例,2-1,设离散型随机变量,X,的分布律为,X 0 1 2,P 0.2 C 0.3,求常数,C.,例,2-2,投一枚质地均匀的骰子，记,X,为出现的点数，求,X,的分布律。,例,2-3,袋子里有,5,个同样大小的球，编号为,1,，,2,，,3,，,4,，,5.,从中同时取出,3,个球，记,X,为取出球的最大编号，求,X,的分布律,.,例,2-4,已知一批零件共,10,个，其中有,3,个不合格,.,现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数,X,的分布律。,例,2-5,对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止,.,如果每次射击的命中率为,p,，求射击次数,X,的分布律,.,2.1.3 0-1,分布与二项分布,定义,2-4,若随机变量,X,只取两个可能值,0,，,1,，且,PX=1=p,，,PX=0=q,，,X 0 1,P q p,定义,2-5,若随机变量,X,的可能取值为,0,，,1,，,2,，,.,n,而,X,的分布律为,其中,0p9,；,(2),若该顾客一个月内去银行,5,次,以,Y,表示他未等到服务而离开窗口的次数,即事件,X9,在,5,次中发生的次数,，试求,PY=0,。,练 习,练 习,司机通过某高速路收费站等候的时间,X,（单位：分钟）服从参数为,=,的指数分布,.,（,1,）,求某司机在此收费站等候时间超过,10,分钟的概率,p,；,（,2,）若该司机一个月要经过此收费站两次，用,Y,表示等候时间超过,10,分钟的次数，写出,Y,的分布律，并求,PY1.,2.3.3,正态分布,定义,2-11,习惯上,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线,.,正态分布曲线的性质如下：,标准正态分布,设随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,),且,f,(-,x,)=,f,(,x,),F,(,x,),是,X,的分布函数,则对任意的实数,a,有（）,A,.,F,(,-a,),=,1,-,B,.,F,(,-a,),=,C,.,F,(,-a,),=F,(,a,),D,.,F,(,-a,),=2F,(,a,),-,1,结 论,由此看出：尽管正态分布取值范围是,但它的值落在 的概率为,0.9973,几乎是肯定的,这个性质被称为正态分布的“规则”,.,练 习,某地抽样调查结果表明,某次统考中,考生的数学成绩,(,百分制,)X,服从正态分布,N(72,2,),，,且,96,分以上的考生占考生总数的,2.3%.,试求考生的数学成绩在,6084,分之间的概率,.,设测量距离时产生的随机误差,X,N,(,0,10,2,)(,单位：,m),，现作三次独立测量，记,Y,为三次测量中误差绝对值大于,19.6,的次数，已知,(,1.96,),=0.975.,(1),求每次测量中误差绝对值大于,19.6,的概率,p,;,(2),问,Y,服从何种分布，并写出其分布律；,(3),求,E(,Y,).,已知自动车床生产的零件长度,X(,毫米,),服从正态分布,N(50,0.75,2,),如果规定零件长度 在 之间为合格品，求生产的零件是合格品的概率,.,定义,2-12,常用的上侧分位数,以上这些值都是通过反查附表,1,得到,.,2.4.1,离散型随机变量函数的分布律,2.4,随机变量函数的概率分布,设,X,一个随机变量，分布律为,X,PX,x,k,p,k,k,1,2,g(x),是一给定的连续函数，称,Y,g(X),为随机变量,X,的一个函数，显然,Y,也是一个随机变量,.,本节将讨论如何由已知的随机变量,X,的概率分布去求函数,Y,g(X),的概率分布,.,一般地,X,P,k,Y=g(x),的可能取值为,注意,中可能有相,等的情况,.,Y,P,例,2-24,设随机变量,X,的分布律为,X,P,-1 0 1 2,0.2 0.1 0.3 0.4,求,:,(1),Y=X,3,的分布律,.(2),Z=X,2,的分布律,.,解,(1)Y,的可能取值为,-1,，,0,，,1,，,8.,由于,Y,P,-1 0 1 8,0.2 0.1 0.3 0.3,从而,Y,的分布律为,(2)Z,的可能取值为,0,，,1,，,4.,从而,Z,的分布律为,Z,P,0 1 4,0.1 0.5 0.4,例,2-25,设随机变量,X,的分布律为,解,因为,所以,Y,只能取值,-1,0,1,而取这些值的概率为,故,Y,的分布律为,Y,P,例,2-26,1.,已知随机变量的分布律为,且,Y=X,2,记随机变量,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),F,Y,(3)=_.,练 习,2.,袋中装有,5,只球，编号为,1,2,3,4,5,现从袋中同时取出,3,只,以,X,表示取出的,3,只球中的最大号码,试求,:,（,1,）,X,的概率分布,;,（,2,）,X,的分布函数,;,（,3,）,Y=X,2,+,1,的概率分布。,2.4.2,连续型随机变量函数的概率分布,例,2-27,例,2-29,解,例,2-30,此分布称为,对数正态分布,.,以上各例中求,Y=g,(,X,),的概率密度的方法都是应用定理,故称为“,公式法,”,.,需要注意的是,它仅适用于“单调型”随机变量函数,即要求,y,=,g,(,x,),为单调函数,.,如果,y=g,(,x,),不是单调函数,求,Y,=g(,X,),的概率密度较复杂,.,解,则,例,2-31,中求随机变量函数的概率密度的方法称为“,直接变换法,”,它同样适应于,非单调型随机变量,的情况,.,当然例,2-31,也可以直接利用定理中的公式求解,.,1.,设随机变量,X,U,(0,，,5),，且,Y,=2,X,，则当,0,y,10,时，,Y,的概率密度,f,Y,(,y,)=_.,.,2.,设随机变量,XN(1,4),Y=2X+1,则,Y,所服从的分布,为,(),N(3,4)B.N(3 ,8),C.N(3,16)D.N(3,17),练 习,3.,设,X,U,(-1,1),求,Y=X,2,的分布函数与概率密度,.,4.,设随机变量,X,U,(0,2),求随机变量,Y=X,2,在,(0,4),内的概率密度函数,f,Y,(,y,),.,5.,设随机变量,X,服从参数为,3,的指数分布,.,试求：,(1),求,X,的分布函数,(2),求,(3),令,Y,=2,X,求,Y,的概率密度,5.,随机变量,X,的概率密度为,第三章 多维随机变量及其概率,3.1,二维随机变量的概念,3.1.1,二维随机变量及其分布函数,边缘分布函数：,(,X,Y,),的两个分量,X,与,Y,各自的分布函数分别为二维随机变量,(,X</p>