差分方程求解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八节 差分方程,一、差分,二、差分方程的概念,三、一阶常系数线性差分方程,四、二阶常系数线性差分方程,1,一、差分,微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的,.,例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量,t,取值为,0,1,2,数学上把这种变量称为离散型变量,.,通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度,.,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,),记为,y,x,则差,y,x,+1,y,x,称为函数,y,x,的一阶差分,记为,y,x,即,y,x,=,y,x,+1,y,x,.,2,(,y,x,)=,y,x,+1,y,x,=(,y,x,+2,y,x,+1,)(,y,x,+1,y,x,),=,y,x,+2,2,y,x,+1,+,y,x,为二阶差分,记为,2,y,x,即,3,y,x,=,(,2,y,x,),同样可定义三阶差分,3,y,x,四阶差分,4,y,x,即,4,y,x,=,(,3,y,x,).,2,y,x,=,(,y,x,)=,y,x,+2,2,y,x,+1,+,y,x,3,例,1,求,(,x,3,),2,(,x,3,),3,(,x,3,),4,(,x,3,).,解,(,x,3,),=(,x,+1),3,x,3,=3,x,2,+3,x,+1,2,(,x,3,),=,(,3,x,2,+3,x,+1),=3(,x,+1),2,+3(,x,+1)+1 (3,x,2,+3,x,+1),=6,x,+6,3,(,x,3,),=,(6,x,+6)=6(,x,+1)+6 (6,x,+6),=6,4,(,x,3,),=,(6,),6=0.,4,二、差分方程的概念,定义,2,含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程,.,差分方程的一般形式为,F,(,x,y,x,y,x,n,y,x,)=0.(1),差分方程中可以不含自变量,x,和未知函数,y,x,但必须含有差分,.,式,(1),中,当,n,=1,时,称为一阶差分方程；当,n,=2,时,称为二阶差分方程,.,5,例,2,将差分方程,2,y,x,+2,y,x,=0,表示成不含差分的形式,.,解,y,x,=,y,x,+1,y,x,2,y,x,=,y,x,+2,y,x,+1,+,y,x,代入得,y,x,+2,y,x,=0.,由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程,.,6,定义,3,含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程,.,其一般形式为,G,(,x,y,x,y,x,+1,y,x,+,n,)=0.(2),定义,3,中要求,x,y,x,y,x,+1,y,x,+,n,不少于两个,.,例如,y,x,+2,+,y,x,+1,=0,为差分方程,y,x,=,x,不是差分方程,.,差分方程式,(2),中,未知函数下标的最大差数为,n,则称差分方程为,n,阶差分方程,.,7,定义,4,如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解,.,例,3,验证函数,y,x,=2,x,+1,是差分方程,y,x,+1,y,x,=2,的解,.,解,y,x,+1,=2(,x,+1)+1=2,x,+3,y,x,+1,y,x,=2,x,+3,(2,x,+1)=2,所以,y,x,=2,x,+1,是差分方程,y,x,+1,y,x,=2,的解,.,定义,5,差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通,解,.,8,三、一阶常系数线性差分,方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,y,x,+1,ay,x,=,f,(,x,),.(3),其中,a,为不等于零的常数,.,称为齐次差分方程,;,当,f,(,x,)0,时,称为非齐次差分方程,.,当,f,(,x,)=0,时,即,y,x,+1,ay,x,=0,(4),9,先求齐次差分方程,y,x,+1,ay,x,=0,的解,设,y,0,已知,代入方程可知,y,1,=,ay,0,y,2,=,a,2,y,0,y,x,=,a,x,y,0,令,y,0,=,C,则得齐次差分方程的通解为,y,x,=,Ca,x,.