高考数人教B课后作业28函数与方程函数模型及其应用.doc

2-8 函数与方程、函数模型及其应用1.(2011湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B选项中不存在f(x)0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.2(文)若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0 B小于0C等于0 D不能确定答案D解析若函数f(x)在(2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(2)f(2)0，f()()()0，f()()()0，f()f()0，且函数f(x)的图象为连续曲线，函数f(x)在(，)内有零点点评一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到3(文)(2011杭州模拟)函数f(x)|x2|lnx在定义域内零点的个数为()A0B1C2D3答案C解析在同一坐标系内作出函数y|x2|与ylnx的图象，lne1，e3，由图象可见两函数图象有两个交点，函数f(x)有两个零点(理)(2010吉林市质检)函数f(x)xsinx在区间0,2上的零点个数为()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析在同一坐标系中作出函数yx与ysinx的图象，易知两函数图象在0,2内有两个交点4(2011深圳一检)已知函数f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx1x3x2 Dx3x2x1答案A解析令f(x)x2x0，因为2x恒大于零，所以要使得x2x0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)xlnx0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又xlnx0，所以lnx0，解得0x1，即0x21，即x31，从而可知x1x20)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是()A3B2C1D0答案B解析f(0)f(a)0)，设si(i1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i1,2,3,4)的大小如果选在P点，s16a2a23a34a435a，如果选在Q点，s26a22a3a24a332a，如果选在R处，s36a42a33a4a233a，如果选在S处，s46a42a33a24a40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少7定义在R上的偶函数yf(x)，当x0时，yf(x)单调递增，f(1)f(2)0.则函数yf(x)的图象与x轴的交点个数是_答案2解析由已知可知，在0，)上存在惟一x0(1,2)，使f(x0)0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0(2，1)，使f(x0)0，且x0x0.故函数的图象与x轴有2个交点8.(2010浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)答案2500m2解析设所围场地的长为x，则宽为，其中0x200，场地的面积为x22500m2，等号当且仅当x100时成立9(文)(2010揭阳市模拟)某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高(经济效益市场销售价值生产成本运输成本)，则n的值为_.作物项目水果蔬菜稻米甘蔗市场价格(元/kg)8321生产成本(元/kg)3210.4运输成本(元/kgkm)0.060.020.010.01单位面积相对产量(kg)10154030答案50解析设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1500.6d，y2150.3d，y3400.4d，y4180.3d，由50d0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.答案8解析解法1：由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在区间0,2上为增函数，所以方程f(x)m(m0)在区间0,2上有且只有一个根，不妨设为x1；f(x1)f(x1)f(x14)f(x14)，x142,4也是一个根，记为x2，x1x24.又f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，f(x)是周期为8的周期函数，f(x18)f(x1)m，不妨将此根记为x3，且x3x188，6；同理可知x4x286，4，x1x2x3x4x1x2x18x288.解法2：f(x)为奇函数，且f(x4)f(x)，f(x4)f(x)，以2x代入x得：f(2x)f(2x)f(x)的图象关于直线x2对称，又f(x)为奇函数，f(x)的图象关于直线x2也对称又f(x8)f(x4)4)f(x4)f(x)，f(x)的周期为8.又在R上的奇函数f(x)有f(0)0，f(x)在0,2上为增函数，方程f(x)m，在8,8上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.必在2,2上有一实根，不妨设为x1，m0，0x12，四根中一对关于直线x2对称一对关于直线x6对称，故x1x2x3x4222(6)8.10当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小请根据以下数据：当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑1516千米；一辆出租车日平均行程为200千米(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱解析(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W2.8(t0且tN)3P3(t0且tN)，即37.5tP40t.又40t，即WP，所以使用液化气比使用汽油省钱(2)设37.5t5000，解得t545.5，又t0，tN，t546.设40t5000，解得t750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t546,750时，省出的钱等于改装设备的钱.11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100答案C解析观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.