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第四章 数学规划模型,4.1,奶制品的生产与销售,4.2,自来水输送与货机装运,4.3,汽车生产与原油采购,4.4,接力队选拔和选课策略,4.5,饮料厂的生产与检修,4.6,钢管和易拉罐下料,y,数学规划模型,实际问题中,的优化模型,x,决策变量,f,(,x,),目标函数,g,i,(,x,),0,约束条件,多元函数条件极值,决策变量个数,n,和,约束条件个数,m,较大,最优解在可行域,的边界上取得,数学规划,线性规划,非线性规划,整数规划,重点在模型的建立和结果的分析,企业生产计划,4.1,奶制品的生产与销售,空间层次,工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；,车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。,时间层次,若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订,单阶段生产计划,，否则应制订多阶段生产计划。,本节课题,例,1,加工奶制品的生产计划,1,桶牛奶,3,公斤,A,1,12,小时,8,小时,4,公斤,A,2,或,获利,24,元,/,公斤,获利,16,元,/,公斤,50,桶牛奶,时间,480,小时,至多加工,100,公斤,A,1,制订生产计划，使每天获利最大,35,元可买到,1,桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶,?,可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元,?,A,1,的获利增加到,30,元,/,公斤，应否改变生产计划？,每天：,1,桶牛奶,3,公斤,A,1,12,小时,8,小时,4,公斤,A,2,或,获利,24,元,/,公斤,获利,16,元,/,公斤,x,1,桶牛奶生产,A,1,x,2,桶牛奶生产,A,2,获利,243,x,1,获利,164,x,2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型,(LP),时间,480,小时,至多加工,100,公斤,A,1,50,桶牛奶,每天,模型求解,图解法,x,1,x,2,0,A,B,C,D,l,1,l,2,l,3,l,4,l,5,约束条件,目标函数,Z,=0,Z,=2400,Z,=3600,斜率为,-72/64,等值线,在,B,(20,30),点得到最优解,目标函数和约束条件是线性函数,可行域为直线段围成的凸多边形,目标函数的等值线为直线,最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。,模型求解,软件实现,LINGO 9.0,model:,max=72*x1+64*x2;,x1+x250;,12*x1+8*x2480;,3*x1100;,end,Global optimal solution found at iteration:2,Objective value:3360.000,Variable Value Reduced Cost,X1 20.00000 0.000000,X2 30.00000 0.000000,Row Slack or Surplus Dual Price,1 3360.000 1.000000,2 0.000000 48.00000,3 0.000000 2.000000,4 40.00000 0.000000,DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?,No,20,桶牛奶生产,A,1,30,桶生产,A,2,，,利润,3360,元。,结果解释,Objective value:3360.000,Total solver iterations:2,Variable Value Reduced Cost,X1 20.00000 0.000000,X2 30.00000 0.000000,Row,Slack or Surplus,Dual Price,1 3360.000 1.000000,2,0.000000,48.00000,3,0.000000,2.000000,4,40.00000,0.000000,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余,40,model:,max=72*x1+64*x2;,x1+x250;,12*x1+8*x2480;,3*x1100;,end,三种资源,“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,结果解释,Objective value:3360.000,Total solver iterations:2,Variable Value Reduced Cost,X1 20.00000 0.000000,X2 30.00000 0.000000,Row Slack or Surplus,Dual Price,1 3360.000,1.000000,2 0.000000,48.00000,3 0.000000,2.000000,4 40.00000,0.000000,最优解下“资源”增加,1,单位时“效益”的增量,原料增加,1,单位,利润增长,48,时间增加,1,单位,利润增长,2,加工能力增长不影响利润,影子价格,35,元可买到,1,桶牛奶，要买吗？