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谈小学数学开放题的设计
广西玉林 冯 林
数学开放题是具有一定现实背景的，解答途径没有固定模式可循的数学问题。数学开放题要求学生用已学的知识和数学思想方法，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，重在对学生分析问题、解决问题能力和创新能力的培养。
数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学识，发展学生的智能，由于教育选拔功能的客观存在，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，“问题解决是数学教学的核心”这正是数学题重要性的体现。现行小学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的价值。实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，特别是随着课程改革的深入与落实，研究如何设计数学开放题并用之于数学教学具有重要的现实意义。
那么，教师怎么设计开放题，使之更好地促进课改背景下的课堂教学，同时又便于考试评分的操作呢。
1、选题要开放
由于教材特点的决定，目前的小学数学教材中出现的例题是已经经过处理的数学问题，学生做的习题也是人为编制的可以套用现成公式、模仿例题的各种练习。学生在练习时不需要考虑这些问题的来源和作用，更不需要应用数学知识去解决现实生活中的各种问题。学生在长期的、反复操作的数据符号前，会产生乏味、厌学的情绪，长而久之容易形成对数学恐惧的心理。因此，数学习题的选材，应由封闭走向开放。它不仅可以来自教材，也可来自学生，来自生活，让学生在亲切、熟悉的情感体验中感受到数学的意义。
①创设生活情境
数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象表现。因此，在教学中一方面要尽可能让抽象的数学概念在生活中找到原型，另一方面要创造条件，促使学生能把学到的数学知识去解决一些日常生活中有关的数学现象，并能初步解决一些有关的数学问题。
例如：在教学“乘法应用题和常见的数量关系”前，可以创设这样的生活情境：乐乐家开了一个小商店，乐乐正替爸爸站柜台卖东西，这时来了一位叔叔。叔叔：“小朋友，我买4支铅笔，2个篮球，2千克糖。”乐乐怎么收叔叔的钱呢？怎么填写下面的票子呢？（铅笔单价0.2元；篮球单价65元；糖单价15元）

这样的习题，可以使学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到数学就在自己的生活中。
②利用学生这一课堂资源
教师要善于利用学生这一课堂资源。例如教学两位数减一位数的退位减法，可以先出示若干数字，让学生自由选择其中的三个数组成两位数减一位数的题目，并将这些题进行分类，然后引导学生在比较中讨论退位减的方法。这样不是来自教材而是来自学生的题材，会使学生感到更加亲切，更能激起学生积极参与、主动探求的欲望。另一方面，是指教学的题材可利用课堂上学生解题中所发生的错误。例如，平安镇6个村计划栽树6000棵，实际每个村平均栽树1200棵。全镇比计划多栽树多少棵？有学生解为：1200-6000÷6，教师可以请学生就自己的列式来改编题目，学生在错和对的对比之下学习，记忆会更加深刻。
③改编课本上的封闭题
相对于数学开放题而言，小学数学的习题中，大量是常规题，这种题条件完备，答案固定，称之为封闭题。有时一道传统的封统题，稍加改造就成了一道开放题了。
例如：指出下图圆的直径和半径。

如果把它改为下图的一张圆形纸片，图中画有一条线段，让学生判断这条线段是否是所在圆的半径？这就成为了一道非常好的开放题了。

④以身边的事例为背景
人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物。如果我们能以数学的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性的东西，以此为背景，编制出一些富有启发性的数学“开放性应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆学问”的道理。
例如：学校进行文艺比赛，请你当评委，6个评委给③号选手打出的分数分别是：
评委
1
2
3
4
5
6
得分
9.65
9.25
8.75
10.00
8.35
7.70
⑴假如你是第七位评委，会给③号选手打几分？为什么？
⑵你打的分数若不影响③号选手原先的名次，应该给他打几分？说说你的理由。
又如，二（4）班级有48位同学，分为四个小组，一组10人，二组13人，三组11人，四组14人。请你帮调整一下，使每个小组人数尽量相同。
生活中处处有数学问题。其实只要留心，身边的许多事例都可以用来作为编拟开放题的材料。
2、设计开放
①条件开放
传统的练习设计，条件是所求问题的充要条件，容易给学生造成思维的定势。当遇到条件不足或条件有余时，感到束手无策或疑惑不解，设计条件开放的开放题，可以提高学生分析问题、解决问题的能力。
条件开放题，可以有少用条件、多余条件、比常规少了条件、缺条件（补条件）、图文条件等。让学生在审题时，提取必要的条件，不用或少用一些条件创造性地运用条件去解决问题。例如：少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？通过分析可知书法组的人数是美术组的3倍条件多余；再如：一块长方形菜地，长100米，因建养鸡场需要，在这块地的一端划出一块最大的正方形地做养鸡场，剩下地的四周围上篱笆，篱笆长多少？表面看来似乎条件不足，进一步分析便可发现篱芭的总长实际就是菜地长的2倍。
引导学生从众多的已知条件中排除表面现象的干扰，抓住问题的本质，高效、简洁地解决问题，能促进学生思维深刻性的发展，提高他们创造性地解决问题的能力。
②问题开放
学生学习上的差异，使他们在利用已知信息进行分析时，能发现并提出多种多样的问题。设计问题开放的开放题，有助于贯彻因材施教的原则，充分发展学生的个性特长，做到面向全体学生，使每个学生都得到发展。
问题开放题，在解决形式上可有解答式问题，问答式问题，图表式问题。在答案方面，可有唯一答案，多种答案，“不存在”答案等。例如：在□里填上合适的数：

