赵树嫄微积分第四版第八章多元函数微积分(2).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七节 二重积分,特点,：,平顶,.,曲顶柱体体积=？,特点,：,曲顶,.,1、背景：,曲顶柱体的体积,(一)二重积分的基本概念,柱体体积=底面积,高,步骤如下：,S,:,z,=,f,(,x,y,),任意分割曲顶柱体的底，,分割,x,0,z,y,D,i,并取典型小区域，,近似,以平代曲,S,:,z,=,f,(,x,y,),x,0,z,y,D,i,步骤如下：,任意分割曲顶柱体的底，,分割,并取典型小区域，,近似,以平代曲,求和,S,:,z,=,f,(,x,y,),x,0,z,y,D,i,步骤如下：,任意分割曲顶柱体的底，,分割,并取典型小区域，,近似,以平代曲,求和,S,:,z,=,f,(,x,y,),x,0,z,y,D,i,步骤如下：,分割,近似,求和,极限,x,0,z,y,V,.,步骤如下：,分割,近似,求和,极限,曲顶柱体的体积,2、二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,即,说明：,（,2,）由定义可知,如果,f,(,x,y,),在,D,上可积,则积分和的极限存在,且与,D,的分法无关,在直角坐标系中常用平行于,x,轴和,y,轴的两组直线分割,D,于是小区域的面积为,i,x,i,y,i,(,i,1,2,n,),在,直角坐标系,下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则面积元素为,3、二重积分的性质,下面假定,f,(,x,y,),g,(,x,y,),在闭区域,D,上连续,A,为,D,的面积。,性质2 线性性质,这里,A,为,D,的面积,。,性质1,性质4,性质3 区域可加性,推论1,推论2,性质5 估值性质,证,所以,于是,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,即得证。,(二)在直角坐标系下二重积分的计算,d,x,y,o,c,如果积分区域为,D,：,0,x,z,y,c,d,D,z,=,f,(,x,y,),x=,(,y,),x=,(,y,),y,0,x,z,y,c,d,D,z,=,f,(,x,y,),x=,(,y,),x=,(,y,),y,问题：,Q,(,y,),是什么图形？,是曲边梯形,!,0,x,z,y,x=,(y),y,c,d,D,z,=,f,(,x,y,),x=,(,y,),一般记为,d,x,y,o,c,先对,y,后对,x,的,二次积分,如果积分区域为：,先对,x,后对,y,的二次积分,后积的投影,先积的穿线,d,x,y,o,c,累次积分,积分区域为：,一般地，,先对,y,后对,x,的,二次积分,a,b,x,y,o,后积的投影,先积的穿线,累次积分,求二重积分的步骤,1.,画区域,D,的图像,2.,求交点,4.,确定积分变量的先后,若是,X,型，,就先,y,后,x,5.,确定上下限,内层积 上下限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数,6.,确定被积函数,7.,计算,3.,确定区域的类型,X,、,Y,将,化为累次积分,其中,D,由直线,围成。,解法,1,先画出积分区域,D,，,将,D,向,y,轴投影，,先,x,后,y,例1,x,y,o,x,y,o,解法,2,先,y,后,x,将,D,向,x,轴投影,计算,其中,D,由直线,解,先画出积分区域,D,，,先,y,后,x,将,D,向,x,轴投影，,例2,围成,。,解,例3,先求两曲线的交点,先对,y,积分，,解,例4,解,例5,先,x,后,y,两曲线的交点,解,例5,两曲线的交点,选择积分次序的原则：,若选择先,y,后,x,(1),积分容易；,(2),尽量,少分块,或不分,块.,麻烦。