,35 48,应该买！,聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？,2,元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:,OBJ COEFFICIENT RANGES,VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE,COEF INCREASE DECREASE,X1 72.000000 24.000000 8.000000,X2 64.000000 8.000000 16.000000,RIGHTHAND SIDE RANGES,ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE,RHS INCREASE DECREASE,2 50.000000 10.000000 6.666667,3 480.000000 53.333332 80.000000,4 100.000000 INFINITY 40.000000,最优解不变,时目标函数系数允许变化范围,DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?,Yes,x,1,系数范围,(64,96),x,2,系数范围,(48,72),A,1,获利增加到,30,元,/,千克，应否改变生产计划,x,1,系数由,24,3=72,增加,为,30,3=90,，在,允许范围内,不变！,(,约束条件不变,),结果解释,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:,OBJ COEFFICIENT RANGES,VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE,COEF INCREASE DECREASE,X1 72.000000 24.000000 8.000000,X2 64.000000 8.000000 16.000000,RIGHTHAND SIDE RANGES,ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE,RHS INCREASE DECREASE,2 50.000000 10.000000 6.666667,3 480.000000 53.333332 80.000000,4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子价格有意义时约束右端的允许变化范围,原料最多增加,10,时间最多增加,53,35,元可买到,1,桶牛奶，每天最多买多少？,最多买,10,桶,!,(,目标函数不变,),4.2,自来水输送与货机装运,生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；,运输问题,各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。,其他费用,:,450,元,/,千吨,应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？,若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？,元,/,千吨,甲,乙,丙,丁,A,160,130,220,170,B,140,130,190,150,C,190,200,230,/,引水管理费,例,1,自来水输送,收入：,900,元,/,千吨,支出,A：50,B：60,C：50,甲：,30,；,50,乙：,70,；,70,丙：,10,；,20,丁：,10,；,40,水库供水量,(,千吨,),小区基本用水量,(,千吨,),小区额外用水量,(,千吨,),（以天计）,总,供水量：,160,确定送水方案,使利润最大,问题分析,A：50,B：60,C：50,甲：,30,；,50,乙：,70,；,70,丙：,10,；,20,丁：,10,；,40,总需求量,(300),每个水库最大供水量都提高一倍,利润,=,收入,(900),其它费用,(,450),引水管理费,利润,(,元,/,千吨,),甲,乙,丙,丁,A,290,320,230,280,B,310,320,260,300,C,260,250,220,/,供应限制,B,C,类似处理,问题讨论,确定送水方案,使利润最大,需求约束可以不变,求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)88700.00,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X11 0.000000 20.000000,X12 100.000000 0.000000,X13 0.000000 40.000000,X14 0.000000 20.000000,X21,30.000000,0.000000,X22,40.000000,0.000000,X23,0.000000 10.000000,X24,50.000000,0.000000,X31,50.000000,0.000000,X32 0.000000 20.000000,X33,30.000000,0.000000,这类问题一般称为,“运输问题”,(Transportation Problem),总利润,88700,（元）,A(100),B(,120,),C(,100,),甲(30;,50),乙(70;,70),丙(10;,20),丁(10;,40),40,100,50,30,50,30,如何,装运，使本次飞行获利最大？