概率论与数理统计书.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,概率论与数理统计,课程,CH1,随机事件与概率,1.,1,随机试验,1.1.1,研究对象的分类,确定性问题,:,在一定的条件下，必然会发生的问题。比如：弹簧受到外力作用会发生形变，水从高处往低处流，同性电相斥、异性电相吸等。,（高等数学、线性代数等课程研究的对象）,2,不确定问题,:,研究对象的某种现象在出现之前我 们不知道它是否会发生。,例如：,抛一枚硬币出现正面或背面现象,口袋里有红、黄、蓝三色球若干，随便取一球是红球这一现象，向某一目标打一发炮弹，是否击中目标等。,（我们这个课程研究的对象）,3,1.1.2,随机试验,试验,：指对研究对象的观测，一次观测称为一次试验。,随机试验：,指对随机现象的观测，一次,观测称为一次随机试验。比如：抛一次,硬币或一次抛多枚硬币，观测出现正面,的个数等。,4,（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知,道。,必然性,（统计规律性）,随机试验必需满足：,（1）在相同条件下，试验可以重复进行。,可重复性,（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不,能预先知道发生哪种结果。,偶然性,随机试验一般用字母,E,表示。,5,例,1,一些随机试验的例子,口袋里分别有红、黄、蓝球,3,个，,每次从口袋中取,2,个球（有放回）。,连续向一个目标发射,10,法炮弹。,连续观察一周每天的下雨情况。,买彩票中奖，如此等等。,类似例子很多，,自己试着举一些,6,1.2 随机事件与样本空间,基本事件,指随机试验中，其每一个可能出现,的结果。,样本空间,指基本事件的全体组成的集合,基本事件称为样本空间的点。,1.2.1,基本事件与样本空间,7,例,2,投掷一枚骰子一次，有,6,个基本事件，即,点数：,1 2 3 4 5 6,。,该随机试验的样本空间为：,8,1.2,.2,随机事件,随机事件：,某些基本事件组成的集合。,又称为复合事件。,比如，例,2,中的点数不超过,3,点的集合。,9,几个特殊的随机事件,必然事件,：每次试验中必然发生的事件，,记为,。,比如：例,2,中的点数小于等于,6,的集,合。,不可能事件,：每次试验中不可能发生的事件，,记为,。,比如：例,2,中的点数大于,6,的集合。,10,1.,2.3,事件之间的关系及其运算,必然事件包含了样本空间的所有点，不可能不包含样本空间的任何点。一般的事件存在着一些联系。,事件的包含关系,定义,：若事件,A,发生必导致事件,B,发生，则称,事件,B,包含事件,A。,记为：,B,A,或,A B。,比如例,2,中，,A,：表示小于,3,点事件，,B,表示小于,5,点事件。）,11,事件相等,若事件 且,，,则称,事件,A,和事件,B,相等。,记为,AB。,即：事件,A,与,B,所包,含的基本事件是一样的。,12,定义,：若事件,A,发生或事件,B,发生，则称这样,的事件为并事件，记为：,A B。,结论,：；。,事件的并（或称和）,注：包括事件,A,与,B,同时发生,A,B,13,例,3,A=,1,，,2,，,7,，,8,，,a,b,c,B=,1,5,8,，,b,e,则,A,UB=,1,，,2,，,5,，,7,，,8,，,a,b,c,e,14,定义,：在试验中，事件,A,与事件,B,同时发生,的事件称为事件,A,与事件,B,的交（或积），,记为,A,B,（,或,A,B,）。,事件的交（积）,在例,3,中，,AB=,1,，,8,，,b,结论,：；。,参考上图解释,15,逆事件,发生的属于样本空间，但不属于,A,的事件，称为,A,的逆事件，记为,。,A,在例,2,中，如果,A=,1,，,3,，,5,，,则,16,事件的差,：,在试验中，事件,A,发生而事件,B,不发生的事件称为事件,A,与事件,B,的差。记为,AB。,结论,：。,A,B,AB,在例,3,中，,A-B=,2,7,a,c,17,定义：,在一次试验中，若事件,A、B,不能同时,发生，则称事件,A、B,为互不相容，记为：,AB。,否则称两事件相容。,结论,：从基本事件说，互不相容事件没有公,有的基本事件。显然，在一次试验中，两个,基本事件不能同时发生，所以任何两个基本,事件都是互不相容事件。,事件的相容性,18,交换律,：,ABBA，ABBA,结合律,：(,AB)CA(BC)，,(AB)CA(BC),分配律,：(,AB)C(AC)(BC)，,(AB)C(AC)(BC),事件的运算律,德摩根公式,：,19,例,4,、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，,每种球都不止一个，一次任取两个球，观察,它们的颜色。