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备战中考数学二次函数综合热点考点难点附答案解析

一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）“衍生直线”；有一种顶点在抛物线上，另有一种顶点在y轴上三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线“衍生直线”解析式为 ，点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C对称点为N，若△AMN为该抛物线“衍生三角形”，求点N坐标；
（3）当点E在抛物线对称轴上运动时，在该抛物线“衍生直线”上，与否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；
（2）N点坐标为（0，），（0，）；
（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线“衍生直线”懂得二次函数解析式a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON长，可求出N点坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形边时，当AC为平行四边形对角线时，求出满足条件E、F坐标即可
【详解】
（1）∵，a=，则抛物线“衍生直线”解析式为；
联立两解析式求交点，解得或，
∴A（-2，），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2，），
∴AC=
由翻折性质可知AN=AC=，
∵△AMN为该抛物线“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN=，
∵OD=，
∴ON=或ON=，
∴N点坐标为（0，），（0，）；

（3）①当AC为平行四边形边时，如图2 ，过F作对称轴垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中

∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK=，
∵抛物线对称轴为x=-1，
∴ F点横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴距离为EH-OF=-=，即E纵坐标为-，
∴ E（-1，-）；
当F点横坐标为-2时，则F与A重叠，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2，），
∴线段AC中点坐标为（-2.5， ），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=，
∴x= -4，y=-t，
-t=-×（-4）+，解得t=，
∴E（-1，），F（-4，）；
综上可知存在满足条件点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）

【点睛】
本题是对二次函数综合知识考察，纯熟掌握二次函数，几何图形及辅助线措施是处理本题关键，属于压轴题

2．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线顶点，点B在x轴上。

（1）求抛物线解析式；
（2）在（1）中抛物线第二象限图象上与否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q坐标。
【答案】解：（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）.
【解析】
【分析】
（1）已知点A坐标可确定直线AB解析式，深入能求出点B坐标．点A是抛物线顶点，那么可以将抛物线解析式设为顶点式，再代入点B坐标，根据待定系数法可解.
（2）首先由抛物线解析式求出点C坐标，在△POB和△POC中，已知条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一种直角后容易发现，点P恰好在第二象限角平分线上，联立直线y=-x与抛物线解析式，直接求交点坐标即可，同步还要注意点P在第二象限限定条件.
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出有关相似三角形，根据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴，即=，∴DQ1＝，
∴OQ1＝，即Q1（0，-）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴，即，
∴OQ2＝，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，
∴，即
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天定价每增长10元时，就会有一种房间空闲．对有游客入住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元多种费用．
设每个房间每天定价增长x元．求：
（1）房间每天入住量y（间）有关x（元）函数关系式；
（2）该宾馆每天房间收费p（元）有关x（元）函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天利润w（元）有关x（元）函数关系式；当每个房间定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60-；（2）z=-x2+40x+1；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天入住量=60个房间﹣每个房间每天定价增长钱数÷10；
（2）已知每天定价增长为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天房间收费=每天实际定价×房间每天入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），运用配措施化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得：
y=60﹣
（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+1
（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）
=﹣+42x+10800
=﹣（x﹣210）2+15210
当x=210时，w有最大值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
点睛：求二次函数最大（小）值有三种措施，第一种可由图象直接得出，第二种是配措施，第三种是公式法．本题重要考察是二次函数应用，难度一般．

4．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内一种动点，且点P横坐标为t．
（1）求抛物线体现式；
（2）设抛物线对称轴为l，l与x轴交点为D．在直线l上与否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请阐明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC面积为S．
①求S有关t函数体现式；
②求P点到直线BC距离最大值，并求出此时点P坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC距离最大值为，此时点P坐标为（，）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B坐标，运用待定系数法即可求出抛物线体现式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种状况考虑：当t=2时，由抛物线对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C坐标运用平行四边形性质可求出点P、M坐标；当t≠2时，不存在，运用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C坐标运用待定系数法可求出直线BC解析式，根据点P坐标可得出点F坐标，进而可得出PF长度，再由三角形面积公式即可求出S有关t函数体现式；
②运用二次函数性质找出S最大值，运用勾股定理可求出线段BC长度，运用面积法可求出P点到直线BC距离最大值，再找出此时点P坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得，解得：，
∴抛物线体现式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P有关直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，
∵抛物线体现式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），点P坐标为（2，3），
∴点M坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C横坐标为0，点E横坐标为0，
∴点P横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得，解得：，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；
②∵﹣＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为．
∵点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3），
∴线段BC=，
∴P点到直线BC距离最大值为，
此时点P坐标为（，）．

