2025年大三（电子信息科学与技术）信号与系统综合试题.doc

2025年大三（电子信息科学与技术）信号与系统综合试题

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
请将每小题的正确答案填在题后的括号内。(总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案)
w1. 已知信号\(f(t)=e^{-2t}u(t)\)，其拉普拉斯变换\(F(s)\)为（ ）
A. \(\frac{1}{s + 2}\) B. \(\frac{1}{s - 2}\) C. \(\frac{2}{s + 2}\) D. \(\frac{2}{s - 2}\)
w2. 下列关于系统线性的说法，正确的是（ ）
A. 若系统对任意输入\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)，有\(y[x_1(t)+x_2(t)] = y[x_1(t)] + y[x_2(t)]\)，则系统线性
B. 线性系统满足齐次性和叠加性
C. 系统的输出与输入成线性关系就是线性系统
D. 线性系统只对正弦信号满足叠加性
w3. 离散序列\(x[n]=\sin(\frac{\pi}{3}n)\)的周期为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
w4. 信号\(f(t)\)的傅里叶变换\(F(j\omega)\)存在的充分条件是（ ）
A. \(f(t)\)绝对可积 B. \(f(t)\)平方可积
C. \(f(t)\)连续 D. \(f(t)\)有界
w5. 已知某LTI系统的单位冲激响应\(h(t)=e^{-t}u(t)\)，输入\(x(t)=u(t)\)，则系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)为（ ）
A. \((1 - e^{-t})u(t)\) B. \(e^{-t}u(t)\) C. \(u(t)\) D. \((1 + e^{-t})u(t)\)
w6. 序列\(x[n]=n^2\)的\(z\)变换\(X(z)\)的收敛域为（ ）
A. \(|z|>0\) B. \(|z|<1\) C. \(|z|>1\) D. 全\(z\)平面
w7. 若\(F(s)=\frac{s + 1}{s^2 + 2s + 2}\)，则\(f(t)\)为（ ）
A. \(e^{-t}\cos t\) B. \(e^{-t}\sin t\) C. \(e^{-t}(\cos t+\sin t)\) D. \(e^{-t}(\cos t-\sin t)\)
w8. 连续信号\(f(t)\)的频谱\(F(j\omega)\)是（ ）
A. 连续的 B. 离散的 C. 周期性的 D. 非周期性的
w9. 已知系统的差分方程为\(y[n]-ay[n - 1]=x[n]\)，则系统的单位冲激响应\(h[n]\)为（ ）
A. \(a^nu[n]\) B. \(a^{n - 1}u[n]\) C. \(a^nu[n - 1]\) D. \(a^{n - 1}u[n - 1]\)
w10. 信号\(f(t)\)的能量\(E_f\)为（ ）
A. \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt\) B. \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt\) C. \(\int_{0}^{\infty}|f(t)|dt\) D. \(\int_{0}^{\infty}|f(t)|^2dt\)

第II卷（非选择题 共70分）
w11. （10分）求信号\(f(t)=t^2e^{-3t}u(t)\)的拉普拉斯变换。
w12. （10分）已知某LTI系统的单位冲激响应\(h(t)=e^{-2t}u(t)\)，输入\(x(t)=e^{-t}u(t)\)，求系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)。
w（13）10分. 已知离散序列\(x[n]=\{1,2,3,4\}\)，\(h[n]=\{1,1,1\}\)，求\(x[n]\)与\(h[n]\)的卷积和\(y[n]=x[n]h[n]\)。
w14. （15分）材料：已知某连续LTI系统的微分方程为\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t)\)。
（1）求系统的传递函数\(H(s)\)。
（2）若输入\(x(t)=e^{-t}u(t)\)，求系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)。
w15. （15分）材料：已知离散LTI系统的差分方程为\(y[n]- \frac{7}{6}y[n - 1]+\frac{1}{3}y[n - 2]=x[n]\)。
（1）求系统的系统函数\(H(z)\)。
（2）若输入\(x[n]=(\frac{1}{2})^nu[n]\)，求系统的零状态响应\(y_{zs}(n)\)。

答案：
w1. A
w2. B
w3. B
w4. A
w5. A
w6. A
w7. C
w8.A
w9. B
w10. B
w11. 利用拉普拉斯变换的性质求解。\(f(t)=t^2e^{-3t}u(t)\)，根据\(L[t^n]=\frac{n!}{s^{n + 1}}\)以及\(L[e^{-at}f(t)] = F(s + a)\)，可得\(L[t^2]=\frac{2!}{s^{3}}\)，则\(L[t^2e^{-3t}u(t)]=\frac{2}{(s + 3)^{3}}\)。
w12. 先求输入\(x(t)\)的拉普拉斯变换\(X(s)=\frac{1}{s + 1}\)，再根据\(Y_{zs}(s)=H(s)X(s)\)，其中\(H(s)=\frac{1}{s + 2}\)，可得\(Y_{zs}(s)=\frac{1}{(s + 1)(s + 2)}=\frac{1}{s + 1}-\frac{1}{s + 2}\)，则\(y_{zs}(t)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t)\)。
w13. \(y[n]=x[n]h[n]\)，根据卷积和公式\(y[n]=\sum_{k = -\infty}^{\infty}x[k]h[n - k]\)，可得\(y[0]=x[0]h[0]=1\times1 = 1\)，\(y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0]=1\times1 + 2\times1 = 3\)，\(y[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0]=1\times1 + 2\times1 + 3\times1 = 6\)，\(y[3]=x[1]h[2]+x[2]h[1]+x[3]h[0]=2\times1 + 3\times1 + 4\times1 = 9\)，\(y[4]=x[2]h[2]+x[3]h[1]=3\times1 + 4\times1 = 7\)，\(y[n]=0(n<0,n>4)\)，所以\(y[n]=\{1,3,6,9,7\}\)。
w14. （1）对微分方程两边取拉普拉斯变换，可得\((s^2Y(s)-sy(0)-y'(0))+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=(sX(s)-x(0))+3X(s)\)，整理得\(H(s)=\frac{s + 3}{s^2 + 3s + 2}=\frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)}=\frac{2}{s + 1}-\frac{1}{s + 2}\)。（2）已知\(X(s)=\frac{1}{s + 1}\)，则\(Y_{zs}(s)=H(s)X(s)=\frac{s + 3}{(s + 1)^2(s + 2)}=\frac{1}{s + 1}-\frac{1}{(s + 1)^2}+\frac{1}{s + 2}\)，所以\(y_{zs}(t)=(e^{-t}-te^{-t}+e^{-2t})u(t)\)。
w15. （1）对差分方程两边取\(z\)变换，可得\(Y(z)-\frac{7}{6}z^{-1}Y(z)+\frac{1}{3}z^{-2}Y(z)=X(z)\)，整理得\(H(z)=\frac{1}{1-\frac{7}{6}z^{-1}+\frac{1}{3}z^{-2}}=\frac{z^2}{z^2-\frac{7}{6}z+\frac{1}{3}}=\frac{z^2}{(z-\frac{1}{2})(z-\frac{1}{3})}\)。（2）已知\(X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}\)，则\(Y_{zs}(z)=H(z)X(z)=\frac{z^2}{(z-\frac{1}{2})(z-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{2}z^{-1})}\)，通过部分分式展开等方法求出\(Y_{zs}(z)\)，再求逆\(z\)变换得\(y_{zs}(n)=[3(\frac{1}{2})^n - 2(\frac{1}{3})^n]u(n)\)。