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基于巴特沃斯低通滤波器的图像增强
陈传峰，朱长仁，宋洪芹
(国防科技大学电子科学与工程学院 湖南长沙 410073)
l 引 言
在进行图像处理的过程中，获取原始图像后，首先需要对图像进行图像预处理，因为在获取图像的过程中，往往会发生图像失真，使所得图像与原图像有某种程度上的差别。在许多情况下，人们难以确切了解引起图像降质的具体物理过程及其数学模型，但却能估计出使图像降质的一些可能原因，针对这些原因采取简单易行的方法，改善图像质量。由于噪声、光照等原因，使图像质量不高，为了改善视觉效果或便于人、机器对图像的分析理解，一般都需要对图像进行增强处理，但这个过程并没有统一的标准。图像增强一般不能增加原图像信息，只能针对一些成像条件，把弱信号突出出来，使一些信息更容易分辨。 图像增强的方法比较多，可以大概分为对比度增强，直方图增强、平滑和锐化［1］4大类，其中，直方图均衡是图像增强的经典方法，因为其有效性和简单易用性已成为图像增强最常用的方法，他又分为全局均衡和局部均衡2种。全局的直方图均衡［2.3］是对整幅图像进行均衡，使其灰度分布均匀，让每一个灰度等级上的象素个数基本相等，算法简单、计算量小、容易实现，但对图像细节部分增强不够；局部直方图均衡［4.5］则可以增强图像内部细节信息，得到很好的增强效果。Yin［6］通过对小波分解各个分量进行直方图均衡，然后重构得到处理后图像，S．M．Pi-zer［2］提出自适应直方图均衡算法，这也是一种局部均衡算法。在对全局直方图均衡和局部直方图均衡详细分析的基础上，本文提出了一种基于Buterworth低通滤波的图像增强方法。由于Buterworth低通滤波器在抑制噪声的同时，图像边缘模糊程度大大减小，且没有振铃效应。基于以上特点，用Buterworth低通滤波器将低频分量和高频分量分离，低频分量进行均衡后，再将两部分融合，实现图像的增强。
2直方图均衡化
直方图均衡化［8］是灰度变换的一个重要应用，他是以累计分布函数变换为基础的直方图修正法。一幅均匀量化的自然图像的灰度直方图通常在低值灰度区间上频率较大，这样的图像的较暗区域中的细节常常看不清楚。为使图像变清晰，一个自然的想法是使图像的灰度动态范围变大，并且让灰度频率较小的灰度级经变换后其频率变的大一些，从而使象素个数增多，即应使变换后的图像灰度直方图在较大的动态范围内趋于均衡，产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像，扩展象素的取值动态范围。 传统的直方图均衡算法(HE)是利用全局图像信息，对给定的数字图像进行对比度增强处理，其处理过程如下：
(1)计算原图像的灰度级直方图；
(2)求原图像各灰度级的累积概率分布函数，并由此构造灰度转换函数；
(3)根据灰度转换函数将原图像所有象素灰度值映射到输出图像，得到增强图像。
这种直方图均衡方法限制了图像中某些局部区域的对比度拉伸力度，使某些细节与背景之间的对比度难以得到有效增强，甚至出现蜕化。
3局部直方图均衡化算法
全局的直方图均衡使直方图在整个灰度级上的分布趋于均匀，取得一定的增强效果，但忽略了细节的信息甚至出现细节信息的丢失，局部直方图均衡则可以较好地解决这一问题，突出细节信息。
在一幅图像中，图像高频分量对应于图像的细节信息，而低频分量对图像的整体视觉效果有着决定性的影响。对一幅图像进行分频［9］，得到高频分量和低频分量，然后对低频分量用传统算法进行直方图均衡，高频分量乘以一个加权系数，再将处理得到的结果进行融合，得到最终的处理结果，实现对原图像的增强。通过实验，证明了其有效性。整个处理过程分为以下几步：
3．1 分频
对一幅图像来说，能量主要集中在低频分量中，而噪声和图像细节信息主要集中在高频分量中。在图像处理过程中，将两种分量分离开，进行不同的操作与处理，可以取得更佳的处理效果。分频的目的就是将输入图像的高频分量和低频分量分开。进行分频时，既可以选择高通滤波器又可以选择低通滤波器，都能达到分频的目的。本文实验的过程中使用的是低通滤波器。在诸多低通滤波器中，Buterworth低通滤波器没有"振铃"现象，而且能够提高图像的细节清晰度，所以，本文算法采用的是Buter-worth低通滤波器，文献[9]采用的是高斯低通滤波器。
Buterworth低通滤波器(BLPF)传递函数：