,三个货舱,最大,载,重,(,吨,),最大容积,(,米,3,),例,2,货机装运,重量（吨）,空间,(,米,3,/,吨）,利润（元,/,吨）,货物,1,18,480,3100,货物,2,15,650,3800,货物,3,23,580,3500,货物,4,12,390,2850,三个货舱中实际载重必须与其最大,载,重成比例,前仓：,10,；,6800,中仓：,16,；,8700,后仓：,8,；,5300,飞机平衡,决策变量,x,ij,-,第,i,种货物装入第,j,个货舱的重量,(,吨）,i,=1,2,3,4,j,=1,2,3(,分别代表前、中、后仓,),模型假设,每种货物可以分割到任意小；,货机装运,每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；,多种货物可以混装，并保证不留空隙；,模型建立,货舱容积,目标函数,(,利润,),约束条件,货机装运,模型建立,货舱重量,10；,6800,16；,8700,8；,5300,x,ij,-,第,i,种货物装入第,j,个货舱的重量,约束条件,平衡要求,货物供应,货机装运,模型建立,10；,6800,16；,8700,8；,5300,x,ij,-,第,i,种货物装入第,j,个货舱的重量,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)121515.8,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X11 0.000000 400.000000,X12 0.000000 57.894737,X13 0.000000 400.000000,X21 10.000000 0.000000,X22 0.000000 239.473679,X23 5.000000 0.000000,X31 0.000000 0.000000,X32,12.947369,0.000000,X33,3.000000,0.000000,X41 0.000000 650.000000,X42 3.052632,0.000000,X43 0.000000 650.000000,货物,2,：前仓,10,后仓,5,；,货物,3,:,中仓,13,后仓,3,；,货物,4,:,中仓,3,。,货机装运,模型求解,最大利润约,121516,元,货物,供应点,货舱,需求点,平衡要求,运输问题,运输问题的扩展,练习题（一）,某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按,50%,的税率纳税。此外还有以下限制：,（,1,）政府及代办机构的证券总共至少要够进,400,万元；,（,2,）所购证券的平均信用等级不超过,1.4,（信用等级数字越小，信用程度越高）；,（,3,）所购证券的平均年限不超过,5,年；,问题：,(1),若该经理拥有,1000,万元资金，应如何投资？,(2),如果能够以,2.75%,的利率借到不超过,100,万元资金，该经理应如何操作？,(3),在,1000,万元资金情况下，若证券,A,的税前收益增加为,4.5%,，投资应否改变？若证券,C,的税前收益减少为,4.8%,，投资应否改变？,证券以及信用等级、到期年限、收益表,证卷名称,证卷种类,信用等级,到期年限,税前收益,A,市政,2,9,4.3,B,代办机构,2,15,5.4,C,政府,1,4,5.0,D,政府,1,3,4.4,E,市政,5,2,4.5,如果生产某一类型汽车，则至少要生产,80,辆，那么最优的生产计划应作何改变？,例,1,汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。,小型 中型 大型,现有量,钢材（吨）,1.5 3 5 600,劳动时间（小时）,280 250 400 60000,利润（万元）,2 3 4,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,4.3,汽车生产与原油采购,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为,x,1,x,2,x,3,汽车厂生产计划,模型建立,小型 中型 大型 现有量,钢材,1.5 3 5 600,时间,280 250 400 60000,利润,2 3 4,线性规划模型,(LP),模型求解,3,）,模型中增加条件：,x,1,x,2,x,3,均为整数，重新求解。,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)632.2581,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 64.516129,0.000000,X2 167.741928,0.000000,X3 0.000000 0.946237,ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES,2)0.000000 0.731183,3)0.000000 0.003226,结果为小数，怎么办？