直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质(1).ppt

第二章 点、直线、平面之间的位置关系,人教,A,版,数学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质PPT,一、阅读教材P,5861,回答,1直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么,此定理可用符号表示为：,.,2若,a,，,b,，,则,a,、,b,的位置关系为,这条直线就和交线平行,a,，,a,，,b,a,b,a,b,或,a,与,b,异面,3两个平面平行的性质,(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必,于另一平面用符号表示为,.,(2)如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的,用符号表示为,，,.,平行,，,a,a,交线互相平行,a,b,a,b,二、解答下列各题,1夹在两个平行平面间的两条平行线段相等吗？,答案,相等,证明,如图,AB,CD,，,AB,与,CD,确定一个平面,，,AD,，,BC,，,，,AD,BC,，,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,CD,.,2已知：如图，,，点,P,是平面,，,外的一点，直线,PAB,、,PCD,分别与,、,相交于点,A,、,B,和,C,、,D,：,(1)求证：,AC,BD,；,(2)已知,PA,4cm，,AB,5cm，,PC,3cm，求,PD,的长,解析,(1)证明：,，平面,PAC,AC,，平面,PAC,BD,，,AC,BD,.,本节学习重点：线面平行、面面平行的性质定理,本节学习难点：平行关系的相互转化,1直线和平面平行的性质定理的证明要抓住以下两点：其一是由于已知直线与已知平面平行，则这条已知直线和已知平面内的所有直线都没有公共点，其二是过已知直线的平面与已知平面的交线与已知直线在同一平面内根据以上两点，就可以判定已知直线和交线互相平行了这个定理可以简记为“若线面平行，则线线平行”,理解直线与平面平行的性质定理时，要注意条件“经过这条直线的平面与这个平面相交”，防止误解为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”若题目条件中出现了线面平行的条件，我们往往寻找或作一个平面经过这条直线并与已知平面相交，这样就可用上性质定理了所以“找”或“作出”满足题意要求的平面，就成为应用定理的关键所在,线面平行的性质定理还启发我们要证线面平行，不妨先假定线面平行已经成立运用性质定理寻找满足要求的直线，这是证明线面平行时常用的方法,2过平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内用符号表示为：,l,，点,P,，,P,m,，,m,l,m,，如图,3如果平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面,4平行平面的性质,(1)若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,(2)两个平行平面均和第三个平面相交，则交线平行,“两个平行平面均和第三个平面相交，那么它们的交线平行”这一性质是判定“线线平行”的重要依据，同时给出了在两平行平面内作出平行直线的重要方法是过其中一个平面内的一条直线,a,作平面(可作无数个平面)和另一个平面交线为,b,，则,a,b,.,5平行转化要理清,通过上几节的学习不难概括出线线、线面、面面平行的相互转化关系,由此易知三者之间可以进行相互转化，因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向,例1过正方体,AC,1,的棱,BB,1,作一平面交平面,CDD,1,C,1,于,EE,1,.求证：,BB,1,EE,1,.,证明,如右图，,CC,1,BB,1,，,CC,1,平面,CDD,1,C,1,，,BB,1,平面,CDD,1,C,1,，,BB,1,平面,CDD,1,C,1,，,BB,1,平面,BEE,1,B,1,，平面,BEE,1,B,1,平面,CDD,1,C,1,EE,1,，,BB,1,EE,1,.,故假设不成立，.,(2)同样，过a作平面交平面于c，,若直线l上有无数个点不在平面内，则l；,直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；,EFG90，AB、CD所成的角为90.,(2)两个平行平面均和第三个平面相交，则交线平行,本节学习重点：线面平行、面面平行的性质定理,(2)两个平行平面均和第三个平面相交，则交线平行,解析若，则al，于是由a、a，知al，同理有bl，所以由公理4可得：ab，这就与题设条件a、b异面相矛盾，故假设不成立所以，.,与有公共点P，与必相交，,直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质PPT,连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),，平面ACGBH.,证明如右图，CC1BB1，CC1平面CDD1C1，BB1平面CDD1C1，BB1平面CDD1C1，,直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质PPT,已知：,l,，,a,，,a,.