鲁教版初中数学知识梳理(代数).doc

初中数学知识—（代数部分）
目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数
一、数及运算
1—1数新的扩充
初中一开始引入《负数》的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到《有理数》，以后再引入《无理数》的概念，数的范围由有理数，扩充的《实数》（七册上）。最后一次引入《虚数》的概念。数的范围由实数扩充的《复数》。这是高中学习的内容。
1—2实数的运算
实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
交换律： a＋b＝b＋a
又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，这样把乘、除看做同一种运算。它们满足：
结合律： （a·b）·c＝a·（b·c）
交换律： a·b＝b·a
分配律： a·（b＋c）＝a·b＋a·c
又有分数指数的的意义，＝ (α≥0，m＞0,n＞0)。这样乘方、开方又统一起来。
对于乘方运算，要熟练理解和掌握以下概念：乘方，幂，底数，指数（第六册上）。
求n个相同的因数a的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。叫幂，叫底数。N叫指数

开方的概念：如果＝α(n＞1 是正整数)，已知α和指数n，求底数x的运算叫开方。开方运算的结果叫方根。X叫做a的n次方根。记坐。
方根的性质：
①奇次方根：正数的奇次方根是正数。。负数的奇次方根是负数。。零的奇次方根是零。
②偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。则。负数的偶次方根无意义。零的偶次方根还是零。
③算术根：正数的正方根叫做算术跟。，（整数）。零的算术根是零。
开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a有两个平方根，记作±， 其中＋叫做算数平方根。0的平方根是0，负数没有平方根。开立方，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
1—3数轴和绝对值（六册上）
数轴是有原点、长度单位、方向的直线。任何实数都可以用数轴上的点来表示。在数轴上比较两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表示一个实数。就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。
绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的距离。
＝
1—4近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。
二、代数式
代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。
2—1 整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式的次数（六册下）
2—2 整式的加减运算
整式的加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。合并同类项是整式的加减运算的核心。
2—3幂的运算
同底数幂相乘： 。
幂的乘方： 。
积的乘方： 。
同底数幂相除： （ ）。
负指数： （ p是正整数）
零指数： （）
分数指数： ，m＞0,n＞0)
2—4整数的乘除运算
整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们的运算法则。以上运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。
(a＋b)(a－b)=a ²－b ²
（a＋b）²=a ²＋2ab＋b ²
(a－b) ²=a ²－2ab＋b ²
(a＋b) ³=a ³＋3a ²b－3ab ²＋b ³
(a－b) ³=a ³－3a ²b＋3ab ²－b ³
(a＋b)(a ²－ab＋b ²)=a ³＋b ³
(a－b)(a ²＋ab＋b ²)=a ³－b ³
2—5分解因式
把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆运算。这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。
（1）提取公因式法
例 －6m³n²－3m²n³＋12m²n²=－3m²n²﹙2m＋n－4﹚
注，第一项的符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。公因式的系数应是各项系数的最大公约数，字母应提取各项相同字母的指数最低的。
（2）公式法
例
例
（3）十字相乘法
二次三项式可以用十字相乘法。
例 ×
（4）分组分解法
对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。
例
（按比例拆项法）
例
注，系数比为1：（-2）
例
2—6分式（八册上）
（1）概念
除式中含有字母的有理式叫做分式。例如，，，分式的分母不能为0.
基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的代数式，分式的值不变。
符号：分子、分母和分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
最简分式:分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。
求代数式的值：一般先化简，再求值。
例 当x取何值时，分式有意义？它的值等于零？
解：① 令 及
由 得 或
由 得
∴当 和 时，分式才有意义。
② 令分子为零，即
得 ， 整理有，，有
∴ 当 时，分子，而分母，
故时分式的值为零。
（2）分式的乘、除法
法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。
（3）分式的加减法
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再运算。
2—7二次根式（八册上）
（1）带有二次根号的式子叫做二次根式。如，，。
（2）根式的性质：
基本性质 ，m、n、p都是正整数，并且。
乘积的算术根
分式的算术根
根式的的乘方
根式的开方
（3） 最简二次根式
①被开方数的指数和根指数是互质数。
②被开方数的每一个因式的指数都小于根指数。
③被开方数不含分母。
例 化简
解：原式=
同类根式：几个根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，根指数也相同，这几个根式叫做同类根式。（与根式前面的系数无关）
同次根式：根指数相同的根式叫做同次根式。（与被开方数无关）
（4）根式的运算
①根式的加、减法。把各根式化成最简根式后，再合并同类根式。
②根式的乘、除法。把各根式化成同次根式后，再应用公式
，
③根式的乘方。应用公式
④根式的开方。应用公式

