一阶偏微分方程教程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,数学建模培训,一阶偏微分方程模型,偏微分方程的相关概念,偏微分方程：,一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的,阶,。如：,等。,如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是,线性的,；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是,拟线性的,。,2,定解问题：,定解条件通常包括,边界条件,和,初始条件,两种。含有定解条件的方程求解问题称为,定解问题,，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。,方程的解：,若函数,u,连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的,解（古典解）,。满足某些特定条件的解称为,特解,，这些条件称为,定解条件,。一般情况下，一个具有,n,个自变量的,m,阶方程的解可以含有,m,个,n,-1,元任意函数，这样的解称为,通解,。,3,一阶线性偏微分方程,一阶齐次线性偏微分方程,(1),显然方程有平凡解,u,=,常数。一般求其非平凡解。,以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为,(2),4,常微分方程组,(3),称为方程(2)的,特征方程组,，每一条积分曲线,称为方程(2)的,特征线,。,5,若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个,首次积分,。,若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为,则特征方程组(3)的通解为,6,例1.,求解方程组,解：,由,得,，因此得到一个首次,积分为,再由,得,，因此得到另一个首次积分为,于是原方程的隐式通解为,7,由(3)可得,(4),若(4)的一个首次积分为,的一个首次积分。,于是得到方程组(3)的一个等价形式：,，则它也称为(3),8,对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：,证明从略。,定理1：,连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。,定理2：,如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 是(2)的通解。,9,例2.,求解方程,解：,特征方程组为,或,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,，其中,为任意二元连续可微函数。,10,齐次线性偏微分方程的Cauchy问题,(5),其中,f,为已知函数。,例3.,求解Cauchy问题,11,解：,特征方程组为,首次积分为,于是原方程的通解为,，其中,为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,12,于是,从而原Cauchy问题的解为,13,非齐次线性偏微分方程,(6),其中,f,g,为已知函数。,其特征方程组为,将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。,14,一阶拟线性偏微分方程,(7),其特征方程组为,(8),以两个自变量的方程为例。,设其首次积分为,，则(7)的隐式,通解为,15,例4.,求解方程,解：,特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中,为任意二元连续可微函数。,16,例5.,求解Cauchy问题,解：,特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中,为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,于是有,，解得,再由初始条件得Cauchy问题的解为,17,带年龄结构的线性人口发展模型,线性模型的建立,考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间,t,有关，还和年龄,a,有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数,p,(,a,t,)表示人口在任意时刻,t,按年龄,a,的分布密度，则在时刻,t,，年龄在区间,a,a,+d,a,中的人口数量为,p,(,a,t,)d,a,，因此在时刻,t,的人口总数为,18,若不考虑死亡，则在时刻,t,+,t,，年龄在,a,a,+,a,中的人口数量,p,(,a,t,+,t,),a,，应等于在时刻,t,，年龄在区间,a,t,a,+,a,t,中的人口数量,p,(,a,t,t,),a,，即,令,t,0，有,因此,p,(,a,t,)应满足,19,但实际上必须考虑死亡的影响。设,(,a,)是单位时间内年龄在,a,a,+d,a,中的人口死亡概率，则在时间段,t,t,+d,t,内，从年龄在区间,a,d,t,a,中的人口成长为年龄在区间,a,a,+d,t,中的人口的过程中死亡人数为,于是,或,将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有,20,这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。,(1),方程(1)对应的初始条件为 ，这里,p,0,(,a,)表示初始人口分布密度。,要给出方程(1)所对应的边界条件,p,(0,t,)，就需要考虑人口的出生情况了。