一般学生能根据商十位商0和个位商7得出被除数的十位是5，个位是6；思路相对活跃的同学能从余数不确定得出个位也可能是7（8、9……）；分析能力较强的同学能归纳出被除数的后两位可从56起填到63。这样的练习，一方面给每个学生提供了获得成功的机会，促进了不同程度的学生都得到提高和发展；另一方面，也为学生提供了发散的空间，培养了学生思维的发散性和深刻性。
③策略开放
习题解答，除了让学生学会常规的解题方法之外，还要让学生学会多方位、多角度地解决问题，并从中发现最有效的解决问题的方法，促进学生思维广阔性、灵活性、创造性的发展。例如：分子、分母都不相同的两个分数比大小，便可打破“先通分”的常规，寻求最佳的解题策略。你能用哪些方法来比较和的大小？
方法⑴：把和化成同分母分数来比较。
⑵：把和化成同分子分数来比较。
⑶：和1进行比较
⑷：把分数扩大成整数后进行比较
⑸：用倒数进行比较
总之，在教学中，要鼓励学生从多角度思考，大胆创新，不要局限于常规和固定模式，开拓思路，以促进思维创造性的发展。
④综合性开放
知识是互相联系的，习题设计也应是综合性的，可以集其它学科相关知识于题中，也可以集本学科相关知识于题中。例如学完平面图形知识以后，可设计这样一题让学生研究：把校园内的一块长100米，宽80米的长方形空地设计成一个花园，其中要有圆形、方形、菱形等面积不等的花地、草坪。要求：⑴花地、草坪、道路所占面积比例适中；⑵图案美观。这样的习题打破了人为训练的目的，又能培养学生的数学素质。
从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。
直接编拟数学开放题，特别是直接编开放性应用题，难度较大。如果对我们熟悉的大量封闭题进行改编，保留原题中的基本情境和一些现成要件，并根据形式逻辑的理论进行适当的加工改造，就能较容易地编出开放题。
以下就是根据封闭题改编而成的开放题。
（1）条件开放题
①请编一道应用题，算式为（20-4）÷2-8
②在括号里填上适当的数，使两个分数单位的和等于。这样的分数单位你能找出几对？

③58个苹果，拿出几个后，可以平均分到8个盘子中？
④在下面的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，请你画出一个多边形，使多边形的面积是2。

（2）策略开放题
①你喜欢用哪种算法
你能用几种不同的方法来计算下列题目，并说说你最喜欢哪一种。
804-397（四、五年级）
25×4+25×4（四、五年级）
8.88×12.5(五、六年级)
24×（六年级）
②在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。

（3）结论开放题
①像212从左往右读和从右往左读都一样的三位数有几个？
②小明买钢笔和圆珠笔共用去54元，已知每支钢笔3元，圆珠笔2元，那么小明可能买了几支钢笔？几支圆珠笔？
③把24个边长为1cm的小正方形拼成一个大长方形，这个长方形的周长和面积各是多少？
④“五一”小长假期间，青年旅行社组织了35名游客去“龙泉筒”游玩，入口处的“购票须知”写道：“游客凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员1000元，你认为够了吗？请用数字知识来说明你的观点？
（4）综合开放题
①如果校园里有一水池，请估计水池中有多少立方米水？
②去十字路口，在10分钟内（或一定时间内）统计来往车辆的情况，而后能否对建立“红绿灯”问题提出你的想法和方案？
③调查菜价（六年级）
去当地菜场调查一周内主要几种菜的价格变化情况，完成下面这张统计表（可以任意选定五种，分上午7：00左右，下午4：30左右两个时间去调查），然后思考下面问题：
㈠根据你调查的结果，你能提出哪些问题？
㈡根据调查的结果，你有哪些建议？
_____________菜场五种菜价格表 __月__日～__月__日
星期
价格（元）
蔬菜类别
一
二
三
四
五
六
日
上午
下午
上午
下午
上午
下午
上午
下午
上午
下午
上午
下午
上午
下午

2、根据数学问题的开放程度（简称为开放度），可分为若开放、中开放、强开放。
（1） 弱开放题[答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题]
（2） ①把4个棱长为5cm的立方体拼成一个大长方体，它的表面积是多少？
②两个自然数的最大公约数是5，最小公倍数是30，那么这两个自然数分别是几？
（2） 中开放题[中开放题──答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种]
（3） ①在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5千米？
②在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，哪些数能组成比例，组成怎样的比例？
②在，3，0.8，，4.8，2，中，选出合适的数组成比例：（ 　　　　　　）。
③立方体的表面展开图有几种？
(3)强开放题[只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。
①有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的，问如何设计。
②请调查你所在地方各种房子的价格，想一想为什么价格有差异？你觉得买哪一类房子比较便宜？