向量与三角-不等式等知识综合应用.doc

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用
常熟市中学 蔡祖才
一、高考要求
平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透．
二、考点解读
考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．
考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．
三、课前训练
1．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）
(A)（1－y）sinx+2y－3=0 (B)（y－1）sinx+2y－3=0
(C)（y+1）sinx+2y+1=0 (D) －(y+1)sinx+2y+1=0
2．函数y=sinx的图象按向量a =（，2）平移后与函数g（x）的图象重合，则g（x）的函数表达式是 （ ）
（A）cosx-2 （B）-cosx-2 （C）cosx+2 （D）-cosx+2
3．已知向量a = (1，sinθ)，b = (1，cosθ)，则 | a - b | 的最大值为 ．
4．如图，函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）． 设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，则的夹角余弦值为 ．
四、典型例题
例1 已知a =（sinωx，cosωx），b =（cosωx，cosωx）（>0），记函数f(x)= a · b，且f(x)的最小正周期是π，则= （ ）
(A) =1 (B) =2 (C) ( D)
例2 在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时， （ ）
(A) (B) (C) (D)
例3 设向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝·(＋)．
使不等式f(x)≥成立的x的取值集合为 ．
例4 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是 ．
例5 已知函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1）,且当x∈［0, ］时，f(x)取得最大值2－1．（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f(x)的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，说明理由．
例6 已知向量m =和n =，且| m + n | =求的值．
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习
1．已知，为互相垂直的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．在直角坐标系中，O是原点，=(－2＋cosθ，－2＋sinθ) (θ∈R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）
（A） 4 　 　 （B） 5 　　　　（C） 2 　　　　 （D）　
3．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 （ ）
（A）[0，] （B） （C） （D）
4．设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5． 已知向量=(cos，sin)， =(cos，sin)，且，那么与的夹角的大小是 ．
6． 已知向量若的最小值为，则λ的值为 ．
7．已知A、B、C是三内角，向量 且
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，求tanC．
8．设函数f(x)=，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx，sin2x)，x∈R．
（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案
课前训练部分
1.C 2.D 3. 4.
典型例题部分
例1 A
例2
当即时,面积最大.
例3
例4 如图,
= 即的最小值为:-2.
例5 （Ⅰ）由题意知 ∴b=c=1－a, ∴f(x)=a+(1－a)sin(2x+).∵x∈［0, ］, ∴2x+∈［,］.当1－a＞0时，由a+(1－a)=2－1,
解得a=－1; 当1－a＜0时， a+(1－a)·=2－1,无解; 当1－a=0时，a=2－1，相矛盾. 综上可知a=－1. ∴f(x)=－1+2sin(2x+).
(Ⅱ)∵g(x)=2sin2x是奇函数，将g(x)的图象向左平移个单位，再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象. 因此，将f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=2sin2x的图象.故=(，1)是满足条件的一个向量.
例6
=
==
由已知,得又
过关练习部分
1.B 2.C 3.B 4.B 5、 6.
7（Ⅰ）∵ ∴ 即
,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由题知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去 ∴
8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f(x)=＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程sin(2 x +)=－．　
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-．
（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（１）得 f(x)=2sin2(x+)+1.
∵|m|<，∴，