共形映射.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,一、重点与难点,重点：,难点：,分式线性变换及其映射特点,分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射,2,二、内容提要,共形映射,分式线性映射,一一对应性,保角性,保圆性,几个初等,函数构成,的映射,分式线性映射的确定,对确定区域的映射,保对称性,幂函数,指数函数,3,1.,的几何意义,正向之间的夹角,.,4,的一条有向光滑曲线,之间的夹角,.,5,2),转动角的大小与方向跟曲线,C,的形状与方向,无关,.,3),保角性,方向不变的性质,此性质称为保角性,.,夹角在其大小和方向上都等同于经过,6,4,）伸缩率,方向无关,.,所以这种映射又具有,伸缩率的不变性,.,7,2.,共形映射（保角映射）,也称为,第一类共形映射,.,仅保持夹角的绝对值不,变而方向相反的映射,称为,第二类共形映射,质,:,(1),保角性,;(2),伸缩率不变性,.,8,称为,分式线性映射,.,任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的,分式映射复合而成,:,3.,分式线性映射,9,分式线性映射的性质,1,）分式线性映射在扩充复平面上一一对应,.,2,）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性,.,10,2.,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无,穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周,;,如果,有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线,.,分式线性映射将扩充,z,平面上的圆周映射,成,扩充,w,平面上的圆周,即具有保圆性,.,3,）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性,注意：,1.,此时把直线看作是经过无穷远点的圆周,.,11,4,）分式线性映射具有保对称性,.,这一性质称为,保对称性,.,12,4.,唯一决定分式线性映射的条件,交比不变性,13,判别方法,:,对确定区域的映射,在分式线性映射下,C,的内部不是映射成,方法,1,在分式线性映射下,如果在圆周,C,内任取,若绕向相反,则,C,方法,2,14,圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所,2),当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二,围成的区域,.,3),当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这,二圆周的弧所围成的区域映成角形区域,.,1),当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二,圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区,域,.,分式线性映射对圆弧边界区域的映射,:,15,5.,几个初等函数所构成的映射,映射特点,:,把以原点为顶点的角形域映射成以原,点为顶点的角形域,但张角变成为原来的,n,倍,.,16,特殊地,:,因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利,用幂函数,所构成的共,形映射,.,0,17,0,0,如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数,.,0,特殊地,:,0,映射特点,:,18,三、典型例题,解,1,利用分式线性映射不变交比和对称点,19,由交比不变性知,20,解,2,由对称点的不变性知,，,利用不变对称点,21,解,3,将所求映射设为,利用典型区域映射公式,22,例,2,求一个分式线性映射 它将圆,映成圆,且满足条件,解,因 映成 的映射为,23,24,例,3,求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ，且满足条件,解,25,与 互为反函数，,26,故,27,解,28,例,5,试证明在映射 下,互相正交的直线族,与 依此映射成互相正交的直,线族与圆族,证,29,由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，,故命题得证,.,证毕,30,例,6,试将如图所示的区域映射到上半平面,.,由分式线性映射的保圆性知：,将铅直带形域,31,为所求映射,.,32,放映结束，按,Esc,退出,.,33,