（）
例 计算
解：原式=
例 计算
解：原式=
（5）分母有理化
把分母的根号化去，叫做分母有理化。
例

三、方程
3—1、等式
等式的概念：用一个等号连结两个代数式所成的式子叫做等式。
等式的性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式。
3—2、一元一次方程
（1）含有未知数的等式叫做方程。能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。求方程的解的过程叫做解方程。
（2）含有一个未知数且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。
（3）解一元一次方程，一般的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1.
例
解：去分母，得
去括号，得
移项， 得
合并同类项，得
方程两边同除以-1，得
（4）列方程解应用题。
3—3 一元二次方程
（1）一元二次方程的一般式：
其中、、分别称为一元二次方程的二次项、一次项、常数项。、b分别称为二次项、一次项系数。
（2）求根公式：
当、b、是实数时，根的性质可由判别式Δ=来决定。
若Δ=>0， 方程有两个不相等的实数根。
若Δ==0, 方程有两个相等的实数根。
若Δ=<0, 方程无实数根。
（3）韦达定理（根与系数的关系）。
如果α、β是方程 或方程的两个根，那么
，或 。
（4）一元二次方程的解法
①配方法：将方程转化成的形式，当n≥0时，俩边开平方便可求出它的根。
例 解下列方程
解：方程两边都除以5，得
移项，得
配方，得

即， 或
所以
②公式法:把一元二次方程 的系数、b、的值代人求根公式中进行计算即可。
例 解方程
解：这里=2、b=5、=2
∵ =25-16=9＞0
∴ 即
例 已知关于x的方程的一个根是，求它的另一个根及的值。
解：设方程的另一个根是，那么
，
把，代人
有， 整理，得
所以，方程的另一个根是。
③分解因式法：
例 解方程。
解：由十字相乘法，原方程变为
即 或
所以，
3—4 一元二次方程的应用
分析题意，找出等量关系，列出方程。常见的是复利公式，即本利和的问题。
例 甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。该公司缴税的年平均增长率是多少？
解：设该公司缴税的年平均增长率为x，根据题意，得

解之，

因为不合题意，故舍去。
因此=10％
所以，设该公司缴税的年平均增长率为10％
四、不等式
4—1 不等式的概念和性质
①用不等号（符号“＞”或者“＜” ）联结的两个代数式所成的式子叫做不等式。
②性质
若a＞b， 则b＜a（对称性）
若a＞b, b＞c，则 a＞c（传递性）
若a＞b,则a+c＞b+c(不等式的两边都加上或减去，同一个整式，不等号的方向不变)。
若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d
若a＞b,c＞0,则ac＞bc(不等式的两边都乘以（或除以)一个正数，不等号方向不变)。
若a＞b,c＜0,则ac＜bc（不等式的两边都乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变）
若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bd(两边都是正数的两个同向不等式相乘，不等号不变)
若a＞b,ab＞0,则＜
③不等式的解集
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集可以用数轴来表示。
4—2 一元一次不等式
（1）含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
一般形式 或 （、都是实数）
（2）解一元一次不等式类似于解一元一次方程。但是要注意不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。
例 解不等式
解：去分母，得
去括号，得
移项， 得
合并， 得
两边除以-7，得
例 解关于x的不等式：
解：原不等式化为 ①
（1）当 即 ，即 或 时，
（2）当 即 时，
若 不等式①变为，无解。
若 不等式①变为，所以x是一切实数。
（3）当 即， 时，
（3）一元一次不等式的应用
一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用类似，关键是由题意找出不等的关系，列出不等式。
4—3 一元一次不等式组
（1）关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起叫做一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
（2）不等式组的解分四种情况：
① 若 解集是 。a b