,练习,解,练习,解,练习,或解,用极坐标，,练习,解,三直线交点分别为,练习,解,解,练习,改变积分,的次序,.,例6,解,积分区域为,将,D,向,y,轴投影,改写为,解,设,则,例7,改变下面积分的次序:,设,将,D,向,y,轴投影,例8,交换积分次序,解,练习,证,交换积分次序，,y,=,x,练习,解,交换积分次序，,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域,D,关于,y,轴对称，,(1),若,f,(,x,y,),关于,x,是奇函数，则有,(2),若,f,(,x,y,),关于,x,是偶函数，,则有,其中 是,D,的右半区域。,y,x,o,x,-,x,设积分区域,D,关于,x,轴对称，,(1),若,f,(,x,y,),关于,y,是奇函数，则有,(2),若,f,(,x,y,),关于,y,是偶函数，,则有,其中 是,D,的上半区域。,y,x,o,注意,：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。,利用对称性简化二重积分的计算,例9,计算二重积分,解,o,x,y,区域,D,分别对称于,x,轴和,y,轴，,(三)在极坐标系下二重积分的计算,1.极坐标系的概念,在平面内取一个定点,O,，,叫做,极点,；,x,O,引一条射线,Ox,，,叫做,极轴,；,再选定一个,长度单位,和,角度单位,及它的,正方向,（通常取逆时针方向），,这样就建立了一个,极坐标系,。,2.极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点,P,，,x,O,P,r,用,r,表示线段,OP,的长度，,用,表示从,Ox,到,OP,的角度,r,称为点,P,的,极径,，,称为点,P,的,极角,，有序数对,(,r,),就称为,点,P,的,极坐标,。,注意：,r,表示点,P,到极点,O,的距离；,的方向：从,Ox,(,极轴)为始边，,OP,为终边。,3.极坐标系与直角坐标系的转换,x,O,P,r,把直角坐标系的原点作为极点;,x,轴的正半轴作为极轴;,取相同的单位长度,直角坐标与极坐标的转换关系为：,x,y,4.曲线的极坐标方程,用来表示曲线上点的极坐标,r,、,两个变数之间关系的方程称为曲线的极坐标方程.,直角坐标方程化为极坐标方程的方法：,x,y,o,x,y,o,例10,将下列直角坐标方程化为极坐标方程,：,x,y,o,o,o,例11,解,它表示圆心为(0,1)，半径为1的圆.,方程两边同乘以,r,，,得,4.,在,极坐标系,下计算二重积分,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域,D,为圆域、环域或扇形域等时,D,的边界用极坐标表示较为简单；,2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分较为容易.,x,y,o,x,y,o,所以面积元素为,计算极坐标系下二重积分,也要将它化为二次积分,在极坐标系下二重积分的计算,直角坐标的二重积分,与,极坐标的二重积分的变换公式为,(1),极点,O,在区域,D,外部,D,可表示为,D,(,r,)|,r,1,(,),r,r,2,(,),于是,在极坐标系下二重积分的计算,直角坐标的二重积分,与,极坐标的二重积分的变换公式为,(1),极点,O,在区域,D,外部,D,可表示为,D,(,r,)|,r,1,(,),r,r,2,(,),于是,3,在极坐标系下二重积分的计算,直角坐标的二重积分,与,极坐标的二重积分的变换公式为,(2),极点,O,在区域,D,的边界上,D,可表示为,D,(,r,)|,0,r,r,(,),于是,解,例12,在极坐标系下,x,y,o,解,练习,x,y,o,用极坐标做比较方便，,解,例13,在极坐标系下,x,y,o,x,y,o,解,例14,x,y,2,例15,解,x,y,o,例16,解,直接做麻烦,化为极坐标,例17,解,习题课,习题课,例1,解,例2,解,例3,解,解,目标函数,约束条件,例4,令,例5,解,例6,解,先去掉绝对值符号，如图,x,y,y,=,x,o,x,+,y,=,/2,解,例7,x,y,o,解,例8,例9,解,解,x,y,o,例10,解,例11,解,例12,计算积分,解,o,x,y,1,1,例13,交换积分次序,解,计算二重积分,例14,由区域的对称性和函数的奇偶性，,可只考虑第一象限部分，,x,y,o,例15,设有平面区域,解,o,x,y,解,o,x,y,选(,A).,END,END,