鲁教版初中数学知识梳理(代数).doc

初中数学知识（代数部分）目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数一、数及运算11数新的扩充初中一开始引入负数的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到有理数，以后再引入无理数的概念，数的范围由有理数，扩充的实数（七册上）。最后一次引入虚数的概念。数的范围由实数扩充的复数。这是高中学习的内容。12实数的运算实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：结合律：（ab）ca（bc）交换律： abba又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，这样把乘、除看做同一种运算。它们满足：结合律： （ab）ca（bc）交换律： abba分配律： a（bc）abac又有分数指数的的意义， (0，m0,n0)。这样乘方、开方又统一起来。对于乘方运算，要熟练理解和掌握以下概念：乘方，幂，底数，指数（第六册上）。求n个相同的因数a的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。叫幂，叫底数。N叫指数开方的概念：如果(n1 是正整数)，已知和指数n，求底数x的运算叫开方。开方运算的结果叫方根。X叫做a的n次方根。记坐。方根的性质：奇次方根：正数的奇次方根是正数。负数的奇次方根是负数。零的奇次方根是零。偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。则。负数的偶次方根无意义。零的偶次方根还是零。算术根：正数的正方根叫做算术跟。，（整数）。零的算术根是零。开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a有两个平方根，记作， 其中叫做算数平方根。0的平方根是0，负数没有平方根。开立方，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。13数轴和绝对值（六册上）数轴是有原点、长度单位、方向的直线。任何实数都可以用数轴上的点来表示。在数轴上比较两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表示一个实数。就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的距离。 14近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。二、代数式代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。21 整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式的次数（六册下）22 整式的加减运算整式的加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。合并同类项是整式的加减运算的核心。23幂的运算同底数幂相乘： 。幂的乘方： 。积的乘方： 。同底数幂相除： （ ）。负指数： （ p是正整数）零指数： （）分数指数： ，m0,n0)24整数的乘除运算整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们的运算法则。以上运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。(ab)(ab)=a b （ab）=a 2abb (ab) =a 2abb (ab) =a 3a b3ab b (ab) =a 3a b3ab b (ab)(a abb )=a b (ab)(a abb )=a b 25分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆运算。这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。（1）提取公因式法例 6mn3mn12mn=3mn2mn4注，第一项的符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。公因式的系数应是各项系数的最大公约数，字母应提取各项相同字母的指数最低的。（2）公式法例 例 （3）十字相乘法 二次三项式可以用十字相乘法。例 （4）分组分解法对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。例 （按比例拆项法）例 注，系数比为1：（-2）例 26分式（八册上）（1）概念除式中含有字母的有理式叫做分式。例如，分式的分母不能为0.基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的代数式，分式的值不变。符号：分子、分母和分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。最简分式:分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。求代数式的值：一般先化简，再求值。例 当x取何值时，分式有意义？它的值等于零？解： 令 及 由 得 或 由 得 当 和 时，分式才有意义。 令分子为零，即得 ， 整理有，有 当 时，分子，而分母，故时分式的值为零。（2）分式的乘、除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。（3）分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再运算。27二次根式（八册上）（1）带有二次根号的式子叫做二次根式。如，。（2）根式的性质：基本性质 ，m、n、p都是正整数，并且。乘积的算术根 分式的算术根 根式的的乘方 根式的开方 （3） 最简二次根式被开方数的指数和根指数是互质数。被开方数的每一个因式的指数都小于根指数。被开方数不含分母。例 化简解：原式=同类根式：几个根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，根指数也相同，这几个根式叫做同类根式。（与根式前面的系数无关）同次根式：根指数相同的根式叫做同次根式。（与被开方数无关）（4）根式的运算 根式的加、减法。把各根式化成最简根式后，再合并同类根式。根式的乘、除法。把各根式化成同次根式后，再应用公式， 根式的乘方。应用公式 根式的开方。应用公式 （）例 计算 解：原式=例 计算 解：原式=（5）分母有理化 把分母的根号化去，叫做分母有理化。例 三、方程31、等式等式的概念：用一个等号连结两个代数式所成的式子叫做等式。等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式。32、一元一次方程（1）含有未知数的等式叫做方程。能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。求方程的解的过程叫做解方程。（2）含有一个未知数且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。（3）解一元一次方程，一般的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1.例 解：去分母，得 去括号，得 移项， 得 合并同类项，得 方程两边同除以-1，得（4）列方程解应用题。33 一元二次方程（1）一元二次方程的一般式： 其中、分别称为一元二次方程的二次项、一次项、常数项。、b分别称为二次项、一次项系数。（2）求根公式： 当、b、是实数时，根的性质可由判别式=来决定。若=0， 方程有两个不相等的实数根。若=0, 方程有两个相等的实数根。若=0x y0 Y x 0K054二次函数（1）一般地，形如（,b,c是常数）的函数叫做二次函数。（2）二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图像的最低点。（3）二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线，我们把二次函数的图像叫抛物线。它的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点，当时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。（4）二次函数的图像和性质二次函数 的图像是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同,它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）.k0抛物线向上平移k个单位；k0抛物线向下平移k个单位。（5）二次函数的图像和性质二次函数的图像是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同, 它的对称轴为，顶点坐标为（h,k）,当h0将抛物线向左平移h个单位；h0将抛物线向右平移h个单位。例 已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），并且该图象经过点（2,3），求这个二次函数的表达式。解：因为该函数图象的顶点坐标是（-1，-6），则它的表达式是将点（2,3）代人上式，得解得， 所以，这个二次函数的表达式是，即例 作，的图像解：列表x-3-2-101241014820289313931391933（6）二次函数的图像和性质把的右边配方，得 二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是（，）。当时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当时，y的极小值记作，y极小=。当时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。当时，y的极大值记作，y极大=。（7）二次函数与一元二次方程二次函数的图象与轴的公共点有三种情况：当0时，有两个公共点；当=0时，有一个公共点：当0时，没有公共点。当二次函数的图象与轴有公共点时，公共点的横坐标就是时，自变量的值，既是一元二次方程 的根。例：二次函数， ， 的图象。 yxxy0