设,A,两个同色球，,B,至少,一个红色球，问,AB,由哪些基本事件组成？,解 用,R,表示红球，,Y,表示黄秋，,W,表示白球则：,A=RR,，,YY,，,WW,，,B=RR,，,RY,，,RW,AB=,RR,，,RY,，,RW,，,YY,，,WW,20,思考：设,A、B、C,为三个事件，试将下,列事件用,A、B、C,表示出来。,（1）三个事件都发生；,（2）三个事件都不发生；,（3）三个事件至少有一个发生；,（4）,A,发生，,B、C,不发生；,（5）,A、B,都发生，,C,不发生；,（6）三个事件中至少有两个发生,（7）不多于一个事件发生；,（8）不多于两个事件发生。,21,例,5,、下列命题中，正确的有哪些？,（1）若,A,B，,则,ABA；,（2）若,A,B，,则 ；,（3）,；,（4）若,，则 ；,（5）,；,（6）若,，则 ；,对,对,对,解决这类问题，最好的方法是用图示法！,22,（1）所有基本事件，构成一个互不相容的事,件组。,（2）所有基本事件的并是必然事件,。,基本事件的重要性质,：,注意,23,1,.,3,随机事件的概率,1.2.1事件的频率,频率,：,如果在,n,次重复随机试验中，事件,A,发,生了,n,A,次，那么就称比值,f,n,(A),为事件,A,发生,的频率，其中 。,对任意随机试验,E，,频率具有性质：,24,（1）对任意事件,A，。,（2）,。,（3）对任意有限多个互不相容的事件,A,1,、A,2,A,m,有 。,说明,由频率的定义可见，如果事件,A,发生的,可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率,还有稳定性，即当,n,很大时，频率稳定在一个,固定值附近摆动。,25,1.,3.1,概率的定义,（1）概率的统计定义,定义1,：,在同一组条件下所作的,大量,重复试验,中，如果事件,A,发生的频率总是在一个确定的,常数,p,附近摆动，并且逐渐稳定于,p,，,那末,数,p,就表示事件,A,发生的可能性大小，并称,它为事件,A,的概率，记作 。,26,（2）概率的公理化定义,定义2：,设,E,是随机试验，,是,E,的样本空间，,对于,E,的每一个事件,A,赋予一个实数值，记为,，称为事件,A,的概率，如果集合函数,满足下列条件：,（1）非负性：,（2）规范性：,27,（3）,可列可加性：,设事件,互不相容，则有：,这3条也是概率的三个基本性质，此外概率,还有一些其他性质：,28,（1）,（2）,（3）加法定理,（4）,（5）若 ，则有 。,29,概率的加法公式可推广到有限个事件的并的,情形。如：,1.,已知 ，则,（,A,）,0.4,；（,B,）,0.5,；（,C,）,0.3,；（,D,）,0.7,。,例,6,30,2、设 ，且,，则 （）。,3、设,A、B、C,为随机事件，且,，0.125，则,A、B、C,至少出现一个的概率是,。,31,特殊概型,等可能概型,等可能概型,（古典概型）：如果一个随机试,验,E,具有如下的特征，则称为等可能概型。,（1）基本事件的全集是由,有限个,基本事件,组成的；,（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可,能性是,相同,的。,32,定义：在古典概型中，若样本空间包含的基,本事件总个数为,n，,其中事件,A,包含的基本事,件个数为,m，,则事件,A,的概率为,古典概型中概率的计算,一般方法：通过计算基本事件个数，计算概率。,33,例,7,、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数,字中，随机地取出3个数字，组成一个三位数，,求这个三位数为奇数的概率。,例,8,、连续三次抛一枚硬币，求恰好出现一次,正面的概率和恰好出现二次正面的概率。,解：,，,；,解：,，,；,对于初学者，可以用描述方法，求解类似问题。,34,例,9,、袋中有16个白球，4个红球，从中取出3,个，求至少有一个是红球的概率。,解：,，,；,另解：对,A,的逆事件 有,，,；,注意有放回取球与无放回取球的区别。,35,例,10,、盒中有,a,个黑球，,b,个白球，从中有放,回的抽取,n,个球，求事件,A：“,刚好取到,k,个黑,球”的概率。,解：,例,11,、12名运动员中有4名种子选手，现将运动员平均分成两组，问4名种子选手：,（1）,各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组的概率。