,1,）舍去小数：取,x,1,=64,，,x,2,=167,，,算出目标函数值,z,=629,，与,LP,最优值,632.2581,相差不大。,2,）试探：如取,x,1,=65,，,x,2,=167,；,x,1,=64,，,x,2,=168,等，计算函数值,z,，,通过比较可能得到更优的解。,但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？,IP,可用,LINDO,直接求解,整数规划,(,Integer Programming,简记,IP,),“,gin 3,”,表示“前,3,个变量为整数”，等价于：,gin x1,gin x2,gin x3,IP,的最优解,x,1,=64,，,x,2,=168,，,x,3,=0,，,最优值,z,=632,max 2x1+3x2+4x3,st,1.5x1+3x2+5x3600,280 x1+250 x2+400 x360000,end,gin 3,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)632.0000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 64.000000 -2.000000,X2 168.000000 -3.000000,X3 0.000000 -4.000000,模型求解,IP,结果输出,其中,3,个,子模型应,去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法,1,：分解为,8,个,LP,子模型,汽车厂生产计划,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,x,2,x,3,=0,或,80,x,1,=80,，,x,2,=150,，,x,3,=0,，,最优值,z,=610,LINDO,中对,0-1,变量的限定：,int,y1,int,y2,int,y3,方法,2,：,引入,0-1,变量，化为整数规划,M,为大的正数，可取,1000,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)610.0000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 80.000000,-2.000000,X2 150.000000,-3.000000,X3 0.000000,-4.000000,Y1 1.000000 0.000000,Y2 1.000000 0.000000,Y3 0.000000 0.000000,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,=0,或,80,x,2,=0,或,80,x,3,=0,或,80,最优解同前,NLP,虽然可用现成的数学软件求解,(,如,LINGO,MATLAB,),，,但是其结果常依赖于初值的选择。,方法,3,：,化为非线性规划,非线性规划（,Non-Linear Programming,，,简记,NLP,）,实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,=0,或,80,x,2,=0,或,80,x,3,=0,或,80,应如何安排原油的采购和加工,？,例,2,原油采购与加工,市场上可买到不超过,1500,吨的原油,A,：,购买量不超过,500,吨时的单价为,10000,元,/,吨；,购买量超过,500,吨但不超过,1000,吨时，超过,500,吨的 部分,8000,元,/,吨；,购买量超过,1000,吨时，超过,1000,吨的部分,6000,元,/,吨。,售价,4800,元,/,吨,售价,5600,元,/,吨,库存,500,吨,库存,1000,吨,汽油甲,(A,50%),原油,A,原油,B,汽油乙,(A,60%),决策变量,目标函数,问题分析,利润：销售汽油的收入,-,购买原油,A,的支出,难点：原油,A,的购价与购买量的关系较复杂,甲(A,50%),A,B,乙(A,60%),购买,x,x,11,x,12,x,21,x,22,4.8,千元,/,吨,5.6,千元,/,吨,原油,A,的购买量,原油,A,B,生产,汽油,甲,乙的数量,c,(,x,),购买原油,A,的支出,利润,(,千元,),c,(,x,),如何表述？,原油供应,约束条件,x,500,吨单价为,10,千,元,/,吨；,500,吨,x,1000,吨，超过,500,吨的,8,千,元,/,吨；,1000,吨,x,1500,吨，超过,1000,吨的,6,千,元,/,吨。,目标函数,购买,x,A,B,x,11,x,12,x,21,x,22,库存,500,吨,库存,1000,吨,目标函数中,c,(,x,),不是线性函数，是非线性规划；,对于用分段函数定义的,c,(,x,),，,一般的非线性规划软件也难以输入和求解；,想办法将模型化简，用现成的软件求解。