e基本的矩阵迭代法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第三章,线性方程组的迭代解法,基本的矩阵分裂迭代法,1,本讲内容,Jacobi,迭代算法,Gauss-Seidel,迭代算法,SOR,迭代算法,收敛性分析,矩阵分裂迭代法的典型代表,2,Jacobi,迭代,考虑线性方程组,Ax,=,b,其中,A,=(,a,ij,),n,n,非奇异，且对角线元素全不为,0,。,将,A,分裂成,A,=,D,-,L,-,U,，,其中,3,Jacobi,迭代,k,=0,1,2,令,M,=,D,，,N,=,L,+,U,，可得,雅可比,(Jacobi),迭代方法,Jacobi,迭代,迭代矩阵记为：,分量形式：,i,=1,2,n,，,k,=0,1,2,4,5,Gauss-Seidel,迭代,在计算 时，如果用 代替 ，则可能会得到更好的收敛效果。,6,Gauss-Seidel,迭代,写成矩阵形式,:,此迭代方法称为,高斯,-,塞德尔,(,G,auss-,S,eidel),迭代法,k,=0,1,2,可得,迭代矩阵记为：,7,SOR,迭代,为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个,松弛因子,，于是可得迭代格式,在,G-S,迭代中,8,SOR,迭代,写成矩阵形式,:,可得,SOR(,S,uccessive,O,ver-,R,elaxation),迭代方法,迭代矩阵记为：,SOR,的优点,：通过选取合适的,，可获得更快的收敛速度,SOR,的缺点,：,最优参数 的,选取比较困难,9,Jacobi,、,G-S,、,SOR,Jacobi,迭代,SOR,迭代,G-S,迭代,10,举例,例,：,分别用,Jacobi,、,G-S,、,SOR,迭代解线性方程组,取初始向量,x,(0),=(0,0,0),，迭代过程中小数点后保留,4,位。,解：,Jacobi,迭代：,迭代可得：,x,(1),=(0.5000,2.6667,-2.5000),T,x,(21),=(2.0000,3.0000,-1.0000),T,11,举例,G-S,迭代：,x,(1),=(0.5000,2.8333,-1.0833),T,x,(9),=(2.0000,3.0000,-1.0000),T,迭代可得：,12,举例,SOR,迭代：,取,=1.1,，迭代可得,x,(1),=(0.5500,3.1350,-1.0257),T,x,(7),=(2.0000,3.0000,-1.0000),T,如何确定,SOR,迭代中的最优松弛因子是一件,很困难,的事,13,14,收敛性分析,定理,：,对任意初始向量,x,(0),，上述迭代格式收敛的充要条件是,定理,：,若存在算子范数,|,|,，使得,|B|1,，对任意的初始向量,x,(0),，上述迭代格式收敛。,15,Jacobi,迭代收敛的,充要,条件,(,J,)1,G-S,迭代收敛的,充要,条件,(,G,)1,SOR,迭代收敛的,充要,条件,(,L,)1,收敛性,收敛性定理,Jacobi,迭代收敛的,充分,条件,|,J|,1,G-S,迭代收敛的,充分,条件,|G,|1,SOR,迭代收敛的,充分,条件,|,L,|1,谱半径,16,17,收敛性分析,B,=,M,-1,N,定理,：,若存在算子范数,|,|,，使得,|B|=,q,1,，则,证明：,P112,迭代法收敛,18,系数矩阵法,-,对角占优矩阵,且,至少有一个,不等式严格成立，则称,A,为,弱对角占优,；,若,所有不等式,都严格成立，则称,A,为,严格对角占优,。,(,i,=1,2,.,n,),定义,：,设,A,R,n,n,，若,19,Jacobi,、,G-S,收敛性,引理,3-2,：,若,A,严格对角占优,，则,A,非奇异,定理,3-25,：,若,A,严格对角占优,，则,Jacobi,迭代和,G-S,迭代均收敛,定理,：,若,A,对称，且对角线元素均大于,0,，则,Jacobi,迭代收敛的充要条件是,A,与,2D-A,均正定；,G-S,迭代收敛的充要条件是,A,正定。,20,SOR,收敛性,定理,：,若,SOR,迭代收敛，则,0,2,。,SOR,收敛的必要条件,定理,：,若,A,对称正定，且,0,2,，,则,SOR,迭代收敛。,SOR,收敛的充分条件,定理,：,若,A,严格对角占优，且,0,1,，,则,SOR,迭代收敛。,21,举例,例,：,设 ，给出,Jacobi,和,G-S,收敛的充要条件,解：,A,对称，且对角线元素均大于,0,，故,(1)Jacobi,收敛的充要条件是,A,和,2D-A,均正定,(2)G-S,收敛的充要条件是,A,正定,A,正定,2,D,-,A,正定,Jacobi,收敛的充要条件是：,-0.5,a,0.5,G-S,收敛的充要条件是：,-0.5,a,1,22,举例,解法二：,Jacobi,的迭代矩阵为,设,是,J,的特征值，则由,det(,I,-,J,)=0,可得,(,-,a,),2,(,+2,a,)=0,Jacobi,收敛的充要条件是,(,J,)1,|,|1,，,即,-0.5,a,0.5,23,作业,1.,教材,页，习题,2.,教材,页，习题,24,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,