,（,N,个球中有,k,个黑球）,36,解（1）：,，,；,（2）：,；,例,10,、一盒中含有,N1,个黑球，一个白球，每,次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，,这样继续下去，求事件,A：“,第,k,次取到黑球”,的概率。,借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。,37,解：显然，这是一个古典概型的问题，样本,空间的大小为 ；而要求概率的事件,A,所包,含的基本事件个数就不容易计算了，但可考,虑其逆事件,38,例,11,、盒中有,a,个黑球，,b,个白球，把球随机,地一只只取出（不放回），求事件,A：“,第,k,（1 k,a,b,）,次取到黑球”的概率。,解：,另解：,有放回是有序行为，无放回是无序行为,表,明,前,k-1,次,是,从,a+b-1,个,球,中,取,出,的,39,1,.,4,条件概率,1,.4.1,条件概率,在实际问题中，除了要知道事件,A,的概率,外，有时还要考虑在“已知事件,B,发生”的条件,下，事件,A,发生的概率。一般情况下，两者的,概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者,称为,条件概率,。,1-4,40,条件概率定义,定义：若,A,、,B,为同一随机试验的两个事,件，且 ，则 称在,B,发生条,件下,A,发生的概率为事件,A,关于,B,的条件,概率，记 。,41,注意：,条件概率也是概率。所以，它满足概率,的一切性质,。,如：,但 未必成立。,条件概率计算,A,AB,B,42,例,12,、设10件产品中有2件次品，8件正品。现,每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求,下列事件的概率。,（1）前两次均取到正品,（2）第二次取到次品,（3）已知第一次取到次品，则第二次也取到,次品,43,解：,，,这显然是抽签的公平性，,（考虑样本空间的改变）,或者：,44,问题（,3,）也可考虑：,设,A,1,：“第一次取到次品”,A,2,：“第一次取到次品”,45,2.概率的乘法定理,定理：,两事件的积事件的概率等于其中一事件,的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概,率的乘积。即：,P(AB)=P(B)P(AB)P(A)P(BA),46,例,13,：某人忘记了电话号码的最后一个数字，,因而随意拨号，求,（1）拨号不超过3次而接通电话的概率。,（2）若已知电话号码的最后一个数字是奇数，,求拨号不超过3 次而接通电话的概率。,解：设,A,拨号不超过3次而接通电话，,A,i,第,i,次拨号时接通电话，,i,1,2,3。,则：,47,且,是两两互不相容的。,（1）,P(A)1/109/101/99/108/91/83/10,（2）P(A)1/54/51/44/53/41/33/5。,48,3.全概率公式、贝叶斯公式,1、划分,：设,为随机试验,E,的样本空间，,为,E,的一组事件，若,（1）,（2）,则称 为样本空间的一个划分。,49,设,为随机试验,E,的样本空间，为样本空间的一个划分。则：,2、全概率公式,50,例1,4,、设有编号1，2，3的3个盒子，分别有,4,，,5,，,6,个黑球，,5,，,4,，,3,个白球，今任取一个盒子，再从盒子中任取一球（每一盒，每一球均等可能被取到），求事件,A：“,取出的球是白球”的概率。,解：,设事件：“此球属于第,i,个盒子”。,则由全概率公式得：,51,52,3.,贝叶斯公式,在上述例子中，我们知道事件,A,在各种原因,下发生的平均概率可以通过全概率公式求出。,但是，若在事件,A,已发生的条件下，求某个事件的概率，这个问题的解决，就要求助于贝叶斯公式了。,53,贝叶斯公式：,54,例1,5,、在例1,4,中，若已知从盒中取出的一球是,白球，问此球是来自一号盒子的概率为多少？,解：由前可知,55,例1,6,、在数字通讯中，信号是由0和1组成的。,若发送的信号为0和1的概率分别为0.7和0.3；,由于随机干扰，当发送信号是0时，接收为0和,1的概率分别为0.8和0.2；当发送信号是1时，,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1。求已知收,到的信号是0时，发送信号也为0（即没有错,误）的概率。,56,解：设事件 ：“发送信号为0”，,事件 ：“发送信号为1”，,事件,A：“,接收信号为0”,由贝叶斯公式得：,57,例1,7,、假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，根据,以往经验，患者用此法能被查出的概率为0.95，,非患者用此法被误诊的概率为0.1。假定人群,中肝癌的患病率为0.0004。