,汽油含原油,A,的比例限制,约束条件,甲(A,50%),A,B,乙(A,60%),x,11,x,12,x,21,x,22,x,1,x,2,x,3,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,的吨数,目标函数,只有当以,10,千元,/,吨的价格购买,x,1,=500,(,吨,),时，才能以,8,千元,/,吨的价格购买,x,2,方法,1,非线性规划模型,，可以用,LINGO,求解,模型求解,x,=,x,1,+x,2,+x,3,c,(,x,)=10,x,1,+8,x,2,+6,x,3,500,吨,x,1000,吨，超过,500,吨的,8,千,元,/,吨,增加约束,x,=,x,1,+x,2,+x,3,c,(,x,)=10,x,1,+8,x,2,+6,x,3,方法,1,：,LINGO,求解,Model:,Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;,x11+x12 x+500;,x21+x22 0;,2*x12-3*x22 0;,x=x1+x2+x3;,(x1-500)*x2=0;,(x2-500)*x3=0;,x1 500;,x2 500;,x3 0;,x11 0;,x12 0;,x21 0;,x22 0;,x1 0;,x2 0;,x3 0;,end,Objective value:4800.000,Variable Value Reduced Cost,X11 500.0000,0.0000000E+00,X21 500.0000,0.0000000E+00,X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00,X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00,X1 0.1021405E-13 10.00000,X2 0.0000000E+00 8.000000,X3 0.0000000E+00 6.000000,X 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO,得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？,用库存的,500,吨原油,A,、,500,吨原油,B,生产汽油甲，不购买新的原油,A,，,利润为,4,800,千,元。,y,1,y,2,y,3,=1,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,增加约束,方法,2,0-1,线性规划模型,，可用,LINDO,求解,y,1,y,2,y,3,=0,或,1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)5000.000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,Y1 1.000000 0.000000,Y2 1.000000 2200.000000,Y3 1.000000 1200.000000,X11 0.000000 0.800000,X21 0.000000 0.800000,X12 1500.000000 0.000000,X22 1000.000000 0.000000,X1,500.000000,0.000000,X2,500.000000,0.000000,X3 0.000000 0.400000,X,1000.000000,0.000000,购买,1000,吨原油,A,，,与库存的,500,吨原油,A,和,1000,吨原油,B,一起，生产汽油乙，利润为,5,000,千元,。,x,1,x,2,x,3,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,的吨数,y,=0,x,=0,x,0,y,=1,优于方法,1,的结果,b,1,b,2,b,3,b,4,方法,3,b,1,x,b,2,，,x,=,z,1,b,1,+,z,2,b,2,，,z,1,+,z,2,=1,，,z,1,z,2,0,c,(,x,)=,z,1,c,(,b,1,)+,z,2,c,(,b,2,).,c,(,x,),x,12000,9000,5000,0,500,1000,1500,b,2,x,b,3,，,x,=,z,2,b,2,+,z,3,b,3,，,z,2,+,z,3,=1,，,z,2,z,3,0,c,(,x,)=,z,2,c,(,b,2,)+,z,3,c,(,b,3,).,b,3,x,b,4,，,x,=,z,3,b,3,+,z,4,b,4,，,z,3,+,z,4,=1,，,z,3,z,4,0,c,(,x,)=,z,3,c,(,b,3,)+,z,4,c,(,b,4,).,直接处理处理分段线性函数,c,(,x,),IP,模型，,LINDO,求解，得到的结果与方法,2,相同,.,处理分段线性函数，方法,3,更具一般性,b,k,x,b,k,+1,y,k,=1,否则,y,k,=0,方法,3,b,k,x,b,k,+1,x,=,z,k,b,k,+,z,k,+1,b,k,+1,z,k,+,z,k,+1,=1,，,z,k,z,k,+1,0,c,(,x,)=,z,k,c,(,b,k,)+,z,k,+1,c,(,b,k,+1,).,c,(,x,),x,12000,9000,5000,0,500,1000,1500,b,1,b,2,b,3,b,4,对于,k,=1,2,3,分（指）派问题,4.4,接力队选拔和选课策略,若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。