式中D。为截止频率， ，在D(u，V)=D。处，；"为阶数，取正整数，用来控制衰减速度。本文Buterworth低通滤波器截止频率D。，一50，阶数n一2。该2阶Buterworth低通滤波器如图1所示。
对一幅输入图像f(r，y)，可将其分解为高频分量fh(x，y)和低频分量f1(x，y)，如下式所示：

将图像f(x，y)通过2阶Buterworth低通滤波器g(x,y)，即f(x,y)与g(x,y)进行卷积，可得到图像的低频分量f(x,y)，如下：

其中 (D。为截止频率)在图像f(x，y)中减去低频分量f1(x，y)就得到高频分量：

3．2低频分量均衡化
图像的能量主要集中在低频分量f1(x，y)中，对图像的整体视觉效果起着决定性的作用，必然要对该分量进行直方图均衡。对低频分量f(x，y)利用传统算法进行直方图均衡，得到t1(r，y)：

3．3 线性组合得输出图像
噪声存在于高频分量中，如果直接进行直方图均衡，必将使噪声得到增强，影响图像质量。因此，将fh(x，y)乘上一个加权系数a得到th(x，y)：

a的取值因具体情况而定：若图像受噪声影响比较严重严重，a的取值应小于1，以免放大噪声；若图豫受噪声影响比较小，a的取值应大于l。
输出图像t(T，y)为高频分量fh(x，y)和低频分量f1(T，y)之和：

所以，输出图像f(x，y)为fh(x，y)和HE(f1(x，y))的线性组合，即：

t(x，y)就是希望得到的图像。
通过分频，输人图像被分解为高频分量和低频分量，对两分量进行不同的操作，再经过线性组合得到最终的增强图像，图像清晰度高，细节信息丰富，增强效果明显。
本文算法如下：
(1)对输入图像，f(x，y)进行快速傅里叶变换得F(u，v)；
(2)将F(u，v)作为Buterworth低通滤波器的输入，输出得到低频分量Fl(u，v)，用F(u，v)减去F1(u，v)的高频分量Fh(u，v)，并进行傅里叶反变换，得到fh(x，y)和f1(x，y)；
(3)利用HE算法对低频分量f1(x，y)进行直方图均衡；
(4)高频分量fh(x，y)乘以一个加权系数，再对两分量进行线性组合，融合得到输出图像。 4实验及结果分析
本文以lena，flower，frog图像为例进行了实验。图2中(a)为原始图像；(b)为灰度级较低的退化图像，图像的细节信息和整体的视觉效果都比较差(实验中以退化图像作为输入图像，检验算法的增强效果)；(c)为使用传统HE算法得到的处理结果；(d)为利用本文算法对原图进行增强得到的结果。
4．1 实验结果
实验结果如图2所示：

4．2 结果分析
(1)主观评价
图1(c)中，图像的细节信息并未得到有效增强。这是因为全局直方图均衡利用的是全局信息，限制了对图像局部区域对比度的拉伸力度，本文算法则利用了局部图像信息，充分再现了图像细节，使细节信息更加突出，并且视觉效果更好。
(2)客观评价
为了从数据上显示出本文算法的效果，采用了一个评价参量一灰度标准差Sd，定义式如下：

其中，I'表示增强后图像，I表示原图，N为图像象素数。
计算Sd时，首先计算I'中每一象素与I中对应象素的灰度值的差平方；然后求平均；最后再求算术平方根。
分别计算传统算法、本文算法增强后图像与原图间的灰度标准差，数据统计结果如表1所示：

从表1的统计数据来看，对退化图像进行图像增强，本文算法的处理结果较传统算法与原图更为接近，通过增强，更好地将退化图像恢复出原始图像的信息，并且还有了更为丰富的信息。因而，灰度标准差的值比较大，但数据依然很好地表明了本文算法的有效性。
无论直观地从处理结果上还是从统计数据上来看，与传统图像增强算法相比，本文算法都取得了较好的实验效 果，是一种有效的图像增强算法。
5 结 语
为使图像处理后的效果得到进一步的提高，文献[10]采用将对比度增强算法与直方图均衡算法级联，使得图中的局部信息和全局信息在增强时都能被利用。国外文献[2，ll，12]介绍采用多尺度自适应的直方图均衡(Multi-scale Adaptive Histogram Equali-zation)对图像进行处理以增强图像的对比度。
本文采用Buterworth低通滤波器将图像分为高频分量和低频分量，低频分量进行HE算法直方图均衡，然后再将高频分量和低频分量进行融合得到最终处理结果，这样可以突出图像的细节信息，使图像整体视觉效果得到改善，有利于后续图像处理工作的进行。实验结果证明了本文算法的有效性。