求证：,a,l,.,证明,(1)过,a,作平面,交平面,于,b,，,a,，,a,b,(2)同样，过,a,作平面,交平面,于,c,，,a,，,a,c,，,b,c,，,(3)又,b,且,c,，,b,(4)又平面,经过,b,交,于,l,，,b,l,，,(5)又,a,b,，,a,l,.,点评,注意上述证明过程共5个环节：第(1)个环节和第(2)个环节是应用线面平行的性质定理和公理4得出线线平行,b,c,，第(3)个环节又由线面平行的判定定理得出线面平行,b,，第(4)个环节再由线面平行的性质定理得出,b,l,，最后由公理4得出,a,l,，要注意理顺思路实际证明过程不需要加上面五个序号.,线面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，也就是通过“线线平行”推出“线面平行”，再通过“线面平行”推出新的“线线平行”,例2,如图所示，四面体,A,BCD,被一平面所截，截面,EFGH,是一个矩形,(1)求证：,CD,平面,EFGH,；,(2)求异面直线,AB,、,CD,所成的角,解析,(1)证明：截面,EFGH,是一个矩形，,EF,GH,，又,EF,平面,BCD,，,GH,平面,BCD,，,EF,平面,BCD,而,EF,平面,ACD,，平面,ACD,平面,BCD,CD,EF,CD,，,CD,平面,EFGH,.,(2)解：由(1)知,CD,EF,，同理,AB,FG,，,EFG,为异面直线,AB,、,CD,所成的角，,EFG,90，,AB,、,CD,所成的角为90.,三个平面,、,、,两两相交，有三条交线,l,1,、,l,2,、,l,3,，如果,l,1,l,2,.求证：,l,3,与,l,1,、,l,2,都平行,解析,如图，已知：,l,1,，,l,2,，,l,3,，,l,1,l,2,.求证：,l,3,l,2,l,1,.,总结评述：,1已知“线面平行,”,，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过已知直线的平面与已知平面相交的交线,2要证,“,线面平行,”,，一般先假设,“,线面平行,”,已经成立，把它作为已知条件，用性质去探索找寻经过已知直线的平面与已知平面相交，从而找到平面内的那条直线,3要证,“,线线平行”，一是把它们转化为,“,线面平行,”,，利用,“,线面平行,”,性质得已知直线与交线平行，二是利用两个平面平行的性质定理，三是利用,“,线面垂直,”,的性质定理(后面马上要学到)，四是利用公理4，关键是结合已知条件创造能够应用定理的条件,证明与平行有关的问题时，,“,线面平行,”,的判定定理，性质定理，公理4常结合起来使用，并常用下面的关系：,4本题也可用反证法、同一法，请读者自己探讨.,1下列命题中正确的个数是(),如图，在面AC内过P作EFBC交AB于E，交CD于F，依公理4知EFBC.,，平面ACGBH.,连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),a，b，故.,2若a，b，,3两个平面平行的性质,解析如图，已知：l1，l2，l3，l1l2.,，aa,总结评述：1已知“线面平行”，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过已知直线的平面与已知平面相交的交线,解析连结BD，在平面AC上过点P画直线EFBD，分别交BC、CD于点E、F，由公理4得EFBD.,D若直线a平面，点P，则过P作a的平行线一定在内,点评注意上述证明过程共5个环节：第(1)个环节和第(2)个环节是应用线面平行的性质定理和公理4得出线线平行bc，第(3)个环节又由线面平行的判定定理得出线面平行b，第(4)个环节再由线面平行的性质定理得出bl，最后由公理4得出al，要注意理顺思路实际证明过程不需要加上面五个序号.,3P为ABC所在平面外一点，平面平面ABC，交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则SABCSABC_.,解析,证法1：,，则在平面,内一定有两相交直线,a,、,b,和平面,平行，过,a,、,b,分别作平面交,于,a,、,b,，则有,a,a,，,b,b,.,同理可以在平面,内找到两直线,a,、,b,，使得,a,a,，,b,b,.,a,，,b,，故,.,证法2：采用反证法假设平面,和平面,相交，则两个平面至少有一个公共点,P,，即存在点,P,满足,P,，,P,，于是过平面,外点,P,有两个平面,、,都和平面,平行，这与“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾,故假设不成立，,.,已知三个平面,、,、,满足,，直线,a,与这三个平面依次交于点,A,、,B,、,C,，直线,b,与这三个平面依次交于点,E,、,F,、,G,.