吉林大学高职高专《高等数学》第06章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第六章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,第二节,微积分学基本定理,第三节,定积分的换元法与分部积分法,第四节,广义积分,1,第一节 定积分的概念与性质,一,、,引入,定积分概念的两个实例,二、定积分定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,2,1,、曲边梯形,的面积,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,b,上非负、连续,.,由直线,x,a,、,x,b,、,y,0,及曲线,y,f,(,x,),所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边,.,一,、,引入定积分概念的两个实例,3,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化,?,怎样求曲边梯形的面积？,4,求曲边梯形的面积,(1),分割,:,a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,D,x,i,=,x,i,-,x,i,1,;,小曲边梯形的面积近似为,f,(,x,i,),D,x,i,(,x,i,1,x,i,x,i,);,(2),近似代替,:,(4),取极限,:,设,max,D,x,1,D,x,2,D,x,n,曲边梯形的面积为,(3),求和,:,曲边梯形的面积近似为,;,5,2,、变速,直线运动的路程,已知物体直线运动的速度,v,v,(,t,),是时间,t,的连续函数,且,v,(,t,),0,计算物体在时间段,T,1,T,2,内所经过的路程,S,.,(1),分割,:,T,1,t,0,t,1,t,2,t,n,1,t,n,T,2,D,t,i,t,i,t,i,1,;,(2),取近似,:,物体在时间段,t,i,1,t,i,内所经过的路程近似为,D,S,i,v,(,i,),D,t,i,(,t,i,1,i,t,i,),;,物体在时间段,T,1,T,2,内所经过的路程近似为,(3),求和,:,(4),取极限,:,记,max,D,t,1,D,t,2,D,t,n,物体所经过的路程为,6,7,前面介绍的两个实例其解决的实际问题虽不同，但其解决问题所用的思想和方法却是相同的，即“,分割、近似、求和、取极限,”我们就把这类问题抽象成一个数学概念，称之为定积分,定积分,在小区间,x,i,1,x,i,上任取一点,x,i,(,i,1,2,n,),作和,max,D,x,1,D,x,2,D,x,n,;,记,D,x,i,=,x,i,-,x,i,1,(,i,1,2,n,),a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,;,在区间,a,b,内任取分点,:,定义,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有界,.,若当,0,时,上述和式的极限存在,且极限值与区间,a,b,的分法,和,x,i,的取法无关,则此极限称为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上,的,定积分,记为,即,二、定积分定义,8,定积分各部分的名称,积分,符号,f,(,x,),被积函数,f,(,x,),dx,被积表达式,x,积分变量,a,积分下限,b,积分上限,a,b,积分区间,，,积分和,.,9,不难推出：,函数的可积性,如果函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分存在,则称,f,(,x,),在区间,a,b,上可积,.,如果,函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,则函数,f,(,x,),在区间,a,b,上可积,.,如果,函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有界,且只有有限个间断点,则函数,f,(,x,),在区间,a,b,上可积,.,定积分的定义,10,11,(1)连续曲线y=f(x)(f(x)0)、x轴及两条直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即,(2)物体以变速v=v(t)(v(t)0)作直线运动，从时刻t=T,1,到t=T,2,，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间T,1,T,2,上的定积分，即,显然,关于定积分定义的理解，应注意以下几点：,（1）定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和积分区间a,b有关，而与积分变量用哪个字母表示、区间如何分割（采用均匀分割或非均匀分割）及点,i,的取法（可以取第i个小区间的左端点、右端点或中点，也可以是区间内任意一点）无关，即有,12,（2）在上述定义中，我们实际上限定了上限大于下限，即ab，但在实际应用及理论分析中，会用到上限小于下限或等于下限的情况为此，我们把定积分的定义扩充如下：,当ab时，规定,当a=b时，规定aaf(x)dx,（3）如果定积分baf(x)存在，就称f(x)在a,b上可积，否则就称f(x)在a,b上不可积,13,3),一般地,f,(,x,),在,a,b,上,的定,积分表示介于,x,轴、曲线,y,f,(,x,),及直线,x,a,、,x,b,之间的各部分面积的代数和,.,1,）当,f,(,x,),0,时,定,积分 在几何上表示由曲线,y,f,(,x,),、直线,x,a,、,x,b,与,y=,0,所围成的封闭图形的面积,.,2,）当,f,(,x,),0,时,定,积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值,.,三、定积分的几何意义,14,性质,1,性质,2,性质,3,性质,4,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),0,则,b,a,dx,x,f,0,),(,(,a,1,时收敛,;,p,1,时发散,.,因此,当,p,1,时,广义积分,收敛,其值为,当,p,1,时,广义常,积分发散,.,教材,P138,该题的结论一般要记住，可作为定理使用,注,意,44,设函数 在区间 上连续，而 取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的广义积分。记作 即,二、无界函数,的广义积分,此时也称广义积分,存在或收敛,；如果极限,不存在，就称广义积分,不存在或发散,。,45,类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。,46,【,例,5】,教材,P139,47,48,例,6.,教材,P140,49,例,7.,教材,P140,【,例,8】,该题的结论一般要记住，可作为定理使用,注,意,教材,P140,50,51,教材,P141,教材,P141,习题,6-4 1,、,复习题六,1,、,2,、,3,、,6,