【点睛】本题考察了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形判定与性质、三角形面积、一次（二次）函数图象上点坐标特征以及二次函数性质，解题关键是：（1）由点坐标，运用待定系数法求出抛物线体现式；（2）分t=2和t≠2两种状况考虑；（3）①运用三角形面积公式找出S有关t函数体现式；②运用二次函数性质结合面积法求出P点到直线BC距离最大值．

5．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B有关抛物线对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线体现式；
（2）直接写出点C坐标，并求出△ABC面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，与否存在这样点P，使得△ABP面积为△ABC面积2倍？若存在，求出点P坐标，若不存在，请阐明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN面积．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P坐标为（5，－5）；（4）或5．
【解析】
试题分析：（1）运用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴，运用对称性即可写出点C坐标，运用三角形面积公式即可求面积；
（3）运用三角形面积以及点P所处象限特点即可求；
（4）分状况进行讨论，确定点M、N，然后三角形面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，
∴抛物线体现式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线体现式为y＝－x2＋4x，∴抛物线对称轴为直线x＝2．
又C，B有关对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．
∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P坐标为（5，－5）．
（4）或5．
提醒：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种状况不存在．

【点睛】本题是二次函数综合题，重要考察待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形判定等，能对地根据题意确定图形，分状况进行讨论是解题关键.

6．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．
（1）当抛物线F通过点C时，求它解析式；
（2）设点P纵坐标为yP，求yP最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2大小.

【答案】(1) ；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线F：y=x2-2mx+m2-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F体现式；
（2）根据题意，可以求得yP最小值和此时抛物线体现式，从而可以比较y1与y2大小.
【详解】
(1) ∵抛物线F通过点C（－1，－2），
∴.
∴m1=m2=-1.
∴抛物线F解析式是.
(2)当x=-2时，=.
∴当m=-2时，最小值为－2.
此时抛物线F体现式是.
∴当时，y随x增大而减小.　
∵≤－2，
∴>.
【点睛】
本题考察二次函数性质、二次函数图象上点坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题关键是明确题意，找出所求问题需要条件，运用数形结合思想解答问题．

7．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，与过点C且平行于x轴直线交于另一点，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点在轴上，若以，，，为顶点四边形是平行四边形，求此时点坐标；
（3）过点作直线CD垂线，垂足为，若将沿翻折，点对应点为．与否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，阐明理由．

【答案】（1）；点坐标为； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）满足条件点有两个，其坐标分别为：（， ），（，）．
【解析】
【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线解析式,令y=2可得出点D坐标
(2)分两种状况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标
(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P坐标为(，),分状况讨论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形性质进行求解即可
【详解】
解：（1）∵抛物线通过，两点，
∴，解得：，，
∴抛物线解析式为：；
当时，，解得：，（舍），即：点坐标为．
（2）∵，两点都在轴上，∴有两种也许：
①当为一边时，∥，此时点与点重叠（如图1），∴，
②当为对角线时，点、点到直线（即轴）距离相等，
∴点纵坐标为（如图2），

把代入抛物线解析式，得：，
解得：，，
∴点坐标为，，
综上所述：； ； ．
（3）存在满足条件点，显然点在直线下方，设直线交轴于，
点坐标为（，），
①当点在轴右侧时（如图3），

，
，
又∵，
∴,
又，∴，
∴，
∵，，，∴，∴，
∴，＝＝，
即，∴点坐标为（，），
②当点在轴左侧时（如图4），

此时，，＝＝，
＝－（）＝，
又∵，，
∴，又
∴，∴，
∵，，，
∴，∴，
∴，
＝＝，
此时，点坐标为（，）．
综上所述，满足条件点有两个，其坐标分别为：（，），（，）．
【点睛】
此题考察二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法出解析式，难度较大

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方部分沿直线y＝a翻折，图象其他部分保持不变，得到一种新图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，求a取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可求A，根据平移点特点求B；
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段上方，当函数通过点A时，AB与函数两个交点临界点；
【详解】
解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；
（2）当函数通过点A时，a＝0，
∵图形M与线段AB恰有两个公共点，
∴y＝a要在AB线段上方，
∴a＞﹣3
∴﹣3＜a≤0；
【点睛】
本题二次函数图象及性质；纯熟掌握二次函数图象特点，函数与线段相交交点状况是解题关键．