求证：,证明,连接,AG,交,于,H,，连,BH,、,FH,、,AE,、,CG,.,，平面,ACG,BH,.平面,ACG,CG,，,BH,CG,.同理,AE,HF,，,点评,当,a,与,b,共面时，有,AE,BF,CG,.上述证明过程也是正确的，只是此时,B,、,H,、,F,三点共线,连结,CE,，可同理证明(连结,AF,，连结,EB,，连结,CF,，连结,GB,，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),当,a,与,b,异面时，可过,A,(或,B,、,C,)作,b,的平行线或过,E,(或,F,、,G,)作,a,的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论,以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”,3如果平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面,A如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直,6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa.,a，b，故.,由ab(已知)可得ac(公理4),解析连结AN交于Q，,(5)又ab，al.,连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),(5)又ab，al.,3P为ABC所在平面外一点，平面平面ABC，交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则SABCSABC_.,1下列命题中正确的个数是(),例4,如图，已知平面,，直线,AB,分别交,，,于,A,、,B,，直线,CD,交,、,于,C,、,D,，,M,、,N,分别在线段,AB,、,CD,上，且求证：,MN,平面,.,分析,本题应分两种情况分别研究，当,AB,、,CD,共面时，易得,MN,BD,，可推出,MN,平面,.当,AB,、,CD,异面时，可通过作辅助平面化异为共，由“面面平行”推出“线线平行”,AD,DC,为平行四边形，,AD,CD,，,AE,CN,，即,AENC,为平行四边形，所以,AC,EN,D,D,，因为,ME,BD,，,BD,，,ME,，所以,ME,，同理：,EN,，所以平面,MEN,平面,，所以,MN,.,解法探究：,本例通过过点,A,作,AD,CD,，实现化“异”为“共”(,AB,与,AD,相交，,AD,与,CD,平行)，借助,AD,实现,AB,与,CD,的联系同理还可以过,C,作,AB,的平行线，过,B,作,CD,的平行线，过,D,作,AB,的平行线，其效果是完全相同的还可以连结,AD,(或,BC,)实现化“异”为“共”，过,M,作,ME,BD,交,AD,于,E,(或过,M,作,ME,AC,交,BC,于,E,)，连结,EN,，进行推证，这也是常用的“化异为共”的方法,如图，平面,平面,，线段,GH,与,、,分别交于,A,、,B,，线段,HF,与,、,分别交于,F,、,E,，线段,GD,与,、,分别交于,C,、,D,，且,GA,9，,AB,12，,BH,16，,S,ACF,72.则,BDE,的面积为_,答案,96,例5,在长方体木料,ABCD,A,B,C,D,的,A,C,面上有一点,P,，如图所示，其中,P,点不在对角线,B,D,上，过,P,点和底面对角线,BD,，将木料踞开，应该如何画线？请说明理由,分析,P,BD,，,BD,与,P,确定一个平面,PBD,与平面,A,B,C,D,相交于过,P,的直线,l,，则,l,BD,，,B,D,BD,，故只须过,P,作,l,B,D,即可,解析,连结,B,D,，在平面,A,C,上过点,P,画直线,EF,B,D,，分别交,B,C,、,C,D,于点,E,、,F,，由公理4得,EF,BD,.,连结,BE,和,DF,，因为,EF,平面,BEFD,，,BD,平面,BEFD,，所以,BE,、,DF,和,EF,就是所要画的线,有一块木料如图所示，已知棱,BC,平行于面,A,C,，要经过木料表面,A,B,C,D,内的一点,P,和棱,BC,将木料锯开，应怎样画线？,解析,BC,面,A,B,C,D,，面,BCC,B,经过,BC,和,A,B,C,D,交于,B,C,，,BC,B,C,.,如图，在面,A,C,内过,P,作,EF,B,C,交,A,B,于,E,，交,C,D,于,F,，依公理4知,EF,BC,.,EF,平面,BCP,.,连,BE,和,CF,，则,BE,、,CF,、,EF,就是所要画的线,例6,已知直线,a,直线,b,，,b,平面,，,a,，求证：直线,a,平面,.,错解,在,内任取一点,A,，在,内过,A,点作直线,c,，使,c,b,.