现在若有一人被此,法诊断为肝癌，求此人真正患有肝癌的概率。,解：设事件,A：“,诊断为患有肝癌”,事件 ：“此人真正患有肝癌”，,事件 ：“此人未患肝癌”,58,由贝叶斯公式得：,59,1.5.1两个事件的独立性,定义:,设事件,A、B,是某一随机试验的任意两个,事件，若满足 ，,则称事件,A,、,B,互相独立。,独立的性质：如果,A、B,相互独立，则有,1.5事件的独立性,1-5,独立性与不相容性是两个不同的概念,60,例1,8,：在20个产品中有2个次品，从中接连抽两,个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个,产品，求,（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取,得次品的概率,（2）,第二次取得次品的概率。,解：设事件,A,第一次抽到次品，,事件,B,第二次抽到次品，,61,（1）因是有放回的：,P(B|A);,（2）,因是有放回的：,P(B)P(B|A),所以，,P(B|A)P(B)。,定理：,若事件,A,与,B,相互独立，且 ，,则,62,独立扩张定理：,若事件,A,与,B,独立，则,、,也,相互独立。,希望大家能熟练地运用扩张定理,63,1.5.2多个事件的独立性,定义：设事件,A、B、C，,若有,则称,A、B、C,相互独立。,64,即使,A、B、C,两两互相独立，也不能,说明,A、B、C,互相独立。,注意,例,19,：如图所示，三个元件,a、b、c,安置在线路,中，各个元件发生故障是,相互独立的，且概率分别,为0.3、0.2、0.1，求该线,路由于元件发生故障而中断的概率。,65,解：设,A,元件,a,发生故障,B,元件,b,发生故障,C,元件,c,发生故障,D,线路中断，则,DA(BC),P(D)P(A)P(BC)P(ABC),P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C),0.30.20.10.30.20.10.314,66,例,20,：假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概,率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中,含有肝炎病毒的概率。,解：设,A,i,第,i,个人的血清中含有肝炎病毒，,可以认为它们是相互独立的。,67,例,21,、设 ，若,事件,A,与,B,互斥，则,；若,事件,A,与,B,独立，则,。,例,21,、设每门高射炮射击飞机的命中率为,0.4,，现若干门高射炮同时独立地对飞机,进行一次射击，问欲以,0.95,的把握击中,飞机，至少需要多少门高射炮？,68,贝努里试验：,只有两个可能结果的试验,称为贝努里试验。,n,次独立试验的特点：,（1）每次试验的条件都相同，且只有,两个可能的结果。,（2）每次试验是相互独立的。,n,次独立试验又称为,n,重贝努里试验,。,69,n,重贝努里试验中概率的计算：,例10、某人投篮一次命中的概率是0.6，求,（1）他投篮5次命中4次的概率；,（2）他投篮5次至少命中3次的概率；,70,例,22,、,进行一系列独立的试验，每次,试验成功的概率为,p，,则在2次成功之,前已经失败3次的概率为（）,（,A）；（B）,（C）；（D）,71,2-1,随机变量,为了能用变量、函数及微积分等工具来研究随,机现象，引进了概率论中的另一重要概念,随机变量。,2.1.1,随机变量,2-1,随机变量,2.1,随机变量,CH2,72,有些随机现象的基本事件，虽然不表现为数量，,但仍可以通过人为地规定使它们数量化，使这,个随机现象的结果能用变量来表示。如：掷一,枚硬币，观察正反面的情况，,e,1,=,正面向上,，,e,2,=,反面向上,。引进变量,，规定：,e,1,=0,，,e,2,=1,，,也将其基本事件和实数,对应了起来。,73,定义：,设,E,是一个随机试验，,是其样,本空间，如果对每一个 ，有唯一的实,数,X,与之对应，我们就称,X,是,E,的一个随机变量。,由定义可知，随机试验,E,的随机变量不,是唯一的。,说明,74,随机变量也经常用希腊字母,、,、,、,等表示。,随机变量的可取值范围是基本事件的全集所,对应的实数范围。,引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在,实数轴上某一个集合中取的值来表示，所以，,研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取,值的概率。