,若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。,丁的蛙泳成绩退步到,115”2,；,戊的自由泳成绩进步到,57”5,组成接力队的方案是否应该调整,？,如何选拔队员组成,4,100,米混合泳接力队,?,例,1,混合泳接力队的选拔,甲,乙,丙,丁,戊,蝶泳,106”8,57”2,118”,110”,107”4,仰泳,115”6,106”,107”8,114”2,111”,蛙泳,127”,106”4,124”6,109”6,123”8,自由泳,58”6,53”,59”4,57”2,102”4,5,名候选人的,百米成绩,穷举法,：,组成接力队的方案共有,5!=120,种,。,目标函数,若选择队员,i,参加泳姿,j,的比赛，记,x,ij,=1,否则记,x,ij,=0,0-1,规划模型,c,ij,(,秒,),队员,i,第,j,种泳姿的百米成绩,约束条件,每人最多入选泳姿之一,c,ij,i,=1,i,=2,i,=3,i,=4,i,=5,j,=1,66.8,57.2,78,70,67.4,j,=2,75.6,66,67.8,74.2,71,j,=3,87,66.4,84.6,69.6,83.8,j,=4,58.6,53,59.4,57.2,62.4,每种泳姿有且只有,1,人,模型求解,最优解：,x,14,=,x,21,=,x,32,=,x,43,=1,其它变量为,0;,成绩为,253.2,(,秒,),=413”2,model:,MIN=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+,83.8*x53+62.4*x54;,x11+x12+x13+x14=1;,x41+x42+x43+x44=50;,x2+2*x4+x5+3*x6=20;,x3+x5+2*x7=15;,gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);,gin(x6);gin(x7);,end,求解可以得到最优解如下：,OBJECTIVE FUNCTION VALUE:27.00000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 0.000000 3.000000,X2 12.000000 1.000000,X3 0.000000 3.000000,X4 0.000000 3.000000,X5 15.000000 1.000000,X6 0.000000 1.000000,X7 0.000000 3.000000,最优解：,x,2,=12,x,5,=15,其余为,0,；,最优值：,27,。,按模式,2,切割,12,根,按模式,5,切割,15,根，余料,27,米,当余料没有用处时，,通常以总根数最少为目标,目标,2,（总根数）,钢管下料问题,1,约束条件不变,最优解：,x,2,=15,x,5,=5,x,7,=5,其余为,0,；,最优值：,25,。,x,i,为,整数,按模式,2,切割,15,根，按模式,5,切割,5,根，按模式,7,切割,5,根，共,25,根，余料,35,米,虽余料增加,8,米，但减少了,2,根,与,目标,1,的结果“共切割,27,根，余料,27,米”相比,钢管下料问题,2,对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式,增加一种需求：,5,米,10,根；切割,模式不超过,3,种。,现有,4,种,需求：,4,米,50,根，,5,米,10,根，,6,米,20,根，,8,米,15,根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。,决策变量,x,i,按第,i,种模式切割的原料钢管根数,(,i,=,1,2,3,),r,1,i,r,2,i,r,3,i,r,4,i,第,i,种切割模式下，每根原料钢管生产,4,米、,5,米、,6,米和,8,米长的钢管的数量,满足需求,模式合理：每根余料不超过,3,米,整数非线性规划模型,钢管下料问题,2,目标函数（,总根数）,约束条件,整数约束：,x,i,r,1,i,r,2,i,r,3,i,r,4,i,(,i,=,1,2,3,),为整数,增加约束，缩小可行域，便于求解,原料钢管总根数下界：,特殊生产计划：对每根原料钢管,模式,1,：切割成,4,根,4,米钢管，需,13,根；,模式,2,：切割成,1,根,5,米和,2,根,6,米钢管，需,10,根；,模式,3,：切割成,2,根,8,米钢管，需,8,根。,原料钢管总根数上界：,13+10+8=31,模式排列顺序可任定,钢管下料问题,2,需求：,4,米,50,根，,5,米,10,根，,6,米,20,根，,8,米,15,根,每根原料钢管长,19,米,将（,37,）,（,46,）构成的模型输入,LINGO,如下：,model:,Title,钢管下料,-,最小化钢管根数的,LINGO,模型,;,min=x1+x2+x3;,x1*r11+x2*r12+x3*r13=50;,x1*r21+x2*r22+x3*r23=10;,x1*r31+x2*r32+x3*r33=20;,x1*r41+x2*r42+x3*r43=15;,4*r11+5*r21+6*r31+8*r41=19;,4*r12+5*r22+6*r32+8*r42=19;,4*r13+5*r23+6*r33+8*r43=16;,4*r12+5*r22+6*r32+8*r42=16;,4*r13+5*r23+6*r33+8*r43=16;,x1+x2+x3=26;,x1+x2+x3=x2;,x2=x3;,gin(x1);gin(x2);gin(x3);,gin(r11);gin(r12);gin(r13);,gin(r21);gin(r22);gin(r23);,gin(r31);gin(r32);gin(r33);,gin(r41);gin(r42);gin(r43);,end,LINGO,求解整数非线性规划模型,Local