9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M坐标是（，），对称轴交AB于点N．
①求抛物线解析式；
②与否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并阐明理由；
（2）与否存在这样点D，使得四边形BOAD面积最大？若存在，求出此时点D坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D坐标是（1，4）．
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点坐标特征求得点B坐标，设抛物线解析式为y＝a，把点B坐标代入求得a值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，因此当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝，通过解方程求得m值，易得点N、P坐标，然后推知PN＝MN与否成立即可；
（2）设点D坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M坐标是，
∴设抛物线解析式为y＝（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线解析式为：y＝＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝对称轴是直线x＝，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N坐标是．
∴．
设点P坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝．
解得 m1＝（舍去），m2＝．
此时P（，1）．
∵PN＝，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在，理由如下：
设点D坐标是（n，﹣2n2+2n+4），
∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，
∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB•OA＝×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）
＝yD﹣yP
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD获得最大值2，S四边形BOAD有最大值．
此时点D坐标是（1，4）．

【点睛】
重要考察了二次函数解析式求法和与几何图形结合综合能力培养．要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D坐标，OE等于多少；
（2）OE长与否与a值有关，阐明你理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n有关m函数解析式及自变量m取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD解析式即可处理问题；
(2)运用参数a，求出直线CD解析式求出点E坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下a值即可判断；
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形性质即可处理问题.
【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣，
∴45°≤β≤60°，a取值范围为﹣≤a≤﹣1．
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m值1，
∵抛物线顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1(m＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考察了二次函数图象与性质。

11．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线对称轴上与否存在一点P，使四边形ACPO周长最小？若存在，求出点P坐标，若不存在，请阐明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC垂线，垂足为N．问：与否存在这样点N，使以点M、N、C为顶点三角形与△AOC相似，若存在，求出点N坐标，若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）运用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表达点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1
（2）存在
使四边形ACPO周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）有关直线x=1对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=-x
则P点坐标为（1，-）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D有关AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C有关直线x=1对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考察了待定系数、两点之间线段最短数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论数学思想．

12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数体现式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方一种动点，求面积最大值；
（3）抛物线对称轴上与否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点坐标，若不存在请阐明理由.
【答案】（1）二次函数解析式为；（2）当时，面积获得最大值；（3）点坐标为，，.
【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表达△ADE面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种状况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c通过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
因此二次函数解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE面积获得最大值为．
（3）y=对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种状况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题重要考察二次函数综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积最大值，会分类讨论处理等腰三角形顶点存在问题时处理此题关键．

13．如图①，抛物线与x轴交于A、B两点(点A位于点B左侧)，与y轴交于点C，已知面积为6.
(1)求值；
(2)求外接圆圆心坐标；
(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧不一样两点，若点P到x轴距离为d，面积为，且，求点Q坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q.
【解析】
【分析】
（1）运用抛物线解析式得到A、B、C三点坐标，然后运用三角形面积公式列出方程解出a；（2）运用第一问得到A、B、C三点坐标，求出AC解析式，找到AC垂直平分线解析式，与AB垂直平分线解析式联立，解出x、y即为圆心坐标；（3）过点P做PD⊥x轴，PD=d，发现△ABP与△QBP面积相等，得到A、D两点到PB得距离相等，可得，求出PB解析式，与二次函数解析式联立得到P点坐标，又易证，得到BQ=AP=，设出Q点坐标，点与点距离列出方程，解出Q点坐标即可
【详解】
(1)解：由题意得
由图知：
因此A()，,
=6

∴
(2)由(1)得A()，,
∴直线AC得解析式为：
AC中点坐标为
∴AC垂直平分线为：
又∵AB垂直平分线为：
∴ 得
外接圆圆心坐标(-1，1).
(3)解：过点P做PD⊥x轴
由题意得：PD=d，

∴
=2d
∵面积为
∴，即A、D两点到PB得距离相等
∴
设PB直线解析式为;过点
∴
∴易得
因此P(-4,-5),
由题意及
易得：
∴BQ=AP=
设Q(m，-1)()
∴

∴Q.
【点睛】
本题考察二次函数综合性问题，波及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a表达出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于可以求出PB解析式

14．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．
（1）求抛物线解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积最大条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上与否存在一种以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切圆？若存在，求出圆心Q坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）y=x2+x﹣2；（2）9；（3）点Q坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．
【解析】
（1）如答图1所示，运用已知条件求出点B坐标，然后用待定系数法求出抛物线解析式．
（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积体现式，然后运用二次函数性质求出其最大值．
（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2交点F坐标，从而确定了Rt△AGF各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，运用相似线段比例关系列出方程，求出点Q坐标．
考点：二次函数综合题，曲线上点坐标与方程关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形判定和性质，圆切线性质．

15．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

（1）求抛物线函数关系式；
（2）点N为抛物线上一种动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N横坐标为t（），求△ABN面积S与t函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴上方，则NP等于点N纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t函数关系式；
（3）由相似三角形性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种状况讨论，由PN=2PO得到有关t方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线函数关系式为：，即；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N坐标为（1，2）．
综上所述：点N坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形性质．