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非极限状态准被动土压力研究
二、准被动土压力推导
（一）基本假定
为便于非极限状态准被动土压力理论公式推导，现作如下假定：
（1）假定土体为均匀砂质土，挡土墙墙背土体表面水平且无限延伸并布有均布荷载qo，墙背与土体接触面的摩擦角为δm，挡土墙墙背竖直；
（2）假定土体滑动体的破裂面为平面且与竖直面成θ角，不考虑填土表面开裂；
（3）假定挡土墙绕墙踵向外转动为支挡结构绕其底部转动模式（rotate around the base of retaining structures，简称RB模式），且转角较小；
（4）假定支护桩后顶部发生的位移值为土体土压力达到被动土压力时所需的水平位移Sc。
（二）准被动土压力推导
根据RB位移模式下的渐进破坏机理和实际测定的tanδm、tanφm曲线[13]，可建立δm、φm和土体位移S的关系式：
（1）
（2）
式（1）和式（2）中δ0、φ0为外、内摩擦角初始值，若δ0未给出确切值，一般取δ0 = φ/2[12]。对于正常固结土体有：[12]，根据Jaky的经验公式[14]有，式中为土的有效内摩擦角，当土体处于无水条件时有，经推导有：
（3）
式（1）和式（2）中δm、φm为深度z处的外、内摩擦角发挥值，当挡土墙与其后土体光滑时有δm=0°。Kd为考虑位移对δm、φm影响的系数，S（z）为挡土墙背后土体深度z处所产生的位移值，Sc为挡土墙顶部发生的位移值为水平位移，当S（z）≤Sc[12]时有：
（4）
假定挡土墙墙高为H，则有Sc = 0.01H [15]。RB位移模式下S（z）沿支护深度z的变化如图1所示。

图1 RB位移模式下S（z）沿支护深度z的变化
图1根据几何相似关系有：
（5）
综上可知：
（6）
（7）
挡土墙准被动土压力水平层分析计算如图2所示，填土容重为，深度z处的内摩擦角发挥值为，填土表面水平且有均布荷载，滑动面BD与竖直线方向角度为θ，ABD为滑动土体，假定挡土墙背部离填土表面以下深度z处的水平层顶部作用的正应力为。在滑动土体离表面深度z处取一个厚度为dz的微分水平土层，顶部宽度为b1，底部宽度为b2，右侧面斜边的水平投影长度分别为Δ1。

图2 准被动土土压力土水平层分析计算图
图2中几何关系可知：
（8）
（9）
（10）
该微分土层的自重dG为：
（11）
在深度为z处的微分水平土层顶面正应力为q，该土层底面正应力为q+dq，AB面作用反力强度为pb，与AB面的垂直面角度为δm且在法线上侧，其中pb为支挡结构面对土体的非极限状态准被动土压应力强度；在BD面作用反力强度为r，与BD面的垂直面成角度为φ且在法线上侧，式中为滑动界面以下土体对滑动微分水平土层的反作用力强度。
根据微分水平土层的作用力在水平方向的分力静力平衡可知：
（12）
根据微分水平土层的作用力在竖直方向的分力静力平衡条件可知：
（13）
将式（8）、式（9）、式（11）的b1、b2、dG代入式（13）并结合式（12），忽略二阶微分并化简得：
（14）
根据微分水平土层的作用力对微分土层厚度中心线和滑动土体面BD面交点O力矩平衡可知：
（15）
将，，，代入式（15），忽略二阶微分并化简得：
（16）
令，联立式（14）和式（16）可解的：
（17）
再将和式（17）回代式（14）并整理得：
（18）
结合式（18）、式（6）和式（7），解此一阶线性微分方程得：
（19）
式中积分常量C可通过边界条件计算得到。
考虑到式（19）求解解析解非常困难，因此在积分求解过程进行简化计算，即假定深度z处的外、内摩擦角发挥值δm、φm不随积分变量变化而变化，式（19）可进一步简化为：
（20）
式（20）中C为积分常数，引入的参数A计算式为：
（21）
当支挡结构后填土表面布有均布荷载q0时，式（21）的边界条件为：当z=0时，q=q0。
求解式（20）的积分常数C有：
（22）
将式（22）代入式（20）有：
（23）
根据，结合式（23）得到非极限状态准被动土压力强度Pb：
（24）
式中：

通过对式（24）积分求解作用于支挡结构上的准被动区总土压力有：
（25）
考虑到式（25）积分较为困难，根据朗肯被动土压力理论，破裂角，在计算准被动土压力值时，先将支护结构后的土体等分为合理厚度的小土层，作出非极限状态准被动土压力强度随不同深度的折线图并求出其面积，即为准被动土压力大小，同时亦可求出准被动土压力作用的大致位置。