2025年大学大二（数学与应用数学）高等代数综合测试试题及答案.doc

2025年大学大二（数学与应用数学）高等代数综合测试试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）

答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vert A\vert = 0\)，则（ ）
A. \(A\)中必有两行（列）的对应元素成比例
B. \(A\)中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合
C. \(A\)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合
D. \(A\)中至少有一行（列）的元素全为\(0\)

2. 已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,3,4)\)，\(\alpha_3=(3,4,5)\)，则该向量组的秩为（ ）
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)

3. 设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax = 0\)仅有零解的充分必要条件是（ ）
A. \(A\)的列向量组线性无关
B. \(A\)的列向量组线性相关
C. \(A\)的行向量组线性无关
D. \(A\)的行向量组线性相关

4. 若\(f(x)\)是数域\(P\)上的多项式，且\(f(a)=0\)，则\(x - a\)是\(f(x)\)在\(P[x]\)中的（ ）
A. 因式
B. 根
C. 不可约因式
D. 最大公因式

5. 设\(A\)是正定矩阵，则下列矩阵中不是正定矩阵的是（ ）
A. \(A^T\)
B. \(A^{-1}\)
C. \(A^2\)
D. \(kA\)（\(k\lt0\)）

6. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2\)，则其矩阵为（ ）
A. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)
B. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)
C. \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)
D. \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)

7. 设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，\(\alpha,\beta\in V\)，则下列等式中不成立的是（ ）
A. \((\alpha + \beta) + (-\alpha) = \beta\)
B. \(k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta\)
C. \((k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha\)
D. \(k(l\alpha) = (kl)\alpha\)

8. 已知\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，则\(\vert A\vert\)等于（ ）
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(-1\)
D. \(\pm1\)

9. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(f(x)\)是多项式，则\(f(A)\)的特征值为（ ）
A. \(f(\lambda)\)，其中\(\lambda\)是\(A\)的特征值
B. \(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)\)，其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是\(A\)的特征值
C. \(f(\lambda)\)，其中\(\lambda\)是\(A\)的任意一个特征向量对应的特征值
D. 以上都不对

10. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩\(r(A)=r\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的秩\(r(A^)\)为（ ）
A. \(n\)
B. \(r\)
C. \(n - r\)
D. \(0\)，当\(r\lt n\)时；\(1\)，当\(r = n - 1\)时；\(n\)，当\(r = n\)时

第II卷（非选择题 共70分）

11. （10分）设\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩。

12. （15分）求向量组\(\alpha_1=(1,1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3,4)\)，\(\alpha_3=(1,4,9,16)\)，\(\alpha_4=(1,8,27,64)\)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

13. （15分）已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_2x_3\)，通过正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换矩阵。

14. （15分）设\(A\)是\(n\)阶方阵，且满足\(A^2 - 3A + 2E = 0\)，证明：\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(2\)。

15. （15分）设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一组基，\(\beta\in V\)，且\((\beta,\alpha_i)=a_i\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)）。证明：\(\beta = \sum_{i = 1}^{n}a_i\alpha_i^\)，其中\(\alpha_i^\)是\(\alpha_i\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)下的对偶基。

答案：
1. C
2. C
3. A
4. A
5. D
6. A
7. A
8. D
9. A
10. D
11. 对\(A\)进行初等行变换：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，\(r_2 - 2r_1\)，\(r_