,75,2.2,离散型随机变量,离散型随机变量：,随机变量的可取值范围，有,的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取,值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称,为离散型随机变量。,2.2.1,离散型随机变量的分布列,76,定义：,如果随机变量的可取值为,且,P,(,X,=,x,1,),p,1,、,P,(,X,=,x,2,),p,2,、,、,P,(,X,=,x,n,),p,n,则称,P,(,X,=,x,k,),p,k,为离散型随机变量,X,的概率分,布列，简称分布列或分布律。,分布律又常常表示为表格的形式：,X x,1,x,2,x,k,P p,1,p,2,p,k,77,3.,离散型随机变量的分布列的,性质,反之，若数列 满足这两条性质，则一,定是某一离散型随机变量的分布列。,（,1,）,（,2,）,78,例,1,、一射手对某一目标进行射击，一次击中,的概率为,0.8,（,1,）求一次射击的分布列；,（,2,）,求到击中目标为止所需的射击次数的,分布列。,解（,1,）,设,X=0,击不中目标,，,X=1,击中目标,，则：,79,p,1,P,(,X,=0),0.2,，,p,2,P,(,X,=1),0.8,且,p,1,p,2,1,，,所以分布列为：,X,0 1,p,k,0.2 0.8,（,2,）,设射击到击中目标为止，射击的次数是,随机变量,Y,，则,Y1,2,3,k,。,80,p,1,P,(,Y,=1),0.8,，,p,2,P,(,Y,=2),0.20.8,，,，,p,k,P,(,Y,=,k,),0.2,k,-1,0.8,，,且,所以，,Y,的分布律为,Y,1 2 k ,p,k,0.8 0.20.8 0.2,k-1,0.8 ,81,例,2,、把,4,个球任意的放到,3,个盒子中，令,X,表示,落到第,1,个盒中球的个数，求,X,的分布列。,分析：,4,个球任意的放到,3,个盒子中，落到第,1,个盒中球的个数可能取,0,、,1,、,2,、,3,、,4,这,5,个,数值。,4,个球放到,3,个盒子中有,3,4,种放法，,表示有,k,个球落到第,1,个盒中，这,k,个球有,种取法，其余的,4,k,个球任意放到,2,，,3,两个,盒中有 种放法，所以：,82,例,3,、设离散型随机变量,X,的分布列为,求正数,a,的值。,83,解：所有这类问题都需要用分布律的性质解决,所以，,84,例,4,、设离散型随机变量,X,的分布列,其中，为已知，求常数,C,。,解：,85,对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，,还要研究其分布函数 。根据上一节的内,容可得离散型随机变量,X,的,分布函数为,从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型,86,例,5,、求例,2,中的随机变量,X,的分布函数。,解：,X,的分布列为,X 0 1 2 3 4,离散型随机变量的分布函数都是阶梯型的，,也就是说函数是分段函数，,X,有,5,个取值点，分,布函数就有,6,段。,87,88,2.2.2,常见的离散型随机变量,（,1,）（,01,）分布,：设随机变量,X,只可能取,0,和,1,两个数值，它的分布为,其中 ，则称,X,服从（,01,）分布。,89,（,2,）二项分布,：（贝努里试验）若随机变量,X,的分布律为,其中 ，则称,X,服从参数为,n,，,p,的二项分,布，记为 ，当 时，就是（,0-1,）,分布。,90,例,6,、为了保证设备正常工作，需配备适量的,维修工人。现有同类设备,300,台，各台工作是,相互独立的，发生故障的概率为,0.001,，在通常,情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。,问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故,障后但不能及时维修的概率小于,0.01,？,91,解：设需要配备,N,名工人。记同一时刻发生故,障的设备数为,X,，则 。问题,的实质是求最小的,N,，,使,查表得,:N+1=3,即,N=2,。,因此，为满足要求，至少需配备,2,名工人。,92,（,3,）泊松（,Poisson,）,分布：,设随机变量,X,可能,取的一切值为,0,，,1,，,2,，,，而取各个值的概率,为 。其中 ，,是常数，则称,X,服从参数为的泊松（,Poisson,）,分布，记为,X,P,（,）。,（,4,）超几何分布：若,X,的分布律为,93,（,5,）几何分布,若随机变量,X,的分布律为,则称,X,服从几何分布。,以上是几种常见的离散型随机分布，要求同学们必须掌握。