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备战中考数学复习《一元二次方程组》专题综合练习含详细答案

一、一元二次方程
1．有关x方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出取值范围；
（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.

2．李明准备进行如下操作试验，把一根长40 cm铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一种正方形．
(1)要使这两个正方形面积之和等于58 cm2，李明应当怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形面积之和不也许等于48 cm2，你认为他说法对吗？请阐明理由．
【答案】 (1) 李明应当把铁丝剪成12 cm和28 cm两段；(2) 李明说法对，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成较短这段为xcm，较长这段就为（40﹣x）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成较短这段为mcm，较长这段就为（40﹣m）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于48cm2建立方程，假如方程有解就阐明李明说法错误，否则对．
试题解析：设其中一段长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不也许使得两正方形面积之和为48cm2，李明说法对．
考点：1．一元二次方程应用；2．几何图形问题．

3．已知有关x一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）若方程一种根是2，求m值及方程另一种根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m值为±，方程另一种根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，运用根鉴别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程根，运用代入法即可求解m值，然后还原方程求出另一种解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）解：∵方程一种根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m值为±，方程另一种根是5．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程根鉴别式，纯熟掌握一元二次方程根鉴别式与根关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

4．解方程：．
【答案】x=或x=1
【解析】
【分析】
设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴或．
解得x=或x=1．
经检查：x=或x=1都是原方程解．
∴原方程解是x=或x=1．
【点睛】
考察了还原法解分式方程，用换元法解某些复杂分式方程是比较简单一种措施，根据方程特点设出对应未知数，解方程可以使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

5．元旦期间，某超市销售两种不一样品牌苹果,已知1公斤甲种苹果和1公斤乙种苹果进价之和为18元.当销售1公斤甲种苹果和1公斤乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购置3公斤甲种苹果和4公斤乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果进价分别是每公斤多少元？
（2）在（1）状况下，超市平均每天可售出甲种苹果100公斤和乙种苹果140公斤，若将这两种苹果售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10公斤，超市决定把这两种苹果售价提高x元，在不考虑其他原因条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果进价分别为10元/公斤,8元/公斤；（2）值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果进价分别为元/公斤, 元/公斤.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果进价分别为10元/公斤,8元/公斤
（2）由题意得：
解之得：，
经检查，，均符合题意
答：值为2或7.
【点睛】
本题考察了二元一次方程组和一元二次方程实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

6．小王经营网店专门销售某种品牌一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元
【解析】
【分析】
表达出一件利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.
【详解】
设每天获得利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元．
【点睛】
本题考察了一元二次函数实际应用,中等难度,熟悉函数性质是解题关键.

7．已知两条线段长分别是一元二次方程两根，
（1）解方程求两条线段长。
（2）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形面积。
（3）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形面积。
【答案】（1）2和6；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最终求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得，
即：或，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上高为：
∴此等腰三角形面积为=．
（3）设分为及两段

∴，
∴，
∴面积为.
【点睛】
本题考察了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考察知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题关键.

8．已知有关x一元二次方程．
若此方程有两个实数根，求m最小整数值；
若此方程两个实数根为，，且满足，求m值．
【答案】（1）最小整数值为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）运用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：

方程有两个实数根
，即

最小整数值为
（2）由根与系数关系得：，
由得：
，

【点睛】
本题考察了根鉴别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

9．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反应:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期销售量为y箱．
（1）求y与x之间函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期销售利润达到3570元？
（3）当每箱售价为多少元时，每星期销售利润最大，最大利润多少元?
【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元
【解析】
【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售数量为60-x,
（2）解一元二次方程即可求解,
（3）表达出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),
(2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570,
解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期销售利润达到3570元.
（3）设每星期利润为w，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,
∵-100,二次函数向下,函数有最大值,
当x=59时, 利润最大，为3610元.
【点睛】
本题考察了二次函数实际应用,中等难度,熟悉二次函数实际应用是解题关键.

10．已知有关x方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试阐明：此方程总有两个实数根．
(2) 假如此方程两个实数根都为正整数，求整数m值.
【答案】(1)≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，运用非负数性质得到△≥0，然后根据鉴别式意义即可得到结论；
（2）运用公式法可求出x1=，x2=-1，然后运用整除性即可得到m值．
详解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是有关x一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根鉴别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△=0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察理解一元二次方程．

11．已知有关x一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m取值范围；
（2）假如方程两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据鉴别式意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再运用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和运用（1）中结论可确定满足条件m取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，因此2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤4，因此m范围为3≤m≤4．

12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：
（1）若要每天利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同步也为了提高这种文化衫认知度，商店决定在“五一”节当日开展促销活动，若销售单价在（1）中最低销售价基础上再减少m%，则日销售量可以在150件基础上增长m件，成果当日销售额达到5670元；要使销售量尽量大，求出m值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
【解析】
试题分析：（1）根据利润公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽量大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程应用；一元一次不等式应用．

13．若两个一次函数图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为　 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝　 ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0两根，求它们“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a值；
（2）根据“x牵手函数”定义得到a+b=0，根据根与系数关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种状况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
因此x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
因此0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1“x牵手点”为；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1“x牵手点”为（，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为或（，0）
【点睛】
本题考察了根与系数关系、一次函数性质和一次函数图象上点坐标特征运用．

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s速度移动，两点同步出发．
(1)问几秒后，△PBQ面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ长为4cm ?
(3)△PBQ面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请阐明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q通过t秒，使△PBQ面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出体现式，解答出即可；
（2）设通过x秒后线段PQ长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，运用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ面积表达出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q通过t秒时，△PBQ面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q通过2或4秒时，△PBQ面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故通过秒或2秒后，线段PQ长为4 cm；
(3)设通过y秒，△PBQ面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握一元二次方程应用是本题解题关键.

15．阅读材料：各类方程解法
求解一元一次方程，根据等式基本性质，把方程转化为x=a形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程解法不尽相似，不过它们有一种共同基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”数学思想，我们还可以解某些新方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程解。
（1）问题：方程解是，_____，_____。
（2）拓展：用“转化”思想求方程解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD长，宽，小华把一根长为10m绳子一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD、DC走到点C处，把长绳剩余一段拉直，长绳另一端恰好落在点C。求AP长。

【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程具有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.
【详解】
（1）x3-x2-2x=0，
x（x2-x-2）=0，
x（x-2）（x+1）=0
因此x=0或x-2=0或x+1=0
∴x1=0，x2=2，x3=-1；
故答案为： 2，-1；
（2）
方程两边平方，得4x-3=x2
即x2-4x+3=0
（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0或x-1=0
∴x1=3，x2=1，
当x=3或1时,故意义，故是方程解.
（3）由于四边形ABCD是矩形，
因此∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,
设AP=xm，则PD=（6-x）m
由于BP+CP=10，BP=,CP= ,
因此=10-
两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16
整理，得3x+16=5,
两边平方并整理，得x2-6x+9=0
即（x-3）2=0
因此x=3．
经检查，x=3是方程解．
答：AP长为3m．
【点睛】
考察了转化思想措施，一元二次方程解法．解无理方程是注意到验根．处理（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．