向量的数量积专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,问题1:,我们学习了向量的哪些运算？,这些运算的结果是什么？,平面向量的加法、减法和数乘三种运算；,运算的结果仍是向量,问题2:,一个物体在力 的作用下发生了位移 ，,那么该力对此物体所做的功为多少？,其中力 和位移,是向量，,是 与 的夹角，而功 W是数量.,将公式中的力与位移推广到,一般向量,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。,出现了向量的一种新的运算,O,A,B,a,b,1、向量的夹角,O,A,B,b,a,O,A,B,b,a,O,A,B,a,b,规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。,(1),b,a,40,O,(2),a,b,60,O,(4),a,b,(3),a,b,60,O,(6),b,a,(5),b,a,说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？,b,a,如图,等边三角形ABC中,求,求（1）AB与AC的夹角；,（2）AB与BC的夹角。,A,B,C,平移向量至始点重合,课堂练习1,D,O,A,B,b,a,2、向量的数量积的定义,一般地，如果两个非零向量 的夹角,为,那么我们把,叫做向量 的数量积，记作 ，,即,2、向量的数量积是一个数量,不是向量。,向量的数量积的说明,3、规定,1、不能写成 且 不能省略。,当 为非零向量时，数量积的正负,由夹角余弦值决定。,4、特别记,如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求,（1）的数量积；,（2）的数量积；,A,B,C,课堂练习2,3、向量的数量积的重要性质,即,两个重要的充要条件,3、向量的数量积的重要性质,即,135,0,直角,例2、填空,(),(),(),(),(),1、已知 均为非零向量,试判断下列说法是否正确？,课堂练习3,课堂练习3,（）,A、锐角三角形,C、钝角三角形,D、不能确定,B、直角三角形,（）,D,C,A,B,C,5、向量的数量积的几何意义,如图，作出 cos，并说出它的几何意义；cos的几何意义又是什么？,(B,1,),B,1,B,1,O,B,A,(1),B,O,A,（3）,B,A,O,(2),cos叫做向量 在向量 上的投影，cos叫做向量 在向量 上的投影,.,(B,1,),B,1,B,1,O,B,A,(1),B,O,A,（3）,B,A,O,(2),5、向量的数量积的几何意义,(1),投影,是一个,数量，,不是向量。,5、向量的数量积的几何意义,O,A,B,|b|cos,a,b,B,1,5、向量的数量积的几何意义,问题:,（1）实数乘法有哪些运算律？,（2）这些运算律是否能适用于,向量的数量积的运算？,4、向量的数量积的运算律,实数乘法,向量的数量积,类比猜想,是否都成立？,验证向量数量积的运算律,思考：,即：向量数量积运算不满足结合律,若,若,若,则显然成立,如何验证？,或通过向量数量积的坐标表示验证。,可借助向量数量积的几何意义验证；,(,a+b,),c,=,ON,|,c,|,=(,OM,+,MN,)|,c,|,=OM|,c,|+MN|,c,|,=,ac+bc,.,向量,a,、,b,、,a,+,b,在,c,上的投影分别是,OM,、,MN,、,ON,则,O,N,M,a+b,b,a,c,用向量的几何意义验证,向量的数量积的常用公式,例3、证明,例2.已知 ，,(1)在 方向上的投影为4，求 ；,(2)，求 在 方向上的投影；,(3)的夹角为,，求 在 方向上的投影.,解,:(1),(2),(3),思考,，,那么非零向量 应满足？,例4、已知,与,的夹角为60，,求：（1）在 方向上的投影；,（2）在 方向上的投影；,为何值时，,与 互相垂直？,（5）,（3）,（6）,（4）,（7）,课堂练习4,例6、用向量方法证明：,直径所对的圆周角为直角。,A,B,C,O,如图所示，已知O，AB为直径，C,为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向,量 ，即 。,解：,设,则 ，,由此可得：,即 ，ACB=90,五、小结,1、向量的夹角,2、向量数量积的定义,3、向量数量积的性质,4、向量数量积的运算律,