大学高数下--二重积分的计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标系计算二重积分,三、利用极坐标系计算二重积分,二、利用积分域和被积函数的对称性,计算二重积分,.,先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.,.,如果积分区域,D,可表示为：,其中函数 、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,1、,x,型区域,则,D,称为,x,型,区域,.,.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,.,如果积分区域,D,可表示为：,其中函数 、在区间 上连续.,2、,y,型区域,则,D,称为,y,型,区域,.,.,x,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,y,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,.,1)如果积分区域,D,可表示为,x,型,区域又可表示为,y,型,区域，且,f,(,x,y,)在,D,上连续，则有：,3、其他情形,采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.,.,2)如果积分区域,D,不是,x,型,区域也不是,y,型,区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把,D,分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是,D,上的二重积分.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,.,例1,解,求曲线的交点,：,画出草图并将区域写成不等式形式,：,计算,：,.,计算二重积分的几点说明：,1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域,D,的几何形状确定的，因此计算二重积分应先,画出积分区域,D,的图形,.,2)第一次积分的上、下限是,函数或常数,，而第二次积分中的上、下限一定是,常数,，且下限要小于上限.,3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.,.,解,如图,.,解,积分区域如图,.,解,积分区域如图,.,解,.,解,.,.,.,例11,解,先去掉绝对值符号，如图,.,二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,.,.,.,.,A,.,.,.,三、利用极坐标系计算二重积分,.,二重积分化为二次积分的公式（）,1、极点,O,在,D,的外部,区域特征如图,.,区域特征如图,.,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2、极点,O,在,D,的边界上,.,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,3、极点,O,在,D,的内部,.,.,.,法二:,积分区域关于,x,轴对称,.,解,.,解,.,解,.,.,.,解,.,解,.,解,.,.,.,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,四、小结,y,型,x,型,（在积分中注意使用,对称性,）,.,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用,对称性,）,.,思考题,.,思考题解答,.,.,思考题,.,思考题解答,.,练 习 题,.,.,.,.,练习题答案,.,.,练 习 题,.,.,.,练习题答案,.,.,