5-5充分统计量.ppt

第五节 充分统计量,1、充分性的概念,2、因子分解定理,一、充分性的概念,不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括了样本中所含未知参数的全部信息.,例1,为研究某运动员的打靶命中率,对其进行测试。观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此观测结果包括两种信息：,（1）打靶10次命中8次；,（2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。,例2,设总体X分布为b(1,),X,1,X,2,X,n,是取自总体的样本，令,T,=,X,1,+.+X,n,则在给定,T,的取值,t 后,对任意一组 ,有,该条件分布与,无关，因而,T,是充分统计量。,注1：,用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失样本中有价值的信息的方法是可行的.,2：,充分统计量不唯一.实际上,样本本身就是参数的一个充分统计量.由此,充分统计量总存在.,3：,若样本容量为,n,（在上例中）,则,T,1,=x,1,+x,2,不是充分统计量.显然,它浪费了n-2个样品的信息.,定义:,注：,条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示.,定理1：,设,T=T,(,x,1,x,n,)是参数的一个充分统计量，,z,=(t)具有单值反函数，则,Z,=(,T,)也是的一个充分统计量.,（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）,T和可以是向量,维数不一定相同,定理2：,以下统称分布列和密度函数为概率函数.,二、因子分解定理,其中,g,(,t,)是通过统计量,T,的取值而依赖于样本的，,而,h,(,x,1,x,n,)不依赖于.,例4,设,x,1,x,2,x,n,是取自总体,N,(,1)的样本，,令 ,则,T,为,的充分 统计量.,由因子分解定理可知,是,的充分统计量。,证：,例5,设总体,X,分布为U(0,),x,1,x,2,x,n,是取自总体的样本，则,T=x,(n),是,的充分统计量.,由因子分解定理可知,T,=,x,(n),是,的充分统计量。,证：,例6,设总体X分布为N(,2,),x,1,x,2,x,n,是取自总体的样本，,=(,2,)是未知的,则,是,的充分统计量.进一步,它的一一对应变换 仍是充分统计量.,证：,注：,若是参数向量，,T,是随机向量，且满足因子分解定理的条件，则,T,是的充分统计量.但不能由,T,关于是充分的,推出,T,的第,i,个分量关于的第,i,个分量也是充分的.,例7.,设,x,1,x,2,x,n,是取自均匀分布,U,(,2)的样本，其中参数0，试给出充分统计量.,例8,设,x,1,x,2,x,n,是取自总体X的样本，其中,X,的密度为,试给出一个充分统计量.(P283),由因子分解定理可知,是,的充分统计量。,注：,因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量.,故例8中 几何平均 及其对数 都是,的充分统计量.,解:,常见分布的充分统计量,分布,参数,充分统计量,两点分布b(1,p,),p,Poisson分布P(,),几何分布Ge(,),均匀分布U(0,),均匀分布U(,1,2,),(,1,2,),均匀分布U(,2),正态分布N(,2,),(,2,),指数分布Exp(,),伽玛分布Ga(,),(,),