高考数学专题二函数零点精准培优专练理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学培优点二函数零点1零点的判断与证明例 1：已知定义在1,上的函数ln2fxxx，求证：fx 存在唯一的零点，且零点属于3,4【答案】见解析【解析】111xfxxx，1,x，0fx，fx 在 1,+单调递增，31ln30f，42ln 20f，340ff，03,4x，使得00fx因为 fx 单调，所以fx 的零点唯一2零点的个数问题例 2：已知函数fx 满足3fxfx，当1,3x，lnfxx，若在区间1,9 内，函数 g xfxax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）Aln 3 1,3eB ln 31,93eCln 31,92eD ln 3 ln 3,93【答案】B【解析】33xfxfxfxf，当3,9x时，ln33xxfxf，所以ln13ln393xxfxxx，而 g xf xa x有三个不同零点yfx 与yax有三个不同交点，如图所示，可得直线yax应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3零点的性质例 3：已知定义在R上的函数fx 满足：2220,121,0 xxfxxx，且2fxfx，252xg xx，则方程fxg x 在区间5,1 上的所有实根之和为（）A5B6C7D8【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在1,1 中，通过作图可发现fx 在1,1 关于0,2中心对称，由2fxfx 可得 fx 是周期为2 的周期函数，则在下一个周期3,1 中，fx 关于2,2 中心对称，以此类推。从而做出fx 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看 g x 图像，251222xg xxx，可视为将1yx的图像向左平移2 个单位后再向上平移2 个单位，所以对称中心移至2,2，刚好与fx 对称中心重合，如图所示：可得共有3 个交点123xxx，其中23x，1x与3x关于2,2中心对称，所以有134xx。所以1237xxx故选 C4复合函数的零点例 4：已知函数243fxxx，若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A2,0B2,1C0,1D 0,2【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出fx 的图像（如图），因为20fxbfxc最多只能解出 2 个 fx，若要出七个根，则11fx，20,1fx，所以121,2bfxfx，解得：2,1b一、选择题1设ln2fxxx，则函数fx 的零点所在的区间为（）A0,1B 1,2C2,3D 3,4【答案】B【解析】1ln11210f，2ln 20f，120ff，函数ln2fxxx的图象是连续的，且为增函数，fx 的零点所在的区间是1,2 故选 B2已知a是函数12log2xxfx的零点，若00 xa，则0fx的值满足（）A00fxB00fxC00fxD0fx的符号不确定【答案】C【解析】fx 在(0,)上是增函数，若00 xa，则00fxfa3函数2()2f xxax的一个零点在区间1,2 内，则实数a的取值范围是（）对点增分集训小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A 1,3B 1,2C 0,3D 0,2【答案】C【解析】因为 fx 在(0,)上是增函数，则由题意得()()12030ffaa，解得03a，故选 C4若abc，则函数()()()()()()fxxaxbxb xcxcxa 的两个零点分别位于区间（）A(),a b 和(),b c 内B(,)a 和(),a b 内C(),b c 和(),c内D(,)a 和(),c内【答案】A【解析】abc，()()0faab ac，()()0fbbcba，()()0fcca cb，由函数零点存在性定理可知，在区间(),a b，(),b c 内分别存在零点，又函数fx 是二次函数，最多有两个零点因此函数fx 的两个零点分别位于区间(),a b，(),b c 内，故选A5设函数fx 是定义在R上的奇函数，当0 x时，e3xfxx，则 fx的零点个数为（）A1 B 2 C3 D4【答案】C【解析】因为函数fx 是定义域为R的奇函数，所以00f，即 0 是函数fx 的一个零点，当0 x时，令3e0 xfxx，则 e3xx，分别画出函数1exy和23yx的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数fx 有一个零点，根据对称性知，当0 x时函数fx 也有一个零点综上所述，fx 的零点个数为3故选 C小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学6函数2201ln0 xxxxxfx的零点个数为（）A3 B 2 C7 D0【答案】B【解析】方法一：由0fx得2020 xxx或2020 xxx，解得2x或ex，因此函数fx 共有 2 个零点方法二：函数fx 的图象如图所示，由图象知函数fx 共有 2 个零点7已知函数1010 xxxfx，则使方程xfxm有解的实数m的取值范围是（）A 1,2B(,2C()(),12,D(),12,【答案】D【解析】当0 x时，xfxm，即1xm，解得1m；当0 x时，xfxm，即1xmx，解得2m，即实数m的取值范围是(),12,故选 D8若函数312fxaxa 在区间()1,1 内存在一个零点，则a的取值范围是（）A1,5B1,1,5C11,5D(),1【答案】B【解析】当0a时，1fx与x轴无交点，不合题意，所以0a；函数312fxaxa在区间()1,1 内是单调函数，所以0(11)ff，即()(10)51aa，解得1a或15a故选 