optimal solution found at iteration:12211,Objective value:28.00000,Variable Value Reduced Cost,X1,10.00000,0.000000,X2,10.00000,2.000000,X3 8.000000 1.000000,R11,3.000000,0.000000,R12,2.000000,0.000000,R13 0.000000 0.000000,R21,0.000000,0.000000,R22,1.000000,0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31,1.000000,0.000000 R32,1.000000,0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41,0.000000,0.000000 R42,0.000000,0.000000 R43 2.000000 0.000000,模式,1,：每根原料钢管切割成,3,根,4,米和,1,根,6,米钢管，共,10,根；,模式,2,：每根原料钢管切割成,2,根,4,米、,1,根,5,米和,1,根,6,米钢管，共,10,根；,模式,3,：每根原料钢管切割成,2,根,8,米钢管，共,8,根。,原料钢管总根数为,28,根。,板材,规格,2,：,长方形，,32,28cm,，,2,万张。,例,2,易拉罐下料,每周工作,40,小时，每只易拉罐利润,0.10,元，原料余料损失,0.001,元,/cm,2,（,不能装配的罐身、,盖、,底也是余料）,模式,1,：,1.5,秒,模式,2,：,2,秒,模式,3,：,1,秒,模式,4,：,3,秒,上盖,下底,罐,身,罐身高,10cm,，,上,盖,、下底直径均,5cm,。,板材规格,1,：,正方形，边长,24cm,，,5,万张。,如何安排每周生产？,罐身个数,底、盖,个数,余料损失,（,cm,2,）,冲压时间（秒）,模式,1,1,10,222.6,1.5,模式,2,2,4,183.3,2,模式,3,0,16,261.8,1,模式,4,4,5,169.5,3,模式,1:,正方形,边长,24cm,问题分析,计算各种模式下的余料损失,上、下底直径,d,=5cm,，,罐身高,h,=10cm,。,模式,1,余料损失,24,2,-10,d,2,/4,-dh,=222.6,cm,2,问题分析,目标,:,易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大,约束：,每周工作时间不超过,40,小时；,原料数量：,规格,1,（模式,1 3,）,5,万张，,规格,2,（模式,4,）,2,万张；,罐身和底、盖的配套组装。,注意：不能装配的罐身、上下底也是余料,决策变量,x,i,按照第,i,种模式的生产张数,(,i,=,1,2,3,4,),；,y,1,一周生产的易拉罐个数；,y,2,不配套的罐身个数；,y,3,不配套的底、盖个数。,模型建立,目标,约束条件,时间约束,原料约束,产量,余料,时间,x,1,222.6,1.5,x,2,183.3,2,x,3,261.8,1,x,4,169.5,3,模型建立,y,1,易拉罐个数；,y,2,不配套的罐身；,y,3,不配套的底、盖。,每只易拉罐利润,0.10,元，余料损失,0.001,元,/cm,2,罐身,面积,dh=,157.1,cm,2,底盖,面积,d,2,/4=19.6,cm,2,(40,小时,),约束条件,配套约束,y,1,易拉罐个数；,y,2,不配套的罐身；,y,3,不配套的底、盖。,罐身,底、盖,1,10,2,4,0,16,4,5,产量,x,1,x,2,x,3,x,4,x,i,和,y,1,，,y,2,，,y,3,应是整数,模式,2,生产,40125,张，,模式,3,生产,3750,张，,模式,4,生产,20000,张，,共产易拉罐,160250,个,(,罐身和底、盖无剩余,),，,净利润为,4298,元,模型求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)4298.337,VARIABLE VALUE REDUCED COST,Y1 160250 0.000000,X1 0.000000 0.000050,X2 40125 0.000000,X3 3750 0.000000,X4 20000 0.000000,Y2 0.000000 0.223331,Y3 0.000000 0.036484,下料问题的建模,确定下料模式,构造优化模型,规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用,缩小可行域,的方法进行化简，但要保证最优解的存在。,一维问题（如钢管下料）,二维问题（如易拉罐下料）,具体问题具体分析（比较复杂）,