,94,2.3.1,概念,如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个,区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量,称为连续型随机变量。,2.3,连续型随机变量,95,定义：,设随机变量,X,的分布函数为 。若,存在非负可积函数 ，使得对于任一实数,x,有,则称,X,是连续型随机变量，其中函数 称,为,X,的,概率密度函数,，简称为概率密度。,96,一个重要等式,连续型随机变量取值的概率规律完全由其概率密度所决定。,概率密度的性质：,（,1,）,（,2,）,2.3.2,连续型随机变量性质,97,任何一个函数 满足了（,1,）（,2,），,则由,定义的 也一定是某个连,续型随机变量的分布函数。,连续型随机变量,X,在一个点上取值的概率恒为,0,。,98,例,1,：设连续型随机变量,X,的概率密度函数,为：,，,x,+,，,求常,数,C,。,解：由概率密度函数的性质知,这类问题是概率统计中最基本问题，必须掌握。,99,这个性质说明，连续型随机变量的分布函数,一定是连续函数。同时也给出了,由分布函数,求概率密度函数的方法,。,由于连续型随机变量,X,的分布函数为 是其,概率密度函数变上限积分所定义的函数，故,一定可导，且有性质：,（,3,）若 在,x,处连续，则,100,例,2,、设连续型随机变量,X,的分布函数为,求常数,A,及其概率密,度函数 。,解：由分布函数的性质（,3,）可知，在,处是连续的，所以在 处其左、右,极限都应该是,1,，因此,A,1,。,101,显然,而,所以 ，即概率密度,函数为,:,102,我们还可以看 ，,它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本,题的密度函数也可以取为 或 。,已知分布函数，密度函数可能不唯一。,103,一般的，同一个连续型随机变量,X,的概,率密度函数可以有许多，但它们除了在有限,个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。,也即连续型随机变量,X,的概率密度函数是“几乎,处处”唯一的。,104,例,3,、设连续型随机变量,X,的概率密度函数为,求,X,的分布函数 。,解：由 可得,105,106,连续型随机变量,X,而言，概率为,0,的事件未必是不可能事件；概率为,1,的事件也未必是必然事件。,在计算连续型随机变量,X,在某一区间内的概率时，可以不必区分是开区间还是其它类型的区间，它都等于概率密度函数在此区间上的定积分。,107,2.3.3,几个重要的连续型随机变量,1,、均匀分布,记为 。,设有连续型随机变量,X,，,其概率密度为,则称,X,在区间,上服从均匀分布，,108,均匀分布的分布函数,109,例,4,、设随机变量,K,，,求方程,有实根的概率。,解：,K,的密度：,方程有实根，即,110,2,、指数分布,若随机变量,X,具有密度：,其中，是常数，则称,X,服从参数为,的,指数分布。,记为：,X,。（,指数分,布又常被称为,寿命分布,）,分布函数：,111,例,5,、某种电子元件寿命服从参数,（小时）的指数分布。问：,5,个这样的元件连,续使用了,2000,小时后恰有,2,个损坏的概率和没,有一只元件损坏的概率。,解：密度为：,112,一个元件的寿命大于,2000,小时的概率为,所以，,2000,小时后该元件损坏的概率为：,113,记,Y,为,5,个元件使用,2000,小时后损坏的个数，,则：,所以，,2,个元件损坏的概率,没有元件损坏的概率：,114,指数分布的特性：无记忆性。,我们看下面的例子：,例,6,、某种电器元件的使用寿命,X,服从参数为,2000,的指数分布（单位：小时）,（,1,）任取一个元件，求能正常使用,1000,小时,以上的概率。,（,2,）求其正常使用,1000,小时后还能使用,1000,小时的概率。,115,解：,X,的密度为,（,1,）,（,2,）,116,由,本题可见，指数分布的无记忆性；其实，,不仅是指数分布有这样的性质，几还有其他分布也同样具有这样的性质。,117,3.,正态分布,如果连续型随机变量,X,的密度函数为：,其中,、,都是常数,(,0),，,则称,X,服从参数为,、,的,正态分布,，记,为：,X,N(,2,),。,118,正态曲线具有以下性质：,（,1,）,曲线位于,X,轴的上方，以直线,x,=,为对,称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以,X,轴为渐近线；,（,2,）当,x,=,时曲线处于最高点，当,x,向左右,远离,时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中,间高、两边低”的形状；,119,（,3,）参数,决定了正态曲线的形状，,愈,大，曲线愈“矮胖”,(,即分布愈分散,),，,愈小，,曲线愈“高瘦”,(,即分布愈集中于,的附近,),。