2024年中考数学（湖南长沙）第三次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第三次模拟考试（湖南长沙卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．年是龙年，本次春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”，请问的相反数是（    ）
A． B． C． D．
2．把点向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
5．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（    ）
A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据，，，，的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定

7．如图，直线，线段交，于D，B两点，过点A作，交直线于点C，若，则（    ）

A．70° B．100° C．110° D．160°
8．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线分别交、于点P、Q，则的长是（　　）

A．1 B． C． D．
10．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．

根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（    ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式有意义，则a的取值范围为 ．

12．方程 的解是 ．
13．一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球个，它们除颜色外，其他都相同．小婷从中随机抽取一个小球后又放回，经过反复试验，发现从中抽取的小球中红色小球和黄色小球的次数的比稳定在左右，那么估计红色小球的个数为 ．
14．如图，的半径为是的内接三角形，半径于点．当时，的长是 ．

15．关于x的一元二次方程没有实数解，则m的取值范围是 ．
16．如图，已知一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像在第一象限交于点．若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）

(1)求B点与支撑柱的距离；
(2)若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
20．某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
组别
时间（分钟）
频数
A

6
B

14
C

D

8
E

4

请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小明说：“我的书面作业完成时间是此次问卷调查所得数据的中位数.”那么小明书面作业完成时间在哪个范围内？
(4)若E组有两名男生和两名女生，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
21．如图，在中，，是的平分线，过点作于点，延长交的延长线于点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．为增加校园绿化面积，某校计划在林荫道边栽种甲、乙两种树苗．已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共花费元，购买棵乙种树苗比棵甲种树苗多花费元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元；
(2)若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的倍，则购买甲、乙两种树苗至少要花费多少线？请写出购买方案．
23．如图，在矩形中，已知，，点是线段上的一个动点，连接并延长，交射线于点．点与点关于直线对称，延长交于点，连接．

(1)求证：；
(2)如图，若点恰好落在对角线上，求的值；
(3)若，求线段的长．
24．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．

(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；
(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．
25．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．

2024年中考第三次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．年是龙年，本次春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”，请问的相反数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相反数的概念：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，的相反数是．
【详解】且与符号相反
是的相反数．
故选：B．
2．把点向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先按照平移规律得到，再按关于原点对称得到即可．
【详解】解：把点向上平移3个单位后得到，再关于原点对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】此题考查了点的平移和关于原点对称，熟练掌握规律是解题的关键．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘等知识点，根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】
解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；  
C. ，故该选项错误，不符合题意；   
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将数据万用科学记数法表示为．
故选：A．
6．下列说法正确的是（    ）
A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据，，，，的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
【分析】本题考查了统计与概率的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、事件可能性大小判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．如图，直线，线段交，于D，B两点，过点A作，交直线于点C，若，则（    ）

A．70° B．100° C．110° D．160°
【答案】C
【分析】利用垂直定义可得的度数, 根据三角形外角的性质求得，再利用平行线的性质可得的度数即可解答．
【详解】解：∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了垂直定义、三角形外角的性质、平行线的性质等知识点,明确各角之间的关系是解答本题的关键．
8．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是根据切线的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵与相切于点，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵在中，是圆心角且所对的弧是，是圆周角且所对的弧也是，
∴，
即的度数是．
故选：A．
9．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线分别交、于点P、Q，则的长是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，根据勾股定理求得，推得，根据垂直平分线的性质可得，，根据正切的定义即可得到．
【详解】∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，
∴，
在中，，
∴，
∵分别以点A，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线分别交、于点P、Q，
即垂直平分，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，线段垂直平分线的性质，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
10．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．

根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先计算，然后结合题意，根据图示表示出625即可求解．
【详解】解：，
根据题意，6、2、5，表示如下：

故选：D
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．要使代数式有意义，则a的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：代数式有意义，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
12．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球个，它们除颜色外，其他都相同．小婷从中随机抽取一个小球后又放回，经过反复试验，发现从中抽取的小球中红色小球和黄色小球的次数的比稳定在左右，那么估计红色小球的个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据利用频率估计红色小球和黄色小球的次数的比稳定在左右，列方程求解可得．解题的关键是理解：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．也考查了分式方程的应用．
【详解】解：设红色小球的个数为，
根据题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴估计红色小球的个数为．
故答案为：．
14．如图，的半径为是的内接三角形，半径于点．当时，的长是 ．

【答案】
【分析】
本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵的半径为，

∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
15．关于x的一元二次方程没有实数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程的判别式．
16．如图，已知一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像在第一象限交于点．若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，
把代入，得：；
把代入，得，
∴，，B，
∵一次函数的值随值的增大而增大，
∴点只能在点与点之间，
∴的取值范围是．
故答案为：．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：．
【答案】
【分析】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则；根据绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则解题即可．
【详解】解：

．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
此题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式，再把字母的值代入计算即可．
【详解】

当时，
原式．
19．为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）

(1)求B点与支撑柱的距离；
(2)若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，，，

∴，
∴，
∴B点与支撑柱的距离为；
（2）如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，
则，四边形，四边形为矩形，

∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴路灯C离地面的距离为．
20．某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
组别
时间（分钟）
频数
A

6
B

14
C

D

8
E

4

请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小明说：“我的书面作业完成时间是此次问卷调查所得数据的中位数.”那么小明书面作业完成时间在哪个范围内？
(4)若E组有两名男生和两名女生，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【详解】（1）解：抽取的总人数（人），
，
故答案为：；
（2）如图；

（3）因为50个数的中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数在B组，
所以小明书面作业完成时间在范围内；
（4）所画树状图如图所示，

总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，所以抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．如图，在中，，是的平分线，过点作于点，延长交的延长线于点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
22．为增加校园绿化面积，某校计划在林荫道边栽种甲、乙两种树苗．已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共花费元，购买棵乙种树苗比棵甲种树苗多花费元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元；
(2)若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的倍，则购买甲、乙两种树苗至少要花费多少线？请写出购买方案．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格为元，乙种树苗每棵的价格为元，购买甲、乙两种树苗的费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种树苗每棵的价格为元，乙种树苗每棵的价格为元．
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买甲、乙两种树苗的费用为元，
根据题意得：，
解得：，
购买甲、乙两种树苗需要花费：，
∵
∴随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时（元），
则（棵），
答：购买甲、乙两种树苗至少要花费元钱，此时购买甲种树苗棵，乙种树苗棵．
23．如图，在矩形中，已知，，点是线段上的一个动点，连接并延长，交射线于点．点与点关于直线对称，延长交于点，连接．

(1)求证：；
(2)如图，若点恰好落在对角线上，求的值；
(3)若，求线段的长．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为矩形，，，
∴，，，
由（1）知：，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵点是线段上的一个动点，
由（2）知：当点恰好落在对角线上时，，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，设的延长线交于点，如图3，
∵由，
∴，
∴，即，
∴，
由（1）可知：，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴．

24．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．

(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；
(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．
【详解】（1）解：若平行四边形是“奇妙四边形”，则四边形是正方形．
理由∶
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴矩形是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径，分别连接，，，，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）解：连接交于E，设的长度为a，，

∵，，
∴，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
整理得，
∴
∴，
又，
∴，
∴a有最小值2，
即的长度最小值为2，
∴，
解得∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
25．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【详解】（1）解：当时，则：，
∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
（3）∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．