B小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学9已知函数00e0 xxxfx，则使函数g xfxxm有零点的实数m的取值范围是（）A 0,1B(1),C(),12,D(),01,【答案】D【解析】函数 g xfxxm 的零点就是方程fxxm的根，画出0e0 xxxh xfxxxx的大致图象（图略）观察它与直线ym的交点，得知当0m或1m时，有交点，即函数g xfxxm有零点故选D10已知 fx 是奇函数且是R上的单调函数，若函数221()()yfxfx 只有一个零点，则实数的值是（）A14B18C78D38【答案】C【解析】令2()21(0)yfxfx，则2()()21(fxfxf x，因为 fx 是R上的单调函数，所以221xx，只有一个实根，即2210 xx只有一个实根，则18 10()，解得7811已知当0,1x时，函数21()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A(0,123,+)B0,13),C(0,223,+)D(0,23,+)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数2221()(1)f xmxmxm与()g xxm的大致图象分两种情形：（1）当01m时，11m，如图，当0,1x时，fx 与 g x 的图象有一个交点，符合题意小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）当1m时，101m，如图，要使fx 与 g x 的图象在0,1 上只有一个交点，只需11gf，即211()mm，解得3m或0m（舍去）综上所述，0,13),m故选 B12已知函数yfx 和 yg x 在2,2 的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程0fg x有且只有6 个根（2）方程0gfx有且只有3 个根（3）方程0ffx有且只有5 个根（4）方程0g g x有且只有4 个根则正确命题的个数是（）A1 B 2 C3 D4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数（1）中可得12,1gx，20gx，31,2gx，进而1gx 有 2 个对应的x，2gx有 2 个，3gx 有 2 个，总计6 个，（1）正确；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）中可得12,1fx，20,1fx，进而1fx 有 1 个对应的x，2fx 有 3 个，总计 4 个，（2）错误；（3）中可得12,1fx，20fx，31,2fx，进而1fx 有 1 个对应的x，2fx有 3 个，3fx 有 1 个，总计5 个，（3）正确；（4）中可得：12,1gx，20,1gx，进而1gx 有 2 个对应的x，2gx 有 2 个，共计 4 个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有3个二、填空题13函数0 52log|xfxx的零点个数为_【答案】2【解析】由0fx，得0.51|log|2xx，作出函数10 5log|yx和212xy的图象，由上图知两函数图象有2 个交点，故函数fx 有 2 个零点14设函数31yx 与2212xy的图象的交点为00(,)xy，若0,1()xn n，n，则0 x所在的区间是 _【答案】1,2【解析】令2312xfxx，则00fx，易知 fx为增函数，且10f，20f，0 x所在的区间是1,2 15函数22026ln0fxxxxxx的零点个数是 _【答案】2 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】当0 x时，令220 x，解得2x（正根舍去），所以在(0,上有一个零点；当0 x时，1()20fxx恒成立，所以fx 在(0,)上是增函数又因为22ln 20f，3ln30f，所以 fx 在(0,)上有一个零点，综上，函数fx的零点个数为216已知函数23|fxxx，Rx，若方程1|0|fxa x恰有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围是_【答案】0,19(),【解析】设21|3|yfxxx，2|1|ya x，在同一直角坐标系中作出21|3yxx，2|1|ya x的图象如图所示由图可知1|0|fxa x有 4 个互异的实数根等价于21|3yxx 与2|1|ya x的图象有 4 个不同的交点且4 个交点的横坐标都小于1，所以231yxxyax有两组不同解，消去y得2)0(3xa xa有两个不等实根，所以2()340aa，即21090aa，解得1a或9a又由图象得0a，01a或9a三、解答题17关于x的二次方程21()10 xmx在区间0,2 上有解，求实数m的取值范围【答案】(,1【解析】显然0 x不是方程21()10 xmx的解，02x时，方程可变形为11mxx，又1yxx在0,1 上单调递减，在1,2 上单调递增，1yxx在 0,2 上的取值范围是2,)，12m，1m，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故m的取值范围是(,1 18设函数1()1(0)fxxx（1）作出函数fx的图象；（2）当0ab且 fafb 时，求11ab的值；（3）若方程fxm有两个不相等的正根，求m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）2；（3）01m【解析】（1）如图所示（2）110,11()1111,xxf xxxx故 fx 在 0,1 上是减函数，而在(1,)上是增函数由0ab且 faf b，得01ab且1111ab，112ab（3）由函数fx 的图象可知，当01m时，方程fxm有两个不相等的正根