② 若 解集是 a b

③ 若 解集是。 a b

④若 解集是空集。 a b

（3）解不等式组
例
解：解第一个不等式，得
解第一个不等式，得 0 2 3

所以，原不等式组的解是
五、函数
5—1函数的有关概念
（1）常量与变量：在某一变化过程中，保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量。
（2）函数的定义：某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在实数某一范围内的每一个确定的值，按照给定的法则y有确定的值和它对应，那么变量y就叫做变量x的函数。称x是自变量，y是因变量。
“y是x的函数”这句话通常用式子来表示。符号“”表示因变量y与自变量x之间函数关系的给定法则。通俗讲函数就是自变量x与因变量y之间的一种一一对应关系。
（3）定义域和值域：自变量x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值。全体函数值叫值域。
定义域的取值范围：是确定使函数的解析式有意义的x的值。例如分母不能为0，负数不能开偶次方。
（4）函数的表示方法：有列表法、解析式法、图像法。B是常数
5—2一次函数
一般地，形如叫做一次函数。这里k≠0,b是常数。
可以变为，这是二元一次方程。它的图像是一条直线，当时，；当时，。过点（0，b）,(,0)作直线，就是的图像。
5—3反比例函数
一般地，形如叫做y是x的反比例函数。K为常数，k≠0.
反比例函数性质：当K＞0两个分支分别位于第一象限和第三象限内，在每个象限内，y的值随x值增大而减少.
K＜0两个分支分别位于第二象限和第四象限内，在每个象限内，y的值随x值增大而增大。
当x值的绝对值无限增大或接近零时，反比例函数的图像两个分支都无限接近x轴或y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。
k>0
x
y
0
Y
x
0
K<0

5—4二次函数
（1）一般地，形如（,,b,c是常数）的函数叫做二次函数。
（2）二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图像的最低点。
（3）二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一条抛物线，我们把二次函数的图像叫抛物线。它的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点，当时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。
（4）二次函数的图像和性质
二次函数 的图像是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同,它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）.k＞0抛物线向上平移k个单位；k＜0抛物线向下平移k个单位。
（5）二次函数的图像和性质
二次函数的图像是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同, 它的对称轴为，顶点坐标为（h,k）,当h＞0将抛物线向左平移h个单位；h＜0将抛物线向右平移h个单位。
例 已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），并且该图象经过点（2,3），求这个二次函数的表达式。
解：因为该函数图象的顶点坐标是（-1，-6），则它的表达式是

将点（2,3）代人上式，得

解得，
所以，这个二次函数的表达式是，即

例 作，，，的图像
解：列表
x
-3
-2
-1
0
1
2

4
1
0
1
4

8
2
0
2
8

9
3
1
3
9

3
1
3
9
19
33

（6）二次函数的图像和性质
把的右边配方，得

二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是（，）。当时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当时，y的极小值记作，y极小=。当时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。当时，y的极大值记作，y极大=。
（7）二次函数与一元二次方程
二次函数的图象与轴的公共点有三种情况：
当＞0时，有两个公共点；当=0时，有一个公共点：当＜0时，没有公共点。
当二次函数的图象与轴有公共点时，公共点的横坐标就是时，自变量的值，既是一元二次方程 的根。
例：二次函数， ， 的图象。

y
x

x
y
0