由,a,b,(已知)可得,a,c,(公理4),辨析,证明没有用到条件“,b,平面,”，若将此条件去掉，结论显然不成立，因而证明是错误的错误出在,“,在,内过,A,作直线,c,，使,c,b,”,这一作图没有依据，正确的做法应该是在,内取一点,A,后，由点,A,与直线,b,确定一个平面,，,与,交于直线,c,，去证,a,c,，进而得出,a,.,正解,在平面,内任取一点,P,，,b,，,P,b,直线,b,与点,P,确定平面,，,与,有公共点,P,，,与,必相交，,设,c,，则,b,c,a,b,，,a,c,，又,a,，,c,a,连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明),5已知a、b是异面直线，a，a，b，b，求证：.,证明(1)过a作平面交平面于b，,若直线l上有无数个点不在平面内，则l；,证明(1)过a作平面交平面于b，,若直线a不在内，则a；,(4)又平面经过b交于l，bl，,证法2：采用反证法假设平面和平面相交，则两个平面至少有一个公共点P，即存在点P满足P，P，于是过平面外点P有两个平面、都和平面平行，这与“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾,a，a，bab,解析如图，已知：l1，l2，l3，l1l2.,3要证“线线平行”，一是把它们转化为“线面平行”，利用“线面平行”性质得已知直线与交线平行，二是利用两个平面平行的性质定理，三是利用“线面垂直”的性质定理(后面马上要学到)，四是利用公理4，关键是结合已知条件创造能够应用定理的条件,直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质PPT,如图，平面平面，线段GH与、分别交于A、B，线段HF与、分别交于F、E，线段GD与、分别交于C、D，且GA9，AB12，BH16，SACF72.,三个平面、两两相交，有三条交线l1、l2、l3，如果l1l2.,当a与b异面时，可过A(或B、C)作b的平行线或过E(或F、G)作a的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论,一、选择题,1下列命题中正确的个数是(),若直线,a,不在,内，则,a,；,若直线,l,上有无数个点不在平面,内，则,l,；,若直线,l,与平面,平行，则,l,与,内的任意一条直线都平行；,如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；,若,l,与平面,平行，则,l,与,内任何一条直线都没有公共点；,平行于同一平面的两直线可以相交,A1B2C3D4,答案,B,解析,a,A,时，,a,不在,内，错；,直线,l,与,相交时，,l,上有无数个点不在,内，故错；,l,时，,内的直线与,l,平行或异面，故错；,a,b,，,b,时,a,或,a,，故错；,l,，则,l,与,无公共点，,l,与,内任何一条直线都无公共点，正确；长方体中，,A,1,C,1,与,B,1,D,1,都与平面,ABCD,平行，正确,2下列四个命题中，不正确的命题是,(),A如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直,B已知直线,a,、,b,、,c,，,a,b,，,c,与,a,、,b,都不相交，若,c,与,a,所成的角为,，则,c,与,b,所成的角也等于,C如果空间四个点不共面，则四个点中可能有三个点共线,D若直线,a,平面,，点,P,，则过,P,作,a,的平行线一定在,内,答案,C,解析,A、B、D正确，对于C，若有三点共线，则四点必共面，故C错,二、填空题,3,P,为,ABC,所在平面外一点，平面,平面,ABC,，,交线段,PA,、,PB,、,PC,于,A,、,B,、,C,，若,PA,A,A,23，则,S,A,B,C,S,ABC,_.,三、解答题,4已知,a,，,b,是异面直线，,A,a,，,B,b,且,AB,a,，,AB,b,，,M,、,N,分别为直线,a,，,b,上任意一点，,O,是,AB,的中点，平面,经过,O,点，,a,，,b,，,MN,P,，求证：,P,是,MN,的中点,解析,连结,AN,交,于,Q,，,b,，,OQ,BN,，同理,PQ,AM,.,O,是,AB,中点，,OQ,为,ABN,的中位线，,Q,为,AN,中点，,PQ,为,NAM,的中位线，,P,为,MN,的中点,5已知,a,、,b,是异面直线，,a,，,a,，,b,，,b,，求证：,.,解析,若,，则,a,l,，于是由,a,、,a,，知,a,l,，同理有,b,l,，所以由公理4可得：,a,b,，这就与题设条件,a,、,b,异面相矛盾，故假设不成立所以，,.,点评可以过,a,作平面,分别与,、,交于,a,，,a,，过,b,作平面,分别与平面,、,交于,b,，,b,，由,a,、,b,异面得出,a,与,b,相交，,a,与,b,相交，进而推证出,.,6正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,，,M,、,N,分别为,A,1,B,和,AC,上的点，,A,1,M,AN,a,.,(1)求证：,MN,平面,BB,1,C,1,C,；,(2)求,MN,的长,