,参数,确定曲线的位置，反映了分布,的集中点，由于曲线关于直线,x,=,对称，所以称,为正态分布的分布中心。,反映了分布的分散程度。,120,当,0,、,1,时的正态分布称为,标准正态,分布,，记为,N(0,1),，,其密度函数为：,分布函数为：,121,正态分布与标准正态分布的联系：,证：,Y,的分布函数为,定理,2.5,：,设,X,则,服从 。,122,重要公式：,123,例,7,、设 ，,（,1,）求,（,2,）求常数,a,，使,（,3,）求常数,a,，使,解：,这是个重要例子，必须会做。,124,（,2,）,（,3,）,125,126,例,8,、某科统考成绩近似服从正态分布,在参加统考的人中，及格者,100,人，（及格分数为,60,分）计算：,（,1,）不及格人数。,（,2,）,估计第,10,名的成绩。,解：（,1,）设考生的成绩为,X,，,显然：,127,若,参加考试人数是,n,，,则有,128,（,2,）设第,10,名的成绩为,a,分，则,129,分位点：,给定常数,，,若存,在数 满足 ，则称 为,随机变量,X,的上,分位,点，记为 ，当,时，称为随机变量,X,的,中位数。,y,x,o,130,一般的,上,分位点可查表得到,例,:,在,其它一些书上,也有将上,分位点称为临,界点。,131,例,9,、测量某一目标的距离时，测量误差,X(cm,),N(50,100,2,),，求：,（,1,）测量误差的绝对值不超过,150,厘米的概,率。,（,2,）在三次测量中至少有一次误差的绝对,值不超过,150,厘米的概率。,132,解：,（,2,）由此可知，,3,次测量中，,3,次误差都超过,150,的概率,P,（,A,）,为,133,134,2.3.4,随机变量函数的分布,本节通过几个例子来说明怎样求连续型随机变量函数的分布，这类问题是概率课程最基本的问题，必须熟练掌握。,一般提法：设随机变量,X,服从某种分布，求随,机变量,X,的函数,g(X,),的分布。,135,的分布。,离散型随机变量函数,例,1,设随机变量,X,具有如下的概率分布,X 0,1 3,5,P 0.2 0.4 0.3 0.1,求随机变量,136,解 先确定随机变量,Y,的可能取值，根据随机变量,X,的取值得到,Y -1,1 17 49,P 0.2 0.4 0.3 0.1,137,的分布。,离散型随机变量函数,例,2,设随机变量,X,具有如下的概率分布,X -1,0 1,5,P 0.2 0.4 0.3 0.1,求随机变量,138,解 先确定随机变量,Y,的可能取值，根据随机变量,X,的取值得到,Y -1,1 49,P 0.4 0.5 0.1,一般地，离散型随机变量的函数还是离散型随机变量,139,连续型随机变量函数,例,3,设随机变量,X,的密度函数为,求随机变量,Y=,exp(X,),的概率密度函数。,140,解 根据,Y,的表达式知,Y,非负。,对于这类问题解体思路是先求,Y,的分布函数，再求密度函数。,141,求,Y,的密度函数。,例,4,已知,X,N,（,0,，,1,），,解,142,性质定理,设,X,是连续型随机变量，且具有密度函数,f,（,x).,设,y=,g(x,),是,x,的严格单调函数，且具有反函数，则随机变量,Y=,g(X,),也是连续随机变量，其密度函数为,143,利用性质定理，再考虑例,3,的解得到,对于例,4,，则不能这样处理，因为严格单调的条件不满足,144,3.1,二维随机变量及其分布,3.1.1,概念,定义,3.1,：设,是随机试验,E,的样本空,间，,X,和,Y,是定义在,上的,随机变量，由它们构,成的二维向量（,X,，,Y,）,称为,E,的一个二维随机,变量。,3,1,多维随机变量及其分布,CH3,多维随机变量及其分布,145,定义,3.2,：设（,X,，,Y,）,是二维随机变量，二元,函数 称为二维随,机变量（,X,，,Y,）的,联合分布函数，或称为,（,X,，,Y,）的,分布函数。,146,F,（,x,y,),几何解释：点落在,左下方阴影部分的概率,147,联合分布函数的性质：,（,1,）,148,（,2,）对,x,、,y,分别是单调非减的。,（,4,）对任意的点,（,3,）关于,x,右连续，关于,y,右连,续。即,149,性质（,4,）正是一维随机变量与二维随机变量,的不同之处。也就是说，一个函数 仅满,足了前三条性质，仍未必是二维随机变量的分,就是不满足性质（,4,）。,布函数。