假设男女比例基本平衡，生育率为,(,a,)，则在时间段,t,t,+d,t,内出生的婴儿总数为,21,另一方面，,在时间段,t,t,+d,t,内出生的婴儿总数应等于时刻,t,+d,t,在年龄区间0,d,t,中的人数,p,(0,t,+d,t,)d,t,，即,或,令d,t,0，则得到边界条件,方程(1)与初始条件、边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型：,22,(2),同样，可建立带迁移的人口模型：,(3),其中,f,(,a,t,)为迁移率。,23,利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型(2)及模型(3)的解。,24,非线性模型的建立,我们再考虑环境对人口的影响。设,表示,t,时刻的社会总人口数。考虑到人口的生存与其总容量有关，一般可用,(,a,t,N,(,t,)表示死亡率，用,(,a,t,N,(,t,)表示年龄为,a,的社会人口在,t,时刻平均,单位时间内的平均生育率，即生育率。我们再考虑人口迁移因素，设,f,(,a,t,)表示,t,时刻年龄为,a,的社会人口在单位时间、单位年龄内的迁移人数，则有更一般的非线性人口发展系统：,25,(4),26,精神病用药问题的方程模型,问题的提出,精神病药物研究需测定新药的效果，例如治疗帕金森症的多巴胺的脑部注射效果。为了精确估计药物影响的脑部区域，我们必须估计注射后药物在空间的分布形状和尺寸。,研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含药物的测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱的长度为0.76mm，直径为0.66mm。这些平行圆柱的中心位于1mm,0.76mm,1mm的网格点上。因此，圆,27,表1 后方垂直截面,164,442,1320,414,188,480,7022,14411,5158,352,2091,23027,28353,13138,681,789,21260,20921,11731,727,213,1303,3765,1715,453,表2 前方垂直截面,163,324,432,243,166,712,4055,6098,1048,232,2137,15531,19742,4785,330,444,11431,14960,3182,301,294,2061,1036,258,188,柱在底面相互接触，侧面互不接触。,注：一个计量单位表示4.753,10,13,mol/l 的多巴胺，表中的数字如28353表示中间后部圆柱含有28353个单位的药物。,试估计药物在它影响区域中的分布。,28,图1 药物含量分布图,29,假设,忽略样本组织中多巴胺的原始含量；,假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可以忽略，且样本组织不靠近脑边界；,假设大脑是均匀的，扩散和衰减决定了多巴胺在大脑中迁移过程，忽略对流过程的影响；,假设仅进行一次多巴胺注射，注射位于原点；,假设注射和取样之间有较长时间间隔，可以忽略注射过程和各个柱体取样时间的差别。,30,在假设中，我们认为分子扩散和成分衰减是主要的迁移方式。成分的衰减显然可看作是与多巴胺的含量密度(浓度),C,(,x,y,z,t,)(剂量单位/mm,3,)成正比的。设该比例系数(即成分衰减系数)为,k,。下面来考虑分子的扩散。,先考虑物质仅沿,x,轴方向的扩散。如图2，垂直于,x,轴任作柱体，截面为,A,。,方程模型的建立,图2,31,一方面，该柱体中物质扩散时,位于区间段,x,x,+,x,的,物质,在时间段,t,t,+d,t,内,的增量为,另一方面，扩散理论中的涅恩斯特实验定律告诉我们，在时间,t,内，物质沿,x,轴正向流过,x,处截面(面积为,A,)的质量为(其中,E,x,0 称为,x,方向的扩散系数)：,32,同理，在时间,t,内，物质沿,x,轴正向流过,x,+,x,处截面的质量为：,于是在时间,t,内，流入微元体,x,x,+,x,内的物质质量为：,33,显然,，即,由于大脑是均匀的，显然沿各方向的扩散是一致的，且扩散系数,E,x,(,E,y,E,z,)均为常数，再考虑到成分的衰减，应有,(5),34,又设,t,=0 时瞬时点源的剂量为,M,，则,其中,(6),(6),(6)式为方程(5)的初始条件。(5)(6)即构成了用药问题的方程模型。利用积分变换法可求得其解。,35,偏微分方程的傅里叶变换解法,傅里叶变换及其基本性质,若,f,(,x,)在-,l,l,分段连续可导(逐段光滑)，则,f,(,x,)在(-,l,l,)可以展开为Fourier级数：,其中,36,将系数代入，并设,f,(,x,)在(,)内绝对可积，则整理可得,令,则,称,g,(,)为,f,(,x,)的傅里叶变换，记为,F,f,；称,f,(,x,)为,g,(,)的傅里叶逆变换，记为,F,1,f,。,37,性质1,性质2,性质3,性质4,其中定义卷积,性质5,38,例 求解定解问题,关于,x,进行傅里叶变换，记,F,u,=,U,，,F,=,，则有,其解为,傅里叶变换法求解偏微分方程,39,于是原问题的解为,而,故,40,偏微分方程的分离变量解法,下面来求解定解问题：,(1)(2)(3),41,作具有分离变量形式的试解,u,(,x,t,)=,X,(,x,),T,(,t,)，代入方程,(1),，得,(4)(5),即有,从而得到两个常微分方程,42,再将试解,u,(,x,t,)=,X,(,x,),T,(,t,)代入边界条件,(2),，得,(6),即有,下面首先来求解本征值问题,(5,)(6)的非零解。,当,0,时，常微分方程,(5),的通解为,由(6)得,，欲求得非零解，必须有,于是只有,44,此时，常微分方程,(5),的通解为,而常微分方程,(4),变为,于是得到,其通解为,45,将上述所有,u,k,(,x,t,)进行叠加，得到,(7),将(7)代入初始条件,(3),，又可得到,由傅里叶级数理论可以得到待定系数,A,k,、,B,k,的积分表达式：,46,函数(7)、(8)、(9)就是定解问题(1)、(2)、(3)的级数解：,(8),(9),47,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,