(5),10,例,4,求差分方程,y,x,+1,+2,y,x,=0,的通,解,.,解 这里,a,=,2,由公式,(5),得,通解为,y,x,=,C,(,2),x,.,11,定理,设,y,0,*,是非齐次差分方程,(3),对应的齐次差分方程,(4),的通解,再讨论非齐次差分方程,y,x,+1,ay,x,=,f,(,x,),解的结构,是,(3),的一个特解,则,程,(3),的通解,.,是方,下面用待定系数法来求两种类型函数的特解,.,(1),令,f,(,x,)=,b,0,+,b,1,x,+,b,m,x,m,设特解的待定式为,或,(6),(7),其中,B,0,B,1,B,m,为待定系数,.,12,例,5,求差分方程,y,x,+1,2,y,x,=3,x,2,的一个特,解,.,解 这里,a,=,2,设,代入差分方程,得,B,0,+,B,1,(,x,+1)+,B,2,(,x,+1),2,2(,B,0,+,B,1,x,+,B,2,x,2,)=3,x,2,.,整理,得,(,B,0,+,B,1,+,B,2,)+,(,B,1,+2,B,2,),x,B,2,x,2,=3,x,2,.,比较系数,得,B,0,+,B,1,+,B,2,=0,B,1,+2,B,2,=0,B,2,=3.,解出,B,0,=,9,B,1,=6,B,2,=3,故所求特解为,13,例,6,求差分方程,y,x,+1,y,x,=,x,+1,的通,解,.,解 对应的齐次方程,y,x,+1,y,x,=0,的通解为,这里,a,=1,设,(,x,+1),B,0,+,B,1,(,x,+1),x,(,B,0,+,B,1,x,)=,x,+1.,整理,得,2,B,1,x,+,B,0,+,B,1,=,x,+1.,比较系数,得,2,B,1,=1,B,0,+,B,1,=1,解出,故所求通解为,代入差分方程,得,14,(2),f,(,x,)=,Cb,x,设特解的待定式为,或,(8),(9),其中,k,为待定系数,.,15,例,7,求差分方程,的通,解,.,解 对应的齐次方程,的通解为,因为,故可设特解为,则,16,解出,则所求通解为,17,四、二阶常系数线性差分方程,形如,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,=,f,(,x,),.(10),(,其中,a,b,0,且均为,常数,),的方程,称为二阶常系数线性差分方程,.,称为齐次差分方程,;,当,f,(,x,)0,时,称为非齐次差分方程,.,当,f,(,x,)=0,时,即,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,=0,(11),类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构,.,故先求齐次方程,(11),的通解,.,18,当,为常数时,y,x,=,x,和它的各阶差商有倍数关系,所以可设,y,x,=,x,为方程,(11),的解,.,代如方程,(11),得,x,+2,+,a,x,+1,+,b,x,=0,方程,(12),称为齐次差分方程,(11),的特征方程,.,特征方程的解,两个不相等的实根,1,2,一对共轭复根,1,2,=,i,两个相等实根,1,=,2,x,+2,+,a,x,+1,+,b,x,=0,的通解,2,+,a,+,b,=0,(12),由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：,19,例,8,求差分方程,y,x,+2,7,y,x,+1,+6,y,x,=0,的通,解,.,解 特征方程为,方程的根为,1,=1,2,=6,.,2,7,+6=0.,原方程的通解为,y,x,=,C,1,+,C,2,6,x,.,20,例,9,求差分方程,y,x,+2,4,y,x,+1,+16,y,x,=0,满足条件,y,0,=0,y,1,=1,的特,解,.,解 特征方程为,方程的根为,2,4,+16=0.,原方程的通解为,21,代入初始条件,y,0,=0,y,1,=1,得,解出,故所求特解为,22,(1),f,(,x,)=,b,0,+,b,1,x,+,b,m,x,m,根据非齐次差分方程,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,=,f,(,x,),的函数,f,(,x,),的形式,用待定系数法可求出一个特解,.,设特解的待定式为,其中,B,0,B,1,B,m,为待定系数,.,23,例,10,求差分方程,y,x,+2,+,y,x,+1,2,y,x,=12,x,的通,解,.,解 对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为,1,=2,2,=1,2,+,2=0.,齐次方程的通解为,因为,a,=1,b,=2,1+,a,+,b,=0,但,a+,2=3 0,所以,设非齐次方程的一个特解为,24,代入原方程,得,整理,得,B,0,+,B,1,(,x,+2)(,x,+2)+,B,0,+,B,1,(,x,+1),(,x,+1)(,B,0,+,B,1,x,),x,=12,x,.,比较系数,得,6,B,1,=12,3,B,0,+5,B,1,=0,解出,故所求通解为,6,B,1,x,+3,B,0,+5,B,1,=12,x,.,25,(2),f,(,x,)=,Cq,x,设特解的待定式为,其中,B,为待定系数,.,(,q,不是特征根,);,(,q,是特征方程单根,);,(,q,是二重特征根,).,26,例,11,求差分方程,y,x,+2,3,y,x,+1,+2,y,x,=2,x,的一个特,解,.,解 对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为,1,=1,2,=2,2,3,+2=0.,因为,q,=2=,2,设特解为,代入原方程,得,B,(,x,+2)2,x,+2,3,B,(,x,+1)2,x,+1,+2,Bx,2,x,=2,x,所求特解为,27,