例如：,150,如果，二维随机变量（,X,，,Y,）,的一切可取值,为有限多对，或可列多对，则称（,X,，,Y,）为,二维离散型随机变量。,定义,3.3,：设二维离散型随机变量（,X,，,Y,）所有,可能取得值为（,x,i,，,y,j,），,i,，,j,1,，,2,，,，则,称：,3.1.2,二维离散型随机变量,151,为（,X,，,Y,）,的联合分布列，或称为（,X,，,Y,）,的分布列。,（,X,，,Y,）,的分布列也可以用如下的表格表示：,Y,X,152,分布列的性质：（,1,）,（,2,）,例,1,（二维,0,1,分布）设一个袋中有,2,个黑球，,3,个白球，从中任取,2,个球，,X,表示第一次取出,的白球个数，,Y,表示第二次取出的白球个数，,分别求出（,1,）有放回抽取，（,2,）不放回抽取,时,（,X,，,Y,）,的分布律。,153,解：显然，（,X,，,Y,）,可取值为,（,1,）有放回抽取,（,2,）不放回抽取,154,将,它们用表格表示为：,（,1,）,Y,X,（,2,）,Y,X,155,例,2,、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假,设甲的命中率为,0.2,，乙的命中率为,0.5,，以,X,和,Y,表示甲和乙的命中次数，求,X,和,Y,的联,合分布列。,解：显然,X,B(2,0.2),Y,B(2,0.5),。,因此，,X,和,Y,的分布列分别为,X 0 1 2,p,k,0.64 0.32 0.04,Y 0 1 2,p,k,0.25 0.5 0.25,156,由于,X,、,Y,独立，所以,所以，,X,、,Y,的联合分布列为,0 1 2,0 0.640.25 0.320.25 0.040.25,1 0.640.5 0.320.5 0.040.5,2 0.640.25 0.320.25 0.040.25,X,Y,157,3.1.3,、二维连续型随机变量,定义,3.4,：设 是二维随机变量（,X,，,Y,）,的分布函数，若存在着非负可积函数 ，,使对一切的 有,158,则称（,X,，,Y,）,是二维连续型随机变量，函数,称 为二维连续型随机变量的联合概率,密度函数。,按照密度函数的性质，必须满足：,（,1,）,（,2,）,（,3,）若 在点 处连续，则有：,159,（,4,）设,G,是,xoy,平面上的一个区域，点,落在,G,内的概率为：,160,例,3,、设随机变量（,X,，,Y,）,的概率密度为,求（,1,）常数,A,；（,2,）（,X,，,Y,）,落在,G=,(,x,y,)|0 x+,内的概率。,解：由密度函数的性质得：,161,162,例,4,（二维正态分布）：设对给定的常数,其密度函数为：,163,3.2,边缘分布,定义,3.5,：设 是（,X,，,Y,）,的联合分布,函数，令,分别称为二维随机变量（,X,，,Y,）的边缘分布函数,3.2.1,边缘分布函数,164,3.2.2.,离散型二维随机变量的分布律,165,例,1,：在,3.1.2,例,1,中，分别求出（,X,，,Y,）,关于,X,和,Y,的边缘分布。,解：在,3.1.2,例,1,中，（,1,）有放回时，我们已求,出,166,用表格表示为：,（,1,）,Y,X,p,j,p,i,167,（,2,）不放回时，我们已求出,168,用表格表示为：,（,2,）,Y,X,p,j,p,i,169,3.2.3,连续型二维随机变量的边缘概率密度,定义,3.5,设（,X,，,Y,）是二维随机变量，其联合密度函数为,f(x,y,),则边缘密度为,例,2,：求,3.1.3,例,3,的边缘分布,170,例,3,设随机变量（,X,，,Y,）的联合密度为,求边缘密度 。,171,解,x=1,y=x,综合得,172,3.3,条件分布,定义,3.6,：,设,X,、,Y,是两个随机变量，若有,，对任意的 ，称,为,在,X,x,下，,Y,的条件分布函数，记为：,，同样可以定义：,3.3.1,条件分布函数,173,但,当,X,是连续型随机变量时，由于,式上式无意义，因此，在一般情况下，设（,X,，,Y,）,的联合分布函数为 ，若下列极限,存在，则称此极限为在,X,x,下，,Y,的条件分,布函数记为 。,如果（,x,y,),为连续点，则,=,174,3.3.2,离散型随机变量的条件分布律,设（,X,，,Y,）,的联合分布律为,其边缘分布律为,p,i,和,p,j,称,为,在 条件下随机变量,X,的分布律。同理可定义另一个条件分布律,175,例,1,、向一目标进行独立射击，每次击中目标,的概率为,p,，令,X,表示首次击中目标所需的,射击次数，,Y,表示第二次击中目标所需的射,击次数，求（,X,，,Y,）,的联合分布律和条件分,布律。,显然，（,X,，,Y,）,可能取的一切值为,176,设,每次击中目标记为事件,A,，