点评也可以将x1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大12(文)(2011舟山月考)函数f(x)的零点个数是()A0B1C2D3答案D解析令x(x1)0得x0或1，满足x0；当x0时，lnx与2x6都是增函数，f(x)lnx2x6(x0)为增函数，f(1)40，f(x)在(0，)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点(理)(2010瑞安中学)函数f(x)在2,2内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f (x)的图象也是连续不间断的，则导函数f (x)在(2,2)内有零点()A0个 B1个C2个 D至少3个答案D解析f (x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(2，2)内有三个零点，故选D.13(2010安徽江南十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)lgsinx答案C解析根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点经验证：f(x)不存在零点；f(x)不存在零点；f(x)的定义域为全体实数，且f(x)f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)0，得x0，函数f(x)存在零点；f(x)lgsinx不具有奇偶性14(文)(2011山东济宁一模)已知a是函数f(x)2xx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案B解析分别作出y2x与yx的图象如图，当0x0a时，y2x的图象在yx图象的下方，所以，f(x0)0.(理)(2010安徽合肥质检)已知函数f(x)，把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()Aan(nN*)Bann(n1)(nN*)Cann1(nN*)Dan2n2(nN*)答案C解析当x0时，f(x)2x1；当0x1时，f(x)f(x1)12x1112x1；当1x2时，f(x)f(x1)1f(x2)22x2122x21；当x0时，g(x)的零点为x0；当0x1时，g(x)的零点为x1；当1x2时，g(x)的零点为x2；当n1xn(nN*)时，g(x)的零点为n，故a10，a21，a32，ann1.15(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管) (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值解析(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x1天每次购买的原材料在x天内的保管费用为y14000.03123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x26x6001.5400x6x2594x600(元)，购买一次原材料平均每天支付的总费用为y6x5942594714.当且仅当6x，即x10时，取得等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元(理)(2011日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2000，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？解析(1)工厂的实际年利润为：w2000st(t0)w2000sts()2，当t()2时，w取得最大值所以工厂取得最大年利润的年产量t()2(吨)(2)设农场净收入为v元，则vst0.002t2.将t()2代入上式，得v.又v，令v0，得s20.当0s0；当s20时，v1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，则的取值范围是()A(3.5，) B(1，)C(4，) D(4.5，)答案B分析欲求的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数yax和对数函数ylogax与直线yx4的交点的横坐标，因为指数函数yax和对数函数ylogax互为反函数，故其图象关于直线yx对称，又因直线yx4垂直于直线yx，指数函数yax和对数函数ylogax与直线yx4的交点的横坐标之和是直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可解析令axx40得axx4，令logaxx40得logaxx4，在同一坐标系中画出函数yax，ylogax，yx4的图象，结合图形可知，nm为直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，由，解得x2，所以nm4，因为(nm)114，又nm，故(nm)4，则1.2(2011温州十校模拟)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析当m0时，显然不合题意；当m0时，f(0)10，若对称轴0即0m4，结论显然成立；若对称轴4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8.综上0m8，选B.3(2011江南十校联考)定义域为D的函数f(x)同时满足条件：常数a，b满足a0，a1)，那么函数f(x)的零点个数是()A0个 B1个C2个 D至少1个答案D解析在同一坐标系中作出函数yax与yxa的图象，a1时，如图(1)，0a0，所以函数f(x)在区间1,2上为增函数若存在零点，则，解得a1b82a.因此能使函数在区间1,2上有零点的有：a1,2b10，故b2，b4，b8.a2,3b12，故b4，b8，b12.a3,4b14，故b4，b8，b12.a4,5b16，故b8，b12.根据古典概型可得有零点的概率为.7设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析令g(x)x322x，可求得g(0)0，g(1)0，g(3)0，g(4)0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)8(2010福建理，4)函数f(x)的零点个数为()A0B1C2D3答案C解析令x22x30得，x3或1x0，x3，令2lnx0得，lnx2xe20，故函数f(x)有两个零点9(2011龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(08时，在xa时，矩形面积取最大值ua(16a)，在a,12上为减函数，故选C.10已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f(x)0.有三个实根当x1时，恰有一实根当1x0时，恰有一实根当0x1时，恰有一实根正确的有_答案解析f(2)5.990，即f(2)f(1)0，结合图象知f(x)0在(1,0)上没有实数根，所以不正确又f(0.5)0.5(0.5)1.50.010.3650.所以f(x)0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根f(x)0在(0,1)上有两个实根所以不正确由f(1)0结合图象知，f(